第二章-光的衍射--习题及答案

第二章 光的衍射
1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。

求第к个带的半径。

若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：
20
22r
r k k +=ρ 而
20λ
k
r r k +=
20λ
k r r k =
-
20202λρk r r k =
-+
将上式两边平方，得
42
2020
20
2
λλρk kr r r k
+
+=+ 略去2
2λk 项，则
λ
ρ0kr k =
将
cm
104500cm,100,1-80⨯===λr k 带入上式，得
cm 067.0=ρ
2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。

问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大设此时的波长为500nm 。

解：（1）根据上题结论
ρ
ρ0kr k =
将
cm
105cm,400-50⨯==λr 代入，得
cm 1414.01054005
k k k =⨯⨯=-ρ 当k 为奇数时，P 点为极大值； k 为偶数时，P 点为极小值。

（2）P 点最亮时，小孔的直径为
cm
2828.02201==λρr
3．波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。

解：根据题意
m 1=R 500nm
mm 1R mm 5.0R m 121hk hk 0====λr
有光阑时，由公式
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=R r R R r r R R k h h 11)(02
002λλ 得
11000110001
105005.0116202
11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ
41000110001105001116202
22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ
按圆孔里面套一个小圆屏幕
()1
3221312121212121
a a a a a a a a p =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=
没有光阑时
21
0a a =
所以
4．波长为的平行光射向直径为的圆孔，与孔相距1m 处放一屏。

试问：（1）屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少
解：（1）P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时, 波带数为
()
310108.63238.1236202
02
=⨯⨯===-r d
r k λλρ
故P 点为亮点.
(2) 当P 点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时, P 点变成 暗点,此时, P 点至圆孔的距离为
750mm m m 108.632438.16
2
20=⨯⨯==-λρk r
则P 点移动的距离为
25cm
75cm -100cm 0=='-=∆r r r
当P 点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时, P 点也变成暗点。

与此对应的P 到圆孔的距离为
1500mm m m 108.632238.16
220=⨯⨯=='
-λρk r
则P 点移动的距离为
50cm 100cm -cm 15000==-'
=∆r r r ５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r 1的不透明圆盘,第二半波带是半径r 1
至r 2的透明圆环,第三半波带是r 2至r 3的不透明圆环,第四半波带是r 3至r 4的透明圆环,第五半波带是r 4至无穷大的不透明区域,已知r 1:r 2：r 3:r 4=1:2:3:4,用波长500nm 的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m 的轴上.试求:(1) r 1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.
解：因为5个半波带组成的半波带片上,,11=K 1r 不透光;212,2r r K 至=透
光;
2
3,3r K =至
3
r 不透光;
3
4,4r K =至4r 透光;
4
5,5r K =至无穷大不透光.
4:3:2:1:::321=r r r r r 单色平行光nm 500=λ ∞=0R
第一条最亮的像点在
1000m m
m 10==r 的轴上,即
mm 103
01=='r f (1)
λλ⨯=
=='12
12
0r k R r f h 707
.05.0105001106301==⨯⨯⨯==∴-λk r r
(2) 像点的光强:2
24224)(a a a A I P P =+== 所以02164I a I p ==
(3) 光强极大值出现在轴的位置是(即
Λ7,5,3f f f '
'')
mm
10m 131==='
r f Θ
ΛΛ m 717 m 515 m 313151312
='
='='='='='
∴f f f f f f
6. 波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带(1,3,5,……)。

另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I 0.
解: 100个奇数半波带通光总振幅a a A 100100
1100=∑= 2
)100(a I =
同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光
总振幅为
a
a a A 2001200
2
1991
1200=∑+∑= ()2
2
0)100(4200a a I ==
41
)100(4)100(2
20=⨯=∴a a I I 7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P 点的相位为π/2和π/6时,P 点离焦点的距离.
解：设P 点离焦点的距离为y ，透镜的焦距为f '。

