金属细丝扭转尺寸效应及其有限元模拟研究_梁伟
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s η' ijk3 三个相互正交分解后， 其中第一项 η' ijk1 = η ijk － 1( s s s ) ， 式 中， η s = + + ijk 5 δ ij η kpp δ kj η ipp δ ik η jpp 1( i，j，t， ' + ' + ' ) ； 旋转梯度 χ ij = e itm η jtm ， 3 η ijk η kij η jki m = 1， 2， 3 ，e itm 为 置 换 张 量； 等 效 旋 转 梯 度 χ e =
(n
3( n + 3) 2 πK ( κr ) n 1 + 0 ) n + 1 ( ) n +1 +3 槡 3
[
( rl ) ]
2 0
槡
2 χ χ ； 3 ij ij
等
效
应
变
梯
度
η
=
（ 12 ） Q 为转矩。 式中，
第 35 卷第 5 期
梁
伟等： 金属细丝扭转尺寸效应及其有限元模拟研究
2 Nm x 2 1 2 Nm x x 1 2 2 N m x 1 x 3 2 Nm ξ 2 2 －1 N m J ξ χ 2 Nm ξ ζ
631
2
金属细丝扭转有限元模拟
Nm x 1 x 2 Nm 2 x 2 Nm x 2 x 3
2 Nm ξ χ 2 2
2
在上节细丝扭转的分析中， 在本构方程中引入应 变梯度对材料的硬化。 但是， 现有的商业有限元分析 软件并不具备计算应变梯度的功能， 故必须借助现有 软件的二次开发平台， 进行模拟计算。 Abaqus 是一款 为用户提供了强大而灵活的 通用的有限元模拟软件， 用户子程序接口。本文依据其用户单元子程序接口规 ， 编制包含应变梯度计算的单元子程序 UEL。 增 量步开始时， 主程序通过 UEL 程序接口， 将位移增量 范 传给 UEL 子程序， 计算结束后， 返回单元刚度矩阵。 其具体运算流程如图 2 所示。
( ) ( ) ( ) ( )
(
l2 η2 2 εe
) )
（ 10 ）
K 为强度系数， n 为应变强化指 式中， σ e 为等效应力， 数。 将式（ 2 ） 和式（ 9 ） 代入上式后， 整理得到
－ σe = 3 2
n
( κr ) n K
(
1 +
3 l2 r2
（ 11 ）
无量纲化转矩为 Q = r3 0
＊ ＊ 杨晓翔 ＊ ( 福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350108 ) LIANG Wei YANG XiaoXiang
梁
＊ 伟＊
( College of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350108 ，China)
摘要 尺寸效应是金属微细塑性成形研究中的热点和难点之一 。目前采用应变梯度理论能对金属变形过程尺寸效
应的影响进行较好的分析， 但是将之应用于金属微细塑性成形过程分析及其有限元模拟的研究并不多 。 因此将应变梯 度强化引入材料本构模型， 深入剖析在金属细丝扭转过程， 应变梯度强化与应变强化之间的关系， 探讨应变梯度对流动 应力起主要强化作用的区间 。同时基于 Abaqus 有限元软件平台， 编制可实现应变梯度计算的单元子程序， 模拟验证现 有文献中细铜丝扭转实验， 模拟结果与实验基本吻合 。 关键词 Abstract 细丝扭转 O34 尺寸效应 应变梯度 有限单元法 用户单元子程序 中图分类号
Journal of Mechanical Strength
2013 ， 35 （ 5 ） ： 630634
金属细丝扭转尺寸效应及其有限元模拟研究
*
WIRE RESEARCH ON THE SIZE EFFECT DURING THE THIN-METALTORSION AND ITS FEM SIMULATION
(
κ 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 （ 3）
i，j， k = 1， 2， 3 正交分解后， 第一项 η' ijk 为 0 ( 1) ' = η ijk 0 0
图1 Fig． 1 金属细丝扭转坐标系 Plots of two coordinate systems on the thinmetalwire
用位移 u i 的二阶梯度 u k， 其定 ij 来描述应变梯度 η ijk ， i， j， k = 1 ，2 ，3 ； η' ijk = η ijk － 义 为 η ijk = u k， ij ， 1( ) 为应变梯度的偏张量 ， i，j，k，p = + 4 δ ik η jpp δ jk η ipp 1 ，2 ， 3 ； 其中 δ ij 为 Kronecher 符号， i = j； δ ij = δ ij = 1 ， 0， i ≠ j ； 应变梯度偏张量 η' ijk 按 η' ijk = η' ijk1 + η' ijk2 +
