2019年初三数学竞赛试卷及答案

2019年初三数学竞赛试卷

题号一二三总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

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评卷人得分

一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）

1．用甲乙两种饮料按照x：y（重量比）混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元．现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，则x：y=（）

A．4：5 B．3：4 C．2：3 D．1：2

2．一个立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对的两个面内的两数之和都相等，如图是这个立方体的平面展开图，若20、0、9的对面分别写的是a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）

A．481 B．301 C．602 D．962

3．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）

A．B．C．D．

4．设，则4S的整数部分等于（）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=的图象上整点的个数是（）A．3个B．4个C．6个D．8个

6．有红色、黄色、蓝色三个盒子，其中有一个盒子内放有一个苹果；三个盒子上各写有

一句话，红色盒子上写着“该盒子没有苹果”，黄色盒子上写着“该盒子内有苹果”，蓝色盒子上写着“黄色盒子内没有苹果”；已知这三句话中有且只有一句是真的，那么苹果在哪个盒子内（）

A．红色B．黄色C．蓝色D．不能确定

第Ⅱ卷（非选择题）

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评卷人得分

二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

7．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．由于其中三支应该亮的荧光管不亮了，某公交线路号显示成了“351”路，则该公交线路号可能有种．

8．如图，长方体中J为棱EF上一点，三角形EHJ与三角形JFB的面积都是50平方厘米，四边形BCGF的周长为24厘米，长方体的体积是立方厘米．

9．如果x+y+z=a，++=0，那么x2+y2+z2的值为．

10．如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用小时．

11．一水池有三个流量相同的注排两用水管，开一个水管一个小时注排水50立方米．假设先开一个进水管注满半池水，再同时开三个进水管注满另一半池水；排水时，先用时间开三个水管同时排水，再用时间只开一个水管排水，把池中水排尽，这样排完一池水所花时间比前面注满一池水少用2个小时，水池的容积是立方米．

12．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．

评卷人得分

三．解答题（共4小题，共46分）

13．（10分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，试求a、b的值．

14．（10分）已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．

15．（12分）定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注：本定理不需要证明）

（1）图2，△ABC中，AC=BC，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明C，E，O，F四点共圆．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）

如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有：

（2）图3，在凸四边形ABCD中，AD=BC，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DE=BF，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究△PQR 的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；

如果不是，请说明理由．

16．（14分）已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．

参考答案与试题解析

1．解：根据题意可知：5x+4y=5.5x+3.6y，

0.5x=0.4y，

∴x：y=4：5．

故选：A．

2．解：由题意得：20+a=b=9+c，

∴a﹣b=﹣20，b﹣c=9，a﹣c=﹣11，

原式=，

=，

=301，

故a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca之值为301．

故选：B．

3．解：掷骰子有6×6=36种情况．

根据题意有：4n﹣m2＜0，

因此满足的点有：n=1，m=3，4，5，6，

n=2，m=3，4，5，6，

n=3，m=4，5，6，

n=4，m=5，6，

n=5，m=5，6，

n=6，m=5，6，

共有17种，

故概率为：17÷36=．

故选：C．

4．解：当k=2，3…99，

因为，

所以1＜S=．于是有4＜4S＜5，

故4S的整数部分等于4．