高一物理竞赛讲义- 专题一 力的平衡

高一物理竞赛讲义
一般情况下物体的平衡
1.共点力作用下物体的平衡条件
若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。

在共点力作用下物体的平衡条件是这些力的合力为零。

即
2.有固定转动轴物体的平衡条件
在有固定转动轴的物体上，如果所有正力矩之和等于所有负力矩之和，或者说，作用在物体上的各力的力矩的代数和等于零，则该物体处于平衡状态，即∑M＝0。

3.物体的一般平衡条件为
应用物体的一般平衡条件时要注意：
（1）此条件成立的前提是物体所受外力均在一个平面内.
（2）方程∑M i＝0对任意一个转动轴均成立
（3）取不同的转动轴建立方程时，要注意分析每个力对该轴的力臂以及使物体转动的方向；同一个力对于不同的转动轴，产生的力矩的正负和力臂的大小均可能不同。

（4）依次取不同的转动轴可以列出多个方程，对处于平衡的物体而言，独立的方程一共只有三个，只能解出三个未知数。

【例题与习题】
1．如图所示，重为G的一根均匀硬棒AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向的夹角分别为α、β.求证：
tanβ=2tanα。

2有一条重为G的绳子，它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳两端和水平线夹角为θ。

求：
（1）绳的一端对挂钩的作用力F为多大？
（2）绳的最低点的张力T为多大？
3、如图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，
镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实
现的方案是（）
4、如图所示，有三块完全相同且密度均匀的砖叠放在桌子边缘，
砖长为L，把桌面上三块砖从上到下依次向外缓慢推出，为
保持砖块不致翻倒，第一块砖最多只能推出长度为d，则d
等于（）。

A、L/2
B、3L/4
C、11L/2
D、5L/6
5、两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细
线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同
的细线连接A、B两球.然后用一水平方向的力F作用在小球A上，
此时三根细绳均处于直线状态，且OB细线恰好处于坚直方向，
如图，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则力F
的大小为_______。

6、如下图所示，两根重杆OA和AB，由铰链连接，并用铰链悬挂在天花板上，B位于O的正下
方。

若在B端沿纸平面施一个力F，使系统在纸平面内平衡，不计一切摩擦，试分析F的方向应在什么范围？
7、在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，
并将小石块放置于水平地面上.已知小石块的质量为m1，气球（含球内
氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不
变量），风沿水平方向吹，风速为v.已知风对气球的作用力f=ku（式中
为一已知系数，u为气球相对空气的速度）.
开始时，小石块静止在地面上，如图所示.
（1）若风速在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹
离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由.
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的
空间中的风速保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小。

8、如图所示，均匀球重G=30N，放在倾角为α=37°的固定斜面上，球的顶端用一根水平绳子
拉住，球静止。

求：
（1）绳子对球的拉力T的大小；
（2）斜面对球的摩擦力f的大小。

9、一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度是柱
体半径r的一半，如图所示（图为其横截面），柱体与台阶接触处（图中
P点所示）是粗糙的，现要在图中圆柱体最上方A处施一最小的力，使圆
柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，求：
（1）所加的力的大小
（2）台阶对圆柱体的作用力的大小
10、光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平面成60?角靠墙静止，求棒长.
11、如图所示，一长L、质量均匀为M的柔软绳套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，当柔绳在圆锥面上静止时，柔绳中的张力是多少？
12、如图所示，两个重力分别为G A和G B的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ。

13、如图，长为L的均匀木杆重Q，在木杆上离A端L/4处放有一重为Q/2的重物，平衡时，木杆与水平面的夹角α有多大？
14、滑轮支承点A和B可以把梁水平“固定”，每一滚轮作用于梁的力不能超过F0，否则滚轮将损坏，梁的质量为m，长为L，两滚轮间的水平距离为l，如图所示，问梁的一端允许悬挂的最大荷载是多少？梁应如何放置？
15、如图所示，一轻质三足支架每边长均为l，每边与竖直方向成同一角度θ，三足置于光滑水平面上，且恒成一正三角形。

