常微分方程发展简史--适定性理论阶段

高阶方程 1734年12月‘Bernoulli Da niel 在给当时在圣彼得堡的

端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题 分

方程

41，

其中k 是常数，x 是横梁上距自由端的距离，y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位

移.Euler 在1735年6月前的回信中说道，他也已经发现了这个方程，对这个方程，除了用级 数外无法积分•他确实得到了四个级数解，这些级数代表圆函数和指数函数 ，但在当时Euler 没有了解到这一点•

1739年9月，Euler 在给Bernoulli John 的信中指出，上述方程的解可以表示成

x x 1 x x y=a[(cos cosh-) (s in si nh-)], k kb

k k

其中b 可由条件y(l) =0来确定• 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题

• 1739年9月，Euler 在给 Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程

，并说他已取得了成功.

在1743年至1750年间，Euler 考虑了 $n$阶常系数齐次线性方程 y (n) a 1y (n 勺亠 亠 a n 」y ' a* = f (x),

第一次引入了特解、通解的概念 ，指出通解必包含n 个任意常数，而且是由n 个特解分别乘 以任意常数后相加而成的，创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法

--特征方 程法.讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形

，这样Euler 完整解决了常系 数线性齐次方程求解问题.

1750年至1751年，Euler 讨论了 n 阶常系数线性非齐次方程，他又提出了一种降低方程 阶的解法.Euler 还是微分方程近似解的创始人

，他提出了的 ''欧拉折线法”不仅解决了 常微分方程解的存在性的证明 ，而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一

1750 年，Euler 又给出了求解微分方程的级数解法 .1768年至1769年，Euler 还将积分因 子法推广到高阶方程，以及利用变换可以将变系数的 Euler 方程化为常系数线性方程.

在Euler 工作的基础上，1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法 ，即非 齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解

1762年至1765年间，Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步

，并引 出伴随方程(这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的，Lagrange 并未给它取名)，同时发 现一个定理：非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程 ，就是原来方程对应的齐次 方程.Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结 果推广第二讲常微分方程发展简史 论阶段

适定性理

Euler 的信中说，他已经解决了一 ,他得到了一个四阶线性常微

到了变系数线性齐次方程• Lagrange发现,齐次方程的通解是由一些独立的特解

分别乘以任意常数后相加而成的，而且若已知高阶方程的m个特解就可以将方程降低

m阶.

1774-1775年，Lagrange提出了“常数变易法”，解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程•这是18世纪微分方程求解的最高成就•

Newt on I在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”

1842年Cauchy A完善了“待定系数法”

探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了，此后100年没有出现新的重

大的新方法，直到19世纪末才引进了Laplace变换法和算子法.

从总体上看，17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分，并未单独形成一个分支学科

在18世纪，由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程，已经成为有自己的目标和方

法的新的数学分支•这段时期，数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上，并且取得了一系列重大进展•对解的理解和寻求，在本质上逐渐起了变化.最初，数学家们用初等函数找解，接着是用一个没有积出的积分来表示解•在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努

力失败之后，数学家们转向用无穷级数求解了•但后来人们逐渐发现，很多常微分方程求解

是非常困难的，甚至是不可能的•

2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期

19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期。常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发

展的第二个阶段。

Riccati 方程

在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati方程d^ =

p(x)y2• q (x y r X )它最早是由研究声学的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco伯dx

爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程• Riccati的工作之所以者的重视，不仅由于他处理了二阶微分方程，而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法，使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一•

1686年, Leibniz向数学界推出求解方程y'x y (Riccati方程的特例)的通解的这

一挑战性问题，且直言自己研究多年而未果•如此伟大的数学家，如此简单的方程，激发了

许多数学家的研究热情•虽然此方程形式简单，但经过几代数学家的努力仍不得其解•1725年，Daniel Bernoulli用初等方法求解了一个特殊的Riccati方程，他证明了Riccati

方程，dy ay =bx m(a = 0),当m = 0, -2, ( k为正整数)时能化为变量可分离dx 2 k -1

方程.

1760年至1761年,Euler L证明方程y：y?二ax n在已知一个特解y的情况下,通过变

换z =1/ y -y i可化为线性方程；D'Alembert J最先研究了一般形式的Riccati方程,而且对这

类方程采用了“ Riccati方程”这一名称.Abel N研究了Abel第一类和第二类方程的若干特殊类型，特别是对于Jacobi方程得到了通解.

1841年，法国数学家Liouville证明了Riccati方程除了某些特殊情形外，对一般的p,q,r ,不能用初等积分法求其通解.当然，对于一般的非线性方程将更是如此，这与代数学中，五次和五次以上方程没有根式公式解的结论有相似的理论意义

Poincare J曾经将代数方程求根的问题（见代数学）和常微分方程求解问题的历史发展作过对比，这种对比既直观又富有成果。例如：

①1824年，Abel N H证明五次代数方程没有一般的用根式求解的公式，从而结束了一般

代数方程求根式通解的企图。类似地，1841年Liouville证明了Riccati方程除了某些特

殊情形外，对一般的p,q,r ,不能用初等积分法求其通解，从而结束了一般常微分方程求通解的企图。

②1832年,Gailois E创造了群的概念，并将代数方程的根用根式表达的可能性和代数方程

的根组成的置换群的可解性相联系，得到可能性的充分必要条件是可解性。类似地，1874年Lie M S将群的概念用于常微分方程，引入了将常微分方程的解变为解的连续变换群的概念。

当连续变换群已知时，常微分方程的积分因子即可显式地写出，从而解决了解的可积性问题。这些工作从正反两方面将常微分方程的理论提高到一个新的水平。

Riccati的工作迫使人们另辟蹊径，考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推

断其解的性质（周期性、有界性、稳定性等）,以及寻找各种近似求解的方法，从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期

在物理，力学上所提出的微分方程问题，又大都要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解•这样，人们开始改变了原来的想法，不去求通解，而从事定解问题的研究•研究热潮逐渐由求方程的通解转向常微分方程定解问题的适定性.18世纪以后不断出现的

特殊的微分方程的求解问题，也迫使数学家转向对解的存在性问题的思考•常微分方程理论

研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一？这个问

题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的探索，而且直接影响并导致微分方程的基本理论•这些基本理论包括：解的存在及唯一性、延展性、解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等•

初值问题解的存在性

19世纪初期，Cauchy A等人建立了数学分析（又称分析学）的基础。无限、极限、连续、可微等等概念得到了精确的意义。Cauchy也是复变函数论的奠基人之一.Cauchy的一个考虑了微分方程的解的存在性问题，在相当一般条件下解的存在唯一性定理，为ODEs的研究奠定了坚实的基础，后来又有许多数学家做了大量工作，逐渐形成了常微分方程的基本理

论.