高2020届高2017级湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题三解析

2020届湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题(三)一、单选题1.已知集合2{|340}A x x x =--≤,{|3}B x x =<,则A B =( )A.[)1,3-B.(],4-∞C.[]1,4-D.(,3)-∞【参考答案】B【试题解析】求出集合A ,B ,由此能求出A B .因为集合2{|340}{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤, {|3}B x x =<,(]{|14}{|4},4A B x x x x ⋃=-≤≤⋃≤=-∞,故选:B本题考查集合的交集运算,涉及解一元二次不等式,属于基础题.2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】B【试题解析】3i e 表示的复数为:cos3sin3i +,根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论.由题意可得3i e cos3sin3i =+,3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos30,sin 30∴<>,因此在复平面中位于第二象限. 故选:B本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号,属于基础题.3.已知函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩,则((4))f f =( )A.3B.4C.5D.14【参考答案】A【试题解析】根据题意,由函数的解析式求出f (4)的值,即可得(f f (4))f =(1),计算即可得答案.解:根据题意,函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩,则()1243log 4321f =+=-=,则()2((4))1213f f f ==-=.故选:A .本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基础题. 4.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A.0B.12D.1【参考答案】B【试题解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用两角和的余弦公式即可求解.由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:B本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式,属于基础题. 5.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )A.31B.32C.36D.40【参考答案】D【试题解析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为:31344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.故选:D本题考查了二项式系数,特别注意对x 系数的化简,需熟记二项式展开式的通项公式,属于基础题. 6.函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A. B.C. D.【参考答案】A【试题解析】首先利用特殊值令12x =,判断函数值的正负可排除B 、C ,再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解.令12 x=,则1ln1122ln201212f-⎛⎫==>⎪⎝⎭-,排除B、C；()()ln21ln1ln122111x x xf x f xx x x-----===-=-----,即()()20f x f x-+=, 故函数图像关于()1,0成中心对称图形,故选:A本题考查了函数图像的识别,解决此类问题要充分挖掘函数的性质,可利用排除法,属于中档题.7.等腰直角三角形ABC中,2AB AC==,点D为斜边BC上的三等分点,且2AM AD=,则MC MB⋅=( )A.0B.49C.2D.89【参考答案】D【试题解析】以A为坐标原点,,AC AB为x轴、y轴,根据题意写出各点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求解.以A为坐标原点,,AC AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由2AB AC==,且点D为斜边BC上的三等分点,所以()2,0C、()0,2B、42,33D⎛⎫⎪⎝⎭,又2AM AD=,84.33M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,24,33MC ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭,82,33MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2842833339MC MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴.故选:D本题考查了向量数量积的坐标表示,解题的关键是建立恰当的坐标系,属于基础题. 8.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且23a =,525S =,若2sin 3n n n b a π=,并设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则9T =( )A. B.0C.-D. 【参考答案】C【试题解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 的通项公式,然后求出n b ,可得n b 每3项之和相等,进而求和即可.由数列{}n a 为等差数列,则2111513354255252a a d a d da d S a =+=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨⨯+==+=⎩⎪⎩, 解得1a 1,d 2,所以()1121n a a n d n =+-=-.则12sin3b π==,243sin 3b π==365sin 03b π==,487sin32b π==,5109sin 32b π==-,6612sin 03b a π==,所以123b b b ++=456b b b ++=所以912789T b b b b b =+++++=-故选:C本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式,同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性,属于中档题.9.已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>,0)ϕπ是奇函数,且在[,]34ππ-上单调递减.