高2020届高2017级湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题三解析

2020届湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题(三)

一、单选题

1.已知集合2{|340}A x x x =--≤,{|3}B x x =<,则A B =( )

A.[)1,3-

B.(],4-∞

C.[]1,4-

D.(,3)-∞

【参考答案】B

【试题解析】求出集合A ,B ,由此能求出A B .

因为集合2

{|340}{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤, {|3}B x x =<,

(]{|14}{|4},4A B x x x x ⋃=-≤≤⋃≤=-∞,

故选:B

本题考查集合的交集运算,涉及解一元二次不等式,属于基础题.

2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【参考答案】B

【试题解析】3i e 表示的复数为:cos3sin3i +,根据3,2ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

即可得出结论.

由题意可得3i e cos3sin3i =+,

3,2ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

,cos30,sin 30∴<>,

因此在复平面中位于第二象限. 故选:B

本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号,属于基础题.

3.已知函数31

221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪

=⎨+>⎪⎩

,则((4))f f =( )

A.3

B.4

C.5

D.

1

4

【参考答案】A

【试题解析】根据题意,由函数的解析式求出f (4)的值,即可得(f f (4))f =(1),计算即可得答案.

解:根据题意,函数31

221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪

=⎨+>⎪⎩

,

则()12

43log 4321f =+=-=,

则()2

((4))1213f f f ==-=.

故选:A .

本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基础题. 4.已知1sin 62πθ⎛

⎫

-

= ⎪⎝

⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

,则cos θ=( ) A.0

B.

1

2

D.1

【参考答案】B

【试题解析】

首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 6πθ⎛⎫

-

= ⎪

⎝

⎭,再由cos cos 66ππθθ⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭,利用两角和的余弦公式即可求解.

由1sin 62πθ⎛

⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

,

所以cos 6πθ⎛

⎫

-

== ⎪⎝

⎭,

所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭.

故选:B

本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式,属于基础题. 5.(

)()4

2

12x x ++的展开式中3

x 的系数为( )

A.31

B.32

C.36

D.40

【参考答案】D

【试题解析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.

()()4

212x x ++的展开式中3x 的系数为:

31

344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.

故选:D

本题考查了二项式系数,特别注意对x 系数的化简,需熟记二项式展开式的通项公式,属于基础题. 6.函数()ln 1

1

x f x x -=

-的大致图象是( ) A. B.

C. D.

【参考答案】A

【试题解析】首先利用特殊值令1

2

x =

,判断函数值的正负可排除B 、C ,再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解.

令

1

2 x=,

则

1

ln1

12

2ln20

1

21

2

f

-

⎛⎫

==>

⎪

⎝⎭-

,排除B、C；

()()

ln21ln1ln1

2

2111

x x x

f x f x

x x x

----

-===-=-

----

,即()()

20

f x f x

-+=, 故函数图像关于()

1,0成中心对称图形,

故选:A

本题考查了函数图像的识别,解决此类问题要充分挖掘函数的性质,可利用排除法,属于中档题.

7.等腰直角三角形ABC中,2

AB AC

==,点D为斜边BC上的三等分点,且2

AM AD

=,则MC MB

⋅=( )

A.0

B.

4

9

C.2

D.

8

9

【参考答案】D

【试题解析】以A为坐标原点,,

AC AB为x轴、y轴,根据题意写出各点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求解.

以A为坐标原点,,

AC AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,

由2

AB AC

==,且点D为斜边BC上的三等分点,

所以()

2,0

C、()

0,2

B、

42

,

33

D

⎛⎫

⎪

⎝⎭

,

又2

AM AD

=,

84

.

33

M

⎛⎫

∴ ⎪

⎝⎭

,