现悬挂一重G的重物，用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线的夹角，试求绳中张力F。

16、如图所示，一物块受到一个水平力F作用静止于斜面上，F的方向与斜面平行，如果将力F 撤消，下列对物块的描述正确的是（）
A.木块将沿面斜面下滑
B.木块受到的摩擦力变大
C.木块立即获得加速度
D.木块所受的摩擦力改变方向
17、如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽A、B的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v1向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v2沿匀速运动，则F的大小（）
A.等于μmg
B.大于μmg
C.小于μmg
D.不能确定
18、如图所示，两根等长直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙
壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下。

若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将（）
A.仍匀速滑下
B.匀加速滑下
C.可能静止
D.一定静止
19、结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与
地面间的动摩擦因数为μ，如图所示求：
（1）梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么位置，梯子开始滑动？
20、两个质量分布均匀的球，半径为r，重为P，里于两端开口的
圆筒内；圆筒半径为R（r<R<2r），并竖直放在水平面上（如图）.
设所有接触面均光滑，为使圆筒不至于倾倒，圆筒的最小重量Q为
多少？如果换成有底的团筒，情况又如何？
21、如图一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心
位置在球心O下的C点，OC=3R/8，现在半球体上表面的平面上放一
重为G/8的小物体P，已知小物体与半球体平面间的滑动摩擦系数
μ=0.2，则要保证半球体倾斜后小物体P不滑下，P的位置离开半球
体球心O的最大距离是多少？
22、如图，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固
定平行细木棒A和B之间，若两棒相距为d，两棒和木板间的摩擦
因数均为μ，试求木板重心C与木棒A之间的距离x应满足的条件？
参考答案
1、略
2、F=θ
cot 2G
，T=θsin mg
21=θ2sin G 3、B
4、C
5、F=mg 3
6、F 只能指向OB 右侧，并位于AB 上方
7、（1）不会；（2）V m=2k g m -gV 22v ）（ρ+
8、（1）T=G cos 1sin αα+=10N ，
（2）f=T=10N 9、（1）F=2.5×102N ，（2）f=4.3×102N
10、棒长为a 11313
）（+
11、柔绳中的张力为π
α2mgcos 2 12、连线与竖直方向夹角θ为
2G G G G cot arctan B A B A α-+ 13、36arccot =α
14、略
15、绳中张力
33Gtan F θ= 16、D
17、C
18、B
19、μ210arctan θ=，x =L/2
20、略
21、0.3R
22、）（μθμ-≥tan x 2d
高一物理竞赛讲义
一、一般情况下物体的平衡
【概念与规律】
2. 共点力作用下物体的平衡条件
若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。

在共点力作用下物体的平衡条件是这些力的合力为零。

即
2.有固定转动轴物体的平衡条件
在有固定转动轴的物体上，如果所有正力矩之和等于所有负力矩之和，或者说，作用在物体上的各力的力矩的代数和等于零，则该物体处于平衡状态，即∑M ＝0。

3.物体的一般平衡条件为
应用物体的一般平衡条件时要注意：
（1）此条件成立的前提是物体所受外力均在一个平面内.
（2）方程∑M i ＝0对任意一个转动轴均成立
（3）取不同的转动轴建立方程时，要注意分析每个力对该轴的力臂以及使物体转动的方向；同一个力对于不同的转动轴，产生的力矩的正负和力臂的大小均可能不同。

（4）依次取不同的转动轴可以列出多个方程，对处于平衡的物体而言，独立的方程一共只有三个，只能解出三个未知数。

【例题与习题】
1、如图所示，重为G 的一根均匀硬棒AB ，杆的A 端被细绳吊起，在杆的另一端B 作用一水平力F ，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向
的夹角分别为α、β。