则ω的最大值是( ) A.12B.23C.32D.2【参考答案】C【试题解析】直接利用函数的奇偶性和单调性,建立不等式组,进一步求出最大值. 解:()f x 是奇函数,(0)cos 0f ϕ∴==,且0ϕπ,2πϕ∴=, ()cos()2f x x πω∴=+,令:222k x k ππωππ++,()k ∈Z ,解得:2222k k x ππππωωωω-+,()k ∈Z , 由于函数在[,]34ππ-上单调递减, 故:223242k k πππωωπππωω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩,当0k =时,整理得:322ωω⎧⎪⎨⎪⎩,故:32ω,可得ω的最大值为32. 故选:C .本题考查的知识要点:函数的奇偶性和单调性的应用,不等式组的解法的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.10.已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,P 是双曲线的左顶点,过点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ,B 两点,若2APB π∠<,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A.(1,2)B.C.(1,3)D.【参考答案】A【试题解析】由题可知APB △为等腰三角形,通过AF PF <,列出不等式求解离心率即可.由题可知APB △为等腰三角形,若2APB π∠<,只需4APF π∠<即AF PF <,因为通径22b AB a =,所以2b AF a=,即2b ac a <+,所以22b a ac <+,即222c a a ac -<+,所以2220c ac a --<, 可得:220e e --<, 解得:12e <<. 故选:A .本题考查双曲线的简单性质的应用,求双曲线的离心率,属于中档题 11.已知函数()f x 是定义在{|x x R ∈或}0x ≠上的偶函数,且0x >时,()2log f x x =.若函数()()11122x x g x f x --=-++,则满足不等式()21214g a ->的实数a 的取值范围是( ) A.()0,2 B.()()0,11,2 C.()(),12,-∞⋃+∞D.()(),02,-∞+∞【参考答案】D【试题解析】根据题意可得()g x 关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,由()21214g a ->可得()()213g a g ->,利用函数的对称性只需21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩即可求解.当0x >时,()2log f x x =,即函数在()0,∞+为增函数, 所以()1f x -在()1,+∞为增函数, 令()111422222x x x x h x --⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,令2xt =, 所以()142h t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由对勾函数的单调性可知()h t 在()2,+∞为增函数,所以()14222x x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,+∞为增函数, 由题可知函数()()11122x x g x f x --=-++关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,而由不等式()21214g a ->可得,()()213g a g ->,从而21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩﹐得实数a 的取值范围是()(),02,-∞+∞.故选:D本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式,属于中档题.12.已知函数()2,04,0x e x x f x x x x ⎧->=⎨+<⎩,函数()f x 的图象在1x x =,2x x =处的切线平行,则12x x -的取值范围为( ) A.32,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦B.[)ln5,2C.[]ln5,2D.3ln 5,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦【参考答案】D【试题解析】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.设12x x >,其中()10,ln5x ∈,进而1121e 53ln 5,ln 222x x x x -⎛⎤-=-∈+ ⎥⎝⎦.由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.不妨设12x x >,由2244x +<,则114xe -<,即()10,ln5x ∈,所以1121e 52x x x x --=-, 设()11111e 55222x x e x g x x --=-=-, 则()1122x e g x -'=,当()10g x '>,则1ln 2ln5x <<,函数()1g x 在()ln 2,ln5为增函数,当()10g x '=,则1ln 2x =,当()10g x '<,则10ln 2x <<,函数()1g x 在()0,ln 2为减函数,()ln5ln5g =-,()3ln 2ln 22g =--,所以()13ln 5,ln 22g x ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦, 故选:D本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用,属于中档题.二、填空题13.已知x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,则目标函数z x y =-的取值范围为________.【参考答案】1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【试题解析】作出约束条件的可行域,将目标函数z x y =-化为y x z =-,数形结合求出直线y x z =-截距的取值范围即可求解.由x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,作出目标函数的可行域如下(阴影部分):将z x y =-化为y x z =-,作出y x =,则y x z =-表示与y x =平行的直线, 由图可知y x z =-经过A 时,截距最大,由21y x x y =⎧⎨+=⎩,解得12,33x y ==,所以12,33A ⎛⎫⎪⎝⎭,所以211333z -≤-=,即13z ≥-, 所以目标函数z x y =-的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为:1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭本题考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出可行域,属于基础题. 