Research about the size effect had been the major subject in the research of micro forming for the past few years．
By now，the strain gradient theory had been used well in explaining the size effect，but there was little research about the metal microforming basing on the strain gradient theory． Further research about the strain gradient hardening on the flow stress during the thinmetalwire torsion was conducted． And a new userdefined subroutine considering the strain gradient hardening was coded basing on the finite element software： Abaqus． Using the subroutine，the simulation of the thincopperwire torsion experiment was conducted to study the influence of the strain gradient hardening during the torsion． Compared with the experiment，the simulation results matched well with the experiment． Key words subroutine Corresponding author： YANG XiaoXiang， Email： yangxx@ fzu． edu． cn，Tel： / Fax： + 86 591 22866867 Manuscript received 20120502 ，in revised form 20121011． Thinwire torsion； Size effect； Strain gradient； Finite element method （ FEM） ； Userdefined element
。 金属微细塑性成形技术在微型
零件的生产过程中发挥了重要作用， 但是在微细塑性 随着尺寸的不断减小， 尺寸效应对 成形的加工过程中， 。 零件加工的影响越来越显著 到目前为止， 研究人员已经能够应用现有的应变 梯度理论较好地解释一些金属变形中出现的尺寸效
* 20120502 收到初稿， 20121011 收到修改稿。 ＊ ＊梁
[( )
l1 2 （ 1 ） ( 1 ) 2 η' ijk η' ijk + χ e l CS
]
1 /2
i，j，k = 1 ， 2， 3 将式（ 4 ） 和式（ 7 ） 代入上式， 计算得到 η = κ 关系为
n σ e = Kε e 1 +
（ 8） （ 9）
（ 2）
引入应变梯度硬化后， 金属细丝扭转的材料本构
引言
自上世 纪 80 年 代 以 来， 随着微电子机械系统 （ micro electro mechanical systems， MEMS ） 和微系统技 MST ） 在航空航天、 术（ micro system technology， 精密仪 器、 生物、 医疗、 军事等方面得到广泛应用， 微型零件的 需求量急剧增加
1)
0 0 0
00 0 0 0 0
0 0 0
00 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 （ 4） 0 0 κ
i，j，k = 1 ， 2， 3 旋转梯度为 χ11 χ 21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 － χ23 = χ33 1 κ 2 0 0 － 0 1 κ 2 0
［1 ］
应
， 例如 Chen S H 等将应变梯度强化引入材料本 ， 构模型 很好地分析预测细铜丝扭转过程中所体现出
［6 ］39994001 ［7 ］
［45 ］
的第 II 类尺寸效应 等
［9 ］
。 Diehl A 等［8］、 Hezong L