缝宽为b ，则位相差和光程差的关
系式为
f y
b
b b '=
≈
=
=
∆λ
π
θλ
π
θλ
π
δλ
π
ϕ2tan 2sin 22
故
ϕπλ∆'
=
b f y 2
当缝的两边到P 点的位相差为2π
时，P 点离焦点的距离为
m m
18.024.02600108.424=⋅⨯⨯⨯=∆'=-ππϕπλb f y
当缝的两边到P 点的位相差为6π
时，P 点离焦点的距离为
m m
06.064.02600108.424=⋅⨯⨯⨯='∆'='-ππϕπλb f y
8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.
解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知
λ
θ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=21sin 0k b 得
λ
λθ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=212213sin b 所以
6
.4287
5=='λλnm
所以该光为紫色光.
9. 波长为的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上,若将焦距为100cm 的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少
解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:
λθθk f y
b
b b ='=≈tan sin
得第一、第三最小值的位置分别为
mm 5461.010461.511000
41=⨯⨯='=
-λb f y
mm 638.13
3='
=λb f y
由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式
λθ⎪⎭⎫
⎝⎛+≈'≈21sin 00k f y b
b k
得
mm 819.010461.5110002323410=⨯⨯⨯='⨯=
-λb f y
10. 钠光通过宽的狭缝后,投射到与缝相距300cm 的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为,问钠光的波长为多少若改用X 射线(λ=做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少
解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式
b k k λθ212sin 0+±
=
得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为
b f b
f b
f y y y λ
λ
λ
'
='
-'
≈-=∆212
那么
nm 590300885
.002.0⨯='⋅∆=
f b y λ
如果改用cm 10408
-⨯=λ时
cm
10602.010*******
--⨯=⨯⨯='=∆b f y λ
12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少(设可见光中最短的紫光波长为400nm ，最长的红光波长为760nm)
解：由光栅方程 λθj d =sin 得
2
4
1108.302.0106.7sin --⨯=⨯==d 红
λθ
所以 ︒=18.21θ
2
4
2100.402.0100.422sin --⨯=⨯==d 紫
λθ
所以 ︒=29.22θ
式中
mm 02.0501
==
d
所以 rad 10263618.229.2312-⨯='''=︒-︒=-=∆θθθ
13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠二级和三级怎样若重叠，则重叠范围是多少
解：根据光栅方程
λθj d =sin
得 ,1=j
d d
nm
760sin 1=
=
红
λθ
2=j ，
d d
nm 8002
sin 2=
=紫
λθ
因为
2θ>1θ 所以 一级和二级不重叠.
而 ,2=j 2sin 2=θd d
nm 1520=
红
λ
,3=j
d d
nm 12003
sin 3=
=紫
λθ
因为
3θ<2θ 所以二级和三级光谱部分交迭.
设第3级紫光和第2级波长的光重合
则
d d
紫
λλ3
2
1
= 所以
nm 60040023
2
3
1=⨯=
=紫λλ
设第2级红光和第3级波长为2λ的光重合
则
d d
红
λλ2
3
2
=
所以
nm
7.5067603
23
2
2=⨯==红λλ
综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的nm 700~600与三级光谱的
nm 7.506~400重叠.
14. 用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm 内的缝数是多少
解: ）12,2,1,0(sin ΛΘ==j j d λθ
）条/cm (2221058921
1800115sin 17
≈⨯⨯⨯⨯'︒=≈=∴
-πλθλθj j d
15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱。

试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱(2)光以︒30角入射时,最多能观察到几级光谱
解:)1( 根据光栅方程 λθj d =sin 得
θ
λ
sin d
j =
可见j 的最大值与1sin =θ的情况相对应(θsin 真正等于1时,光就不能到达屏上).
根据已知条件
cm 40001mm 4001==
d ,并取,1sin =θ则得
2.410589040001
8=⨯=-j (此处j 只能取整数,分数无实际意义)
即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程
)
,2,1,0()sin (sin 0Λ±±==±j j d λθ,可
得 λ
θθ)
sin (sin 0+=
d j
同样,取,1sin =θ得
4.6105890)130(sin 40001
8
=⨯+︒⨯=-j
即能得到最大为第六级的光谱线.
16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光其颜色如何
解: 由题意可知 毫米条2501
=d ︒=30θ 760nm nm 390<<λ
当nm 760=λ时,
由公式λθj d =sin
得
6
.22107602501
30sin 6=⨯⨯⨯=
︒=
-λ
d
j 当nm 390=λ时,
=
︒=30sin λ
d j 1.52103902501
6
=⨯⨯⨯-
所以 1.56.2<<j 这里j 可取3, 4, 5
当3=j 时
nm 66721025031
sin 6=⨯⨯⨯==
-j d θλ (为红色) 当4=j 时
==
j d θλsin nm 500210250416=⨯⨯⨯- (为绿色) 当5=j 时
==
j d θλsin nm 400210250516=⨯⨯⨯- (为紫色)
17. 用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为，不透明部分的宽度a 为，缝数N 为103条。

求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱(3)谱线的半宽度为多少 解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度
rad 104.10102.110240.62222
3
51---⨯=⨯⨯⨯===∆b λθθ
(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定
42.3012.0041
.0==b d
式中d 为光栅的光栅常数. 所以看到的级数为3.
(3) 谱线的半角宽度的公式为:θλ
θcos Nd =
∆
令 ）即0(1cos ≈≈θθ
rad
1052.10041.0101024.6535--⨯=⨯⨯=∆Nd λ
θ＝
18. NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=，密度ρ=cm 3，(1)试证明相邻两离子间的平均距离为
2819.023
=ρ
A N M
nm
式中N A =×1023/mol 为阿伏加德罗常数；（2）用X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X 射线的波长.
解: (1) 晶胞的棱边为。