14.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若2AF FB =,则AF =________.【参考答案】3【试题解析】由题意可知直线AB 的斜率存在,设出直线方程:()1y k x =-,将直线与抛物线联立,设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ,利用韦达定理可得121=x x ,再根据2AF FB =,结合焦点弦公式可得()12121x x +=+,从而可求出1x ,进而求出AF过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且2AF FB =,则直线的斜率存在,设直线AB 为()1y k x =-,所以()214y k x y x⎧=-⎨=⎩ ,整理可得()2222240k x k x k -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,则121=x x (1), 由2AF FB =,则()12121x x +=+ (2), 将(1)(2)联立可求出12x =或11x =-(舍去) 所以11132pAF x x =+=+=. 故答案为:3本题考查了抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题.15.已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,P 为棱1DD 中点,现在棱AD 和棱CD 上分别取点M ,N ,使得平面MNP 与正方体各棱所成角相等,则平面MNP 截球O 的截面面积是__.【参考答案】512π. 【试题解析】首先证明M ,N 分别为对应棱的中点,再证明1B D ⊥平面PMN ,求出1B D 的中点O 到1B D 与平面PMN 的交点O '的距离,再由勾股定理求得截面圆的半径,则答案可求.正方体1111ABCD A B C D -中,P 是棱1DD 中点,M ,N 分别为棱AD ,CD 上任意点, 正方体1111ABCD A B C D -中,有1111//////AB CD A B C D ,1111//////AD BC B C A D ,1111//////AA BB CC DD若平面MNP 与正方体各棱所成角相等,只需平面MNP 与AD ,DC ,1DD 所成角相等即可,所以四面体D MNP -中,DN ,DM ,DP 与面MNP 所成角相等, 设DM a =,DN b =,过D 作DE ⊥面MNP ,如下图所示:DN ∴与面MNP 所成角为DNE ∠,DM 与面MNP 所成角为DME ∠,DP 与面MNP 所成角为DPE ∠,则sin DE DNE DN ∠=,sin DE DME DM ∠=,sin DEDPE DP∠=, 由所成角相等,得12DN DM DP ===,即M ,N ,P 分别为AD ,DC ,1DD 的中点, //MN AC ∴,1//MP AD ,故面//MNP 面1AD C ,连接1DB ,1A D ,1AD ,DB ,AC ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11A D AD ⊥, 又11A B ⊥平面11A ADD ,111A B AD ∴⊥,而111A D B A =⋂,1AD ∴⊥平面11A B D ,则1AD ⊥平面11A B D ,1//MP AD ,MP ∴⊥平面11A B D ,则1MP B D ⊥,同理1MN B D ⊥,MP MN M ⋂=,且MP ,MN ⊂平面MNP , 1B D ∴⊥平面MNP ,球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球且正方体棱长为1,O ∴为1B D 的中点,1B D ==设1B D ⋂面MNP O =',则O '为截面圆圆心且OO '⊥面MNP ,OO O N ∴'⊥', 因此222111()()()263OO ON NO '=-'=-=,设截面圆的半径r ,OD 为球的半径R ,则112R B D ==, 222()R r OO ∴-=',故222315()4312r R OO =-'=-=,∴截面面积为2512r ππ=. 故答案为:512π.本题考查多面体外接球及其有关计算,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.16.在锐角ABC 中,2BC =,sin B ,sin C 的等差中项为sin A ,则中线AD 的长的取值范围是__.【参考答案】133,⎭. 【试题解析】由已知ABC 为锐角三角形结合正弦定理,余弦定理可求b 的范围,进而可求bc 的范围,然后由1()2AD AB AC =+可求22122AD AB AC AB AC =++⋅,即可求解.2BC =,sin sin 2sin B C A +=,由正弦定理可得,24b c a +==,即4c b =-, 因为ABC 是锐角三角形,所以222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩,解可得,3522b <<,所以22(4)4(2)4bc b b b b b =-=-=--+, 结合二次函数的性质可知,215(2)444b <--+≤, 1()2AD AB AC =+ 22222211422222b c AD AB AC AB AC c b bc bc+-=++⋅=++⨯2==⎭=故答案为: ⎭本题主要考查了正弦定理,余弦定理及二次函数的性质,数量积的性质的综合应用,属于中档题.三、解答题17.设函数()()25sin cos 22f x x x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos bB=,求()f A 的取值范围.【参考答案】(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1+. 【试题解析】(1)利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再利用周期公式2T πω=可求周期,利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232k x k πππππ-+≤+≤+,解不等式即可. (2)利用正弦定理边化角求出3B π=,再利用三角形的内角和性质求出62A ππ<<,代入解析式,根据三角函数的性质即可求解.(1)()2sin cos 1f x x x x =+sin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z ,得71212k x kππππ+≤≤+,k∈Z,从而函数()f x的单调递减区间为()7,1212k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z;(2)在锐角ABC∆中,由3sin cosa bA B=知,3Bπ=,则2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62Aππ<<,从而242,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为()13,13-+.