、 Li H 等［10］应用应变梯度理论解释薄板弯曲实验 中尺寸效应对应力变化及薄板回弹量的影响 。 但是， 将应变梯度理论应用于微细塑性成形的分析 ， 并通过 有限元方法模拟出成形过程， 国内外报道得并不多。 本文在现有细铜丝扭转尺寸效应研究的基础上 ， 分析 应变梯度对扭转过程应力的影响以及应变梯度占主要 强化作用的区间。 同时在 Abaqus 软件平台上编制能 实现应变梯度计算的用户单元子程序， 模拟验证细铜 丝扭转实验。
630
机
械
强
度
2013 年
[( )
l1 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 η' ijk η' ijk + χ e l CS
]
1 /2
， 其中 l CS 为旋转特征长度， 1 l， l 为伸长特征长 10 1
l CS = l， l 为材料的内禀常数， l1 = u2 、 u3 代入计算， 得到 度。将 u1 、 应变梯度为 0 η ijk = 0 0 0 0 －κ 0 0 0 － κ 0 0 0 κ 0
等效旋转梯度 χ e 为 χe =
将式（ 5 ） 代入上式， 计算得到 χe = κ 等效应变梯度为 η = （ 7）
槡
2 χ χ 3 ij ij
i，j = 1 ， 2， 3
（ 6）
1 1 κx κx 2 2 2 1 i、 j 代表图 1 中 x1 、 x2 、 x3 方向； i，j = 1 ， 2， 3。 式中， 等效应变为 εe = 1 κr 3 槡
［23 ］
mail： weirliang 伟，男，1987 年 4 月生，福建莆田人，汉族。福州大学机械工程及自动化学院硕士研究生，研究方向为计算固体力学 。 E-
@ foxmail. com ＊ ＊ ＊杨晓翔，男，1963 年 9 月生，福建福州人，汉族。福州大学机械工程及自动化学院教授，教务处长，博士，研究方向为计算固体力学。 通信 地址： 福建省福州市学园路 2 号机械楼南 210 。
1
金属细丝扭转模型分析
取直角坐标系 ( x1 ， x2 ， x3 ) 及柱坐标系 ( r， x3 ) ， θ，
Fra Baidu bibliotek
（ 5）
x3 轴为金属细丝的中心轴， r 为径向坐标， r0 为细丝半 径， κ 为单位长度扭转角。在直角坐标系中， 位移场为 u1 = － κx2 x3 ，u2 = κx1 x3 ，u3 = 0 ， 则 应变量 ε ij 为 ε11 ε 21 ε31 ε12 ε22 ε32 ε13 ε23 = ε33 － 0 0 0 0 － 1 κx 2 2 1 κx1 （ 1 ） 2 0
(n
3( n + 3) 2 πK ( κr ) n 1 + 0 ) n + 1 ( ) n +1 +3 槡 3
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( rl ) ]
2 0
槡
2 χ χ ； 3 ij ij
等
效
应
变
梯
度
η
=
（ 12 ） Q 为转矩。 式中，
第 35 卷第 5 期
梁
伟等： 金属细丝扭转尺寸效应及其有限元模拟研究
2 Nm x 2 1 2 Nm x x 1 2 2 N m x 1 x 3 2 Nm ξ 2 2 －1 N m J ξ χ 2 Nm ξ ζ
631
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金属细丝扭转有限元模拟
Nm x 1 x 2 Nm 2 x 2 Nm x 2 x 3
2 Nm ξ χ 2 2
2
在上节细丝扭转的分析中， 在本构方程中引入应 变梯度对材料的硬化。 但是， 现有的商业有限元分析 软件并不具备计算应变梯度的功能， 故必须借助现有 软件的二次开发平台， 进行模拟计算。 Abaqus 是一款 为用户提供了强大而灵活的 通用的有限元模拟软件， 用户子程序接口。本文依据其用户单元子程序接口规 ， 编制包含应变梯度计算的单元子程序 UEL。 增 量步开始时， 主程序通过 UEL 程序接口， 将位移增量 范 传给 UEL 子程序， 计算结束后， 返回单元刚度矩阵。 其具体运算流程如图 2 所示。
( ) ( ) ( ) ( )
(
l2 η2 2 εe
) )
（ 10 ）
K 为强度系数， n 为应变强化指 式中， σ e 为等效应力， 数。 将式（ 2 ） 和式（ 9 ） 代入上式后， 整理得到
－ σe = 3 2
n
( κr ) n K
(
1 +
3 l2 r2
（ 11 ）
无量纲化转矩为 Q = r3 0
＊ ＊ 杨晓翔 ＊ ( 福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350108 ) LIANG Wei YANG XiaoXiang
梁
＊ 伟＊
( College of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350108 ，China)