求证：tan β=2tan α。

解析：
硬棒受到三个力作用平衡，则三个力的作用线必交于一点，
如图所示。

AB 为一根质量均匀的硬棒，所以O 为AB 的中点，
则由几何关系可得C 为BD 的中点，而
tan β=AD BD ，tan α=AD CD ，
所以tan β=2tan α。

2、有一条重为G 的绳子，它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳两端和水平线夹角为θ。

求：
（1）绳的一端对挂钩的作用力F 为多大？
（2）绳的最低点的张力T 为多大？
解答
（1）对绳子受力分析，受重力和两个拉力，如图所示：
根据平简条件，有：T=θsin mg 2
1=θ2sin G ； （2）对左半边绳子受力分析，受重力、拉力和右半边绳子
的拉力，如图所示：
由平衡条件可得：F=θcot 2G。

3、如图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，
镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实现
的方案是（）
解析：A 中以绳子与镜框的接触为支点、BC 中以镜框与墙壁接触点为支点、D 以重心为支点，分别分析除支点外受力情况，确定各力的力矩方向，判断能否平衡.镜框受到两个力（除接触点外），这两个力的力矩方向相反才可能平衡.
试题解析：A 、C 以绳子与镜框的接触为支点，除支点外，镜框受到重力和墙壁的作用力两个力，相对支点而言，重力和墙壁的作用力的力矩都是逆时针方向，镜框将以支点为轴逆时针转动，不可能平衡.故A 错误.
B 、以镜框与墙壁接触点为支点，除支点外，镜框受到重力和绳子的拉力，重力力矩是顺时针方向，墙壁的作用力力矩沿逆时针方向，可能平衡.故B 正确.
D 、以重心为支点，镜框受到墙壁的作用力，其力矩方向沿逆时针方向，则镜框将绕重心逆时针转动.故D 错误.
故选B
4、如图所示，有三块完全相同且密度均匀的砖叠放在桌子边缘，
砖长为L ，把桌面上三块砖从上到下依次向外缓慢推出，为保持
砖块不致翻倒，第一块砖最多只能推出长度为d ，则d 等于（）。

B 、L/2 B 、3L/4
C 、11L/2
D 、5L/6
解析：砖密度均匀，重心在几何中心.第一块砖放在第二块砖上
面不翻倒，最大可伸出第一、二块砖放在第三块砖上，合重心
在号处，所以第二块砖最大可伸出不致翻倒，这时三块砖合重心在第三块砖的处，则L m =L 1+L 2+L 3=L L 121164L 2L
=++.故本题选C.
5、两个相同的小球A 和B ，质量均为m ，用长度相同的两根细线把A 、
B 两球悬挂在水平天花板上的同一点O ，并用长度相同的细线连接A 、
B 两球.然后用一水平方向的力F 作用在小球A 上，此时三根细绳均
处于直线状态，且OB 细线恰好处于坚直方向，如图，如果不考虑小
球的大小，两小球均处于静止状态，则力F 的大小为_______。

解析：先以B 为研究对象，根据平衡条件分析可知AB 绳对小球的拉
力为零；再以球A 为研究对象，受到三个力作用，作出力图，根据正
交分解法求出拉力F.
解：对B 分析，由于OB 细线恰好处于竖直方向，B 处于平衡状态，
可知AB 绳中张力为零；对球A 分析，受到重力G ，作用力和OA 绳的
拉力T4，受力分析如图：
根据平衡条件得：
T A cos60°-mg=0
T A sin60°-F=0联立并代入数据解得：F=mg 3故答案为：F=mg 3。

6、如下图所示，两根重杆OA 和AB ，由铰链连接，并用铰链悬挂在天花板上，B 位于O 的正下方。

若在B 端沿纸平面施一个力F ，使系统在纸平面内平衡，不计一切摩擦，试分析F 的方向应在什么范围？
解答
【分析】因为对于两根重杆其重力矩的方向是顺时针的，所以所加的外力
的方向必须逆时针才可使系统处于平衡状态。