本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理,熟记性质是关键,属于基础题.18.如图,在三棱锥P ABC-中,ABC∆为等腰直角三角形,PBC∆为等边三角形,其中O为BC中点,且1AB AC==.(1)求证:平面OPA⊥平面PBC;(2)若3AP=AP⊥平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析;(26【试题解析】(1)由题意可得BC AO⊥,BC PO⊥,利用线面垂直的判定定理证出BC⊥平面P AO,从而得证.(2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x 轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出CE以及平面ABC的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求解.(1) 证明:由题可知,BC AO ⊥,BC PO ⊥,且AOPO O =,故BC ⊥平面P AO ,又BC ⊂平面PBC ,因此平面OPA ⊥平面PBC . (2)作PH 垂直于平面ABC ,垂足为H ,由(1)知,点H 在直线AO 上.如图,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A ,()0,1,0B ,()1,0,0C ,110,22,O ⎛⎫⎪⎝⎭, 设P 点坐标为(),,a a h ,利用3AP =,62PO =,可得1a h ==.从()1,1,1AP =. 因为E 为AP 上的点,故存在实数λ,使得AE AP λ=,点E 坐标可设为(),,λλλ, 由AP ⊥平面EBC 知,0AP CE ⋅=,得13λ=, 从而21133,,3CE =-⎛⎫⎪⎝⎭,取平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =. 设CE 与平面ABC 所成角的为θ,6sin 6CE n CE nθ⋅==⋅. 故CE 与平面ABC 所成角的正弦值为66.本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角,要证面面垂直,需证线面垂直,此题属于中档题.19.中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年,两年共招收学生2000人,其中有300人参与学习先修课程,两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试,结果如下表所示: 分数a95100a ≤≤ 8595a ≤< 7585a ≤< 6075a ≤< 60a <人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系,根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ,求Eξ.参考数据:()2P K k0.150.100.050.0250.0100.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.【参考答案】(1)详见解析；(2)①0.6；②90.【试题解析】(1)直接利用已知填表并画出图形,利用独立性检验公式计算可得:239.216K ≈,问题得解.(2)①直接利用已知数据计算得解,②由题可得:自主招生通过的人数ξ服从二项分布,利用二项分布的期望公式计算得解.(1)列联表如下:优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 60 240 300 没有学习大学先修课程 140 1560 1700 总计20018002000等高条形图如图:通过图形可判断学习先修课与优等生有关系,又222000(601560140240)39.216 6.63530017002001800K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 (2)①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ,则3~150,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,15015032(),0,1,2,,15055kk kP x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3150905E ξ=⨯=本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系,还考查了二项分布的期望公式,考查计算能力,属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右焦点分别是1F ,2F ,直线y x =被椭圆C.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,2)-且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,交x 轴于P 点,点A 关于x轴的对称点为M ,直线BM 交x 轴于Q 点.求证:·(OP OQ O 为坐标原点)为常数. 【参考答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【试题解析】(1)利用已知条件,解得2a =,1b =.然后推出椭圆方程. (2)直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为2(,0)k.设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,则1(M x ,1)y -,直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,求出Q 坐标,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,转化求解4OP OQ =即可.(1)设椭圆C 的焦距为2c ,则c a =由直线y x =被椭圆C截得的线段长为5可知,点(55在椭圆上, 从而2244155a b+=.结合222a b c =+,可解得2a =,1b =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)证明:依题意,直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为2(,0)k. 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,则1(M x ,1)y -, 直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,令0y =,得Q 点的横坐标为12211212121222()()4x y x y kx x x x x y y k x x +-+==++-.