摘要 尺寸效应是金属微细塑性成形研究中的热点和难点之一 。目前采用应变梯度理论能对金属变形过程尺寸效
应的影响进行较好的分析， 但是将之应用于金属微细塑性成形过程分析及其有限元模拟的研究并不多 。 因此将应变梯 度强化引入材料本构模型， 深入剖析在金属细丝扭转过程， 应变梯度强化与应变强化之间的关系， 探讨应变梯度对流动 应力起主要强化作用的区间 。同时基于 Abaqus 有限元软件平台， 编制可实现应变梯度计算的单元子程序， 模拟验证现 有文献中细铜丝扭转实验， 模拟结果与实验基本吻合 。 关键词 Abstract 细丝扭转 O34 尺寸效应 应变梯度 有限单元法 用户单元子程序 中图分类号
Journal of Mechanical Strength
2013 ， 35 （ 5 ） ： 630634
金属细丝扭转尺寸效应及其有限元模拟研究
*
WIRE RESEARCH ON THE SIZE EFFECT DURING THE THIN-METALTORSION AND ITS FEM SIMULATION
(
κ 0 0 0 0 0
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0 0 0 （ 3）
i，j， k = 1， 2， 3 正交分解后， 第一项 η' ijk 为 0 ( 1) ' = η ijk 0 0
图1 Fig． 1 金属细丝扭转坐标系 Plots of two coordinate systems on the thinmetalwire
用位移 u i 的二阶梯度 u k， 其定 ij 来描述应变梯度 η ijk ， i， j， k = 1 ，2 ，3 ； η' ijk = η ijk － 义 为 η ijk = u k， ij ， 1( ) 为应变梯度的偏张量 ， i，j，k，p = + 4 δ ik η jpp δ jk η ipp 1 ，2 ， 3 ； 其中 δ ij 为 Kronecher 符号， i = j； δ ij = δ ij = 1 ， 0， i ≠ j ； 应变梯度偏张量 η' ijk 按 η' ijk = η' ijk1 + η' ijk2 +
Research about the size effect had been the major subject in the research of micro forming for the past few years．
By now，the strain gradient theory had been used well in explaining the size effect，but there was little research about the metal microforming basing on the strain gradient theory． Further research about the strain gradient hardening on the flow stress during the thinmetalwire torsion was conducted． And a new userdefined subroutine considering the strain gradient hardening was coded basing on the finite element software： Abaqus． Using the subroutine，the simulation of the thincopperwire torsion experiment was conducted to study the influence of the strain gradient hardening during the torsion． Compared with the experiment，the simulation results matched well with the experiment． Key words subroutine Corresponding author： YANG XiaoXiang， Email： yangxx@ fzu． edu． cn，Tel： / Fax： + 86 591 22866867 Manuscript received 20120502 ，in revised form 20121011． Thinwire torsion； Size effect； Strain gradient； Finite element method （ FEM） ； Userdefined element
。 金属微细塑性成形技术在微型