现先计算晶胞的
为离那么亮离子间的平均距2,0d
d d 棱边
长d,由于每个晶胞包含四个NaCl 分子,那么密度ρ为
34d m V m NaCl
==
ρ
这里,NaCl 分子的质量由下式给出
N M
m NaCl =
所以晶胞的棱边由上面两式联立解得
3
1
4⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρN M d 那么相邻两离子间的平均距离
d 为
nm 2819.017.21002.625.582232330=⨯⨯⨯===
ρN M d d 时
(2) 根据布喇格方程
λ
αj d =00sin 2 在2=j 时
nm 0049.01sin 819.22sin 20
0=︒==
αλd
19 波长为的平行X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。

解：Θ
λ
αj d =0sin 2
∴ 00525.01028.02100147.022sin 9
10
0=⨯⨯⨯⨯==--d j λα
'183.00=≈︒α
光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。

20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b ，缝距分别为d 和2d ，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：
)]6cos 4cos 2(cos 23[sin 220v v v u u I I +++=θ 式中
λθ
πλθπsin ,sin d v b u =
= 证明：设单缝衍射的振幅为
θ
a ,三缝衍射的总振幅为
θ
A ，则
x
A θ＝
θ
a （１＋cos ∆Φ+cos ϕ∆3）
y
A θ＝
θ
a （１＋sin ∆Φ+sin ϕ∆3）,
θI =2θA =2x A θ+2y A θ=2
θa [（１＋cos ∆Φ+cos ϕ∆3）2+（１＋sin ∆Φ+sin ϕ∆3）2]
=2
θa [3+2 (cos ∆Φ+cos2∆Φ+cos ϕ∆3)]
又Θ
θ
a ＝
u u a sin 0
， u=λα
πsin b
u
d 2sin 2==
∆λ
θ
πϕ v =
λθ
πsin d
)]6cos 4cos 2(cos 23[)sin ()]6cos 4cos 2(cos 23[)sin (
2
022
0v v v u u I v v v u u a I +++=+++=θ
其中
λθ
πλθπsin ,sin d v b u ==
，得证．
21一宽度为2cm 的衍射光栅上刻有12000条刻痕。

如图所示，以波长nm 500=λ的单色光垂直投射，将折射率为的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm 均匀变薄到0.5mm ，试问第一辑主最大方向的改变了多少
解：首先求玻璃片的顶角A,
025.0205
.01tan =-≈
A
︒==∴43.1025.0rad A
单色平行光经劈后的偏向角为
rad A n 0125.0)1(0=-=θ
故玻片未加前的光栅方程为 λθj d =sin ，
1±=j 时，
d λ
θ±
=sin ，
将
nm
d nm 4106
1
,500⨯==λ 代入上式，得
︒
±=±=46.17)arcsin(d
λ
θ
玻片加入后的光栅方程为
λ
θθ±=+)sin '(sin 0d
代入数据得：3125.0'sin 2875.0'sin -≈≈θθ或
即 ︒
︒-==21.18'71.16'θθ或
那么，第一级最大的方向改变为 '45'±=-=∆θθθ 22一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成0θ角，在和法线成11°和
53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。

（1）试求入射角
0θ；
（2）试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线 解：（1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧， 根据光程差的计算， 光栅方程为
λ
θθ=+)sin (sin 0d (1)
如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧， 根据光程差的计算， 光栅方程为：
λ
θθ=-0sin 'sin d (2)
(1)- (2)，得
)sin '(sin 21
sin 0θθθ-=
(3)
21 题图
d
(a)
将︒
︒==53',11θθ代入(3)得 ︒=7.170θ
（2）当位于法线两侧时，满足
d j
λ
θθ+=0sin sin
一级谱线：
d λ+
=︒︒7.17sin 53sin 故︒
︒-=7.17sin 53sin d
λ
(4)
二级谱线：
d λ
θθ2
sin sin 0+= (5)
将(4)代入(5)得
1
29.1)sin '(sin 2sin sin 00>=-+=θθθθ
故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。

当位于法线同侧时，满足
sin sin θλθd j d -= ，
sin 2
sin 2θλ
θ-==d
j 时，（6）
将(4)代入（6）得16855.0sin <=θ 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。

23 波长为600nm 的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在
2.0sin 1=θ和
3.0sin 2=θ处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常量；
（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；
（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。

解：(1)光栅方程为 λθj d =1sin λθ)1(sin 2+=j d
故
2
.03
.01sin sin 12=+=j j θθ ，2=j
故
mm nm j d 310660002.0600
2sin -⨯==⨯==
θλ
即光栅常量为6mm 3
10-⨯
(2) 由第四级缺级，得
mm d
b 3105.14-⨯==
d
(b)
即光栅上缝的最小宽度为mm 3
105.1-⨯
(3)
2sin
sin π
θ= 故最大的级次为 10=j
故其时最多观察到 ,9±=j 又考虑到缺级8,4±±，所以能呈现的全部级次为
9,7,6,53,2,1,0±±±±±±±=j。