①又由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得22(14)16120k x kx +-+=,22223(16)412(14)64480,4k k k k ∆=--⨯+=->>, 得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,代入①得22242162164(14)k kx k k k -⨯==-+, 得4OP OQ =,所以||||OP OQ ⋅为常数4.本题考查椭圆的简单性质,椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题. 21.已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同零点1x ,()212x x x <. (1)求a 的取值范围; (2)证明:当1104x <≤时,21214x x <. 【参考答案】(1)()1,+∞;(2)证明见解析. 【试题解析】(1)求出导函数()1xf x x-'=,求出函数的单调递增、递减区间,从而()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,需满足()10f >,然后验证()f x 在()0,1,()1,+∞分别有零点即可.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,证出()221104f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭,再利用函数的单调性即可得出22114x x <,从而得证.(1)由题,()111x f x x x-'=-=, 则当01x ≤≤时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.故()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,由题可知,需满足()10f >,即1a >.当1a >时,0e 1a -<<,()e e 0a a f --=-<,故函数()ln f x x x a =-+在()e ,1a -上存在一个根,存在(211b >+>,使得((((222()1ln 1121f b f a ⎡⎤<+=-++<⎢⎥⎣⎦(210a -+=,从而函数()ln f x x x a =-+在()1,b 上存在一个根,故a 的取值范围为()1,+∞.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,因此()()222222111111ln ln 444f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112113ln 2ln 24x x x =-++ 令211()3ln 2ln 2044F x x x x x ⎛⎫=-++<≤ ⎪⎝⎭, 则()233331*********x x F x x x x x --⎛⎫'=--=<≤ ⎪⎝⎭, 而233662121016x x x --≤--<,即()0F x '<, 从而()F x 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以()104F x F ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭, 因此()22114f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,又因为()f x 在()1,+∞上单调递减,且21>x ,21114x >, 所以22114x x <,从而21214x x <.本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10+-+=ρρθρθ,直线l 的参数方程为cos 2sin x t a y t a =⎧⎨=+⎩(t为参数,[)0,a π∈).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角0,3a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,P 点坐标为()0,2,求PA PBPA PB ⋅+的最小值.【参考答案】(1)[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈,222210x y x y ++-+=;(2【试题解析】(1)讨论π2a 或2a π≠,消参求出直线方程即可；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立,求出()122sin cos t t a a +=-+,121t t =,利用参数的几何意义可知()121212sin cos PA PBt t PA PBt t a a ⋅==+++,然后利用辅助角公式以及三角函数的最值即可求解.(1)①当π2a时,直线l 的方程为0x =, ②2a π≠时,直线l 的方程为()2tan y a x -=⋅,由①,②得,直线l 的方程可写成[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y ++-+=. (2)将直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立得:()22sin cos 10t a a t +++=则()122sin cos t t a a +=-+,121t t =, 则()121212sin cos PA PB t t PA PB t t a a ⋅==≥+++当且仅当4a π=时取等号).故PA PB PA PB ⋅+最小值为4. 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,参数的几何意义,辅助角公式以及三角函数的性质,考查了分类讨论的思想,属于中档题.23.已知函数()24f x x a =+-.(1)当2a =时,解不等式()1f x x ≥-;(2)若对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】(1)(][),71,-∞-+∞;(2)(][),14,-∞+∞.【试题解析】(1)利用零点分段法分类讨论解不等式即可. (2)不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,利用绝对值的几何意义只需2234a a a ≤-+,解不等式即可.(1)当2a =时,不等式()1f x x ≥-等价于2114x x +--≥, 得()()12114x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或()()112114x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或()()12114x x x >⎧⎨++-≥⎩, 解得(][),71,x ∈-∞-⋃+∞.(2)对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,从而可得2234a a a ≤-+,得a 的取值范围为(][),14,-∞+∞.本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围,属于基础题.。