零件的生产过程中发挥了重要作用， 但是在微细塑性 随着尺寸的不断减小， 尺寸效应对 成形的加工过程中， 。 零件加工的影响越来越显著 到目前为止， 研究人员已经能够应用现有的应变 梯度理论较好地解释一些金属变形中出现的尺寸效
* 20120502 收到初稿， 20121011 收到修改稿。 ＊ ＊梁
[( )
l1 2 （ 1 ） ( 1 ) 2 η' ijk η' ijk + χ e l CS
]
1 /2
i，j，k = 1 ， 2， 3 将式（ 4 ） 和式（ 7 ） 代入上式， 计算得到 η = κ 关系为
n σ e = Kε e 1 +
（ 8） （ 9）
（ 2）
引入应变梯度硬化后， 金属细丝扭转的材料本构
引言
自上世 纪 80 年 代 以 来， 随着微电子机械系统 （ micro electro mechanical systems， MEMS ） 和微系统技 MST ） 在航空航天、 术（ micro system technology， 精密仪 器、 生物、 医疗、 军事等方面得到广泛应用， 微型零件的 需求量急剧增加
1)
0 0 0
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0 0 0
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0 0 0
0 0 0 （ 4） 0 0 κ
i，j，k = 1 ， 2， 3 旋转梯度为 χ11 χ 21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 － χ23 = χ33 1 κ 2 0 0 － 0 1 κ 2 0
［1 ］
应
， 例如 Chen S H 等将应变梯度强化引入材料本 ， 构模型 很好地分析预测细铜丝扭转过程中所体现出
［6 ］39994001 ［7 ］
［45 ］
的第 II 类尺寸效应 等
［9 ］
。 Diehl A 等［8］、 Hezong L
、 Li H 等［10］应用应变梯度理论解释薄板弯曲实验 中尺寸效应对应力变化及薄板回弹量的影响 。 但是， 将应变梯度理论应用于微细塑性成形的分析 ， 并通过 有限元方法模拟出成形过程， 国内外报道得并不多。 本文在现有细铜丝扭转尺寸效应研究的基础上 ， 分析 应变梯度对扭转过程应力的影响以及应变梯度占主要 强化作用的区间。 同时在 Abaqus 软件平台上编制能 实现应变梯度计算的用户单元子程序， 模拟验证细铜 丝扭转实验。
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机
械
强
度
2013 年
[( )
l1 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 η' ijk η' ijk + χ e l CS
]
1 /2
， 其中 l CS 为旋转特征长度， 1 l， l 为伸长特征长 10 1
l CS = l， l 为材料的内禀常数， l1 = u2 、 u3 代入计算， 得到 度。将 u1 、 应变梯度为 0 η ijk = 0 0 0 0 －κ 0 0 0 － κ 0 0 0 κ 0
等效旋转梯度 χ e 为 χe =
将式（ 5 ） 代入上式， 计算得到 χe = κ 等效应变梯度为 η = （ 7）
槡
2 χ χ 3 ij ij
i，j = 1 ， 2， 3
（ 6）
1 1 κx κx 2 2 2 1 i、 j 代表图 1 中 x1 、 x2 、 x3 方向； i，j = 1 ， 2， 3。 式中， 等效应变为 εe = 1 κr 3 槡
［23 ］
mail： weirliang 伟，男，1987 年 4 月生，福建莆田人，汉族。福州大学机械工程及自动化学院硕士研究生，研究方向为计算固体力学 。 E-
@ foxmail. com ＊ ＊ ＊杨晓翔，男，1963 年 9 月生，福建福州人，汉族。福州大学机械工程及自动化学院教授，教务处长，博士，研究方向为计算固体力学。 通信 地址： 福建省福州市学园路 2 号机械楼南 210 。
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金属细丝扭转模型分析
取直角坐标系 ( x1 ， x2 ， x3 ) 及柱坐标系 ( r， x3 ) ， θ，
Fra Baidu bibliotek
（ 5）
x3 轴为金属细丝的中心轴， r 为径向坐标， r0 为细丝半 径， κ 为单位长度扭转角。在直角坐标系中， 位移场为 u1 = － κx2 x3 ，u2 = κx1 x3 ，u3 = 0 ， 则 应变量 ε ij 为 ε11 ε 21 ε31 ε12 ε22 ε32 ε13 ε23 = ε33 － 0 0 0 0 － 1 κx 2 2 1 κx1 （ 1 ） 2 0