当所加外力在BO 左侧或沿BO 方向时，均不可以使两杆处于平衡态，
所以所加外力必须指出BO 的右侧。

再隔离两杆进行分析：
取点B 为轴进行分析，杆AB 将施力区分为三个区域，需要在这三个区域分别进行分析：如果所加外力在AB 的下方，则其力矩也与AB 重力矩的方向相同，AB 杆不能平衡；若沿AB 方向，则其力矩为零，由于AB 杆重力矩的作用，杆不能平衡。

取两根杆整体为研究对象，并以O 点为转轴。

假设力F 指向OB 左侧，其力矩与整体重力矩均为顺时针方向，整体不可能平衡。

假设力F 沿OB 方向，其力矩为零，整体也不可能平衡。

所以力F 必须指向OB 的右侧，产生逆时针力矩才可能与整体重力矩平衡。

取AB 为研究对象，并以A 点为转轴。

假设F 在AB 下方，其力矩与AB 重力矩均为逆时针方向，AB 不可能平衡。

假设F 沿AB 方向，其力矩为零，AB 也不可能平衡。

所以力F 必须指向AB 上方，产生顺时针力矩才可能与AB 重力矩平衡。

因此，F 只能指向OB 右侧，并位于AB 上方。

7、在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上.已知小石块的质量为m 1，气球（含球内氢气）的质量为m 2，气球体积为V ，空气密度为ρ（V 和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为v.已知风对气球的作用力f=ku （式中为一已知系数，u 为气球相对空气的速度）.
开始时，小石块静止在地面上，如图所示.
（1）若风速在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹
离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由.
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的
空间中的风速保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小。

解答：（1）将气球和小石块作为一个整体：在竖直方向上，气球（包
括小石块）受到重力G.浮力F 和地面支持力N 的作用，据平衡条件
有
N=（m1+m2）ρ-ρg V ①
由于式中N 是与风速v 无关的恒力，故气球连同小石块不会一起被吹离地面.
（2）气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达最大速度时气球在水平方向做匀速运动，有v x =v ②
（3）气球在竖直方向做匀速运动，有m 2g+kv y =ρg V③
气球的最大速度
v m =2y 2
x v v +④
联立求解得
V m=2
k g m -gV 22v ）（ρ+⑤
9、 如图所示，均匀球重G=30N ，放在倾角为α=37°的固定斜面上，球的顶端用一根水平绳子
拉住，球静止。

求：
（1）绳子对球的拉力T 的大小；
（2）斜面对球的摩擦力f 的大小。

解析：（1）取球为研究对象，以球与斜面接触点A 为转轴，由于球处于静
止状态，绳子拉力产生的顺时针力矩一定等于球重力产生的逆时针力矩，故有：
TR （1+cos α）=GRsin α，T=G cos 1sin αα+=10N ；
（2）取球为研究对象，以球心O 为转轴，由于球处于静止状态，绳子拉力产生的顺时针力矩一定等于摩擦力产生的逆时针力矩，故有：fR=TR ，f=T=10N 。

所以，绳子对球的拉力为10N ，斜面对球的摩擦力为10N 。

9、一个质量为m=50kg 的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度是柱体半径r 的一半，如图所示（图为其横截面），柱体与台阶接触处（图中P 点所示）是粗糙的，现要在图中圆柱体最上方A 处施一最小的力，使圆柱体刚能开始以P 为轴向台阶上滚，求：
（1）所加的力的大小
（2）台阶对圆柱体的作用力的大小
解析：
解：（1）要在A 处施一最小的力，则力的方向应与AP 垂直，这样力臂最大.
因为r=2h ，由几何关系可推知∠PAO=30°，∠POB=60°要使圆柱体刚能绕p 轴上滚，即味着此时地面对圆柱体的支持力N=0，（a ）
这时，拉力下和重力mg 对p 轴的力矩平衡，由此可得
mgrsin60°=F ×2rcos30°（b ）
所以F=2.5×102N
（2）设台阶对柱体的作用力为f ，因为刚能开始运动时，f 与重力mg 及拉力F 为三力平衡，所以必为共点力，由此可知力的方向是沿PA 方向，即力的方向与的方向垂直，所以的大小必等于重力在AP 方向上的分力.即
f=mgcos30°
f=4.3×102N （c ）
10、光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB 与
水平面成60?角靠墙静止，求棒长.
11、如图所示，一长L 、质量均匀为M 的柔软绳套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，当柔绳在圆锥面上静止时，柔绳中的张力是多少？
12、如图所示，两个重力分别为G A和G B的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ。

14、如图，长为L的均匀木杆重Q，在木杆上离A端L/4处放有一重为Q/2的重物，平衡时，木杆与水平面的夹角α有多大？
14、滑轮支承点A和B可以把梁水平“固定”，每一滚轮作用于梁的力不能超过F0，否则滚轮将损坏，梁的质量为m，长为L，两滚轮间的水平距离为l，如图所示，问梁的一端允许悬挂的最大荷载是多少？梁应如何放置？
15、如图所示，一轻质三足支架每边长均为l，每边与竖直方向成同一角度θ，三足置于光滑水平面上，且恒成一正三角形。

现悬挂一重G的重物，用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线的夹角，试求绳中张力F。

16、如图所示，一物块受到一个水平力F作用静止于斜面上，F的方向与斜面平行，如果将力F 撤消，下列对物块的描述正确的是（）
A.木块将沿面斜面下滑
B.木块受到的摩擦力变大
C.木块立即获得加速度
D.木块所受的摩擦力改变方向
17、如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽A、B的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v1向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v2沿匀速运动，则F的大小（）
A.等于μmg
B.大于μmg
C.小于μmg
D.不能确定
18、如图所示，两根等长直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下。

若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将（）
A.仍匀速滑下
B.匀加速滑下
C.可能静止
D.一定静止
19、结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与
地面间的动摩擦因数为μ，如图所示求：
（1）梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么
位置，梯子开始滑动？
22、两个质量分布均匀的球，半径为r ，重为P ，里于两端开口的圆筒内；圆筒半径为R （r<R<2r ），并竖直放在水平面上（如图）.设所有接触面均光滑，为使圆筒不至于倾倒，圆筒的最小重量Q 为多少？如果换成有底的团筒，情况又如何？
23、如图一个半径为R 、重为G 的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O 下的C 点，OC=3R/8，现在半球体上表面的平面上放一重为G/8的小物体P ，已知小物体与半球体平面间的滑动摩擦系数μ=0.2，则要保证半球体倾斜后小物体P 不滑下，P 的位置离开半球体球心O 的最大距离是多少？
22、如图，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固定平行细木棒A 和B 之间，若两棒相距为d ，两棒和木板间的摩擦因数均为μ，试求木板重心C 与木棒A 之间的距离x 应满足的条件？
参考答案
1、略
2、F=
θcot 2G ，T=θsin mg 2
1=θ2sin G 3、B
4、C
5、F=mg 3
6、F 只能指向OB 右侧，并位于AB 上方
7、（1）不会；（2）V m=2k g m -gV 22v ）（ρ+
8、（1）T=G cos 1sin αα+=10N ，
（2）f=T=10N 9、（1）F=2.5×102N ，（2）f=4.3×102N
10、棒长为a 11313
）（+
11、柔绳中的张力为π
α2mgcos 2 12、连线与竖直方向夹角θ为
2G G G G cot arctan B A B A α-+ 13、36arccot =α
14、略
15、绳中张力
33Gtan F θ= 16、D
17、C
18、B
19、μ210arctan θ=，x =L/2
20、略
21、0.3R
22、）（μθμ-≥tan x 2d。