密码学数学基础第十一讲 有限域
有限域
定义
f (x).g (x)= ( a j bi -j )x i .
i =0 j =0
M
i
设f (x),g (x) F[x],有 0 (f (x)+g (x)) max ( 0 f (x), 0 g (x)) [什么时候<成立?] 0 (f (x).g (x))= 0 f (x)+ 0 g (x) 由此可推导出： F[x]中的元素对于所定义的加法和乘法不能成为域. 本章将利用域上的多项式，通过多项式求余和 有理分式的方法来构造域.
系理1 设F 是个域,而F0是F 的一个子域.那么F 的零元和单位元 一定都属于F0 ,而且分别就是F0的零元和单位元. 证：设0是F 的零元， 00是F0的零元. 因为00 F ，所以00 0=00 . 又因为00 F0 , 所以00 00 =00 . 由此， 00 0=00 00，所以0=00 . 同样的方法可以证明单位元. 系理2 设F 是个域,a F 而a a 0,那么a -1 0. 证：假定a -1 0, 那么e aa 1 a 0 0, 与域的定义不符.
有 限 域 (Finite Fields)
信息安全实验室
参考书目
• 《代数与编码》万哲先，科学出版社出 版，华中科技大学出版社影印。
• 《有限域》冯克勤，走向数学丛书，湖 南教育出版社。 • 《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社。
一、域的基本性质
1.0 有限域的起源
•17世纪起，费尔马(Fermat,1601-1665)、欧拉(Euler,17071783),勒让德(Legendre,1752-1833)和高斯(Gauss,17771855)等大数学家研究数论得到了同余式的许多性质，实质上 也就研究了p元有限域的许多性质。 •第一个明确讨论任意有限域的是法国年青数学家伽罗华 (Galois,1811-1832),1828年《关于五次方程的代数解法问 题》，产生群的概念，1830年《关于数论》在p元有限域的基 础上，利用扩张方法构造了全部可能的有限域。所以有限域 通常也叫伽罗华域。
有限域基础选讲
设 f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 则 f(x) | qm 1. 本原多项式
设f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 如果 p(f) qm 1, 则称f(x)为Fq[x]中本原多项式.
作业
• 作业3：克莱茵4元群克表示为G={1, a, b, c}，其运算为 ：1x=x, x∈G, ab=c, ac=b, bc=a, 请实现上述运算。
有
限
域
基
础
选
讲
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有限域基础
1. 群
群的定义 设G是一个集合, G上定义了一种运算, 记为“•”, 如果该运
算满足
i) a, bG, (a b)c a (b c); ii)存在一个eG, 对于aG, 有ae ea a成立, 称e为G的 单位元; iii) aG, 存在a1G, 使得aa1 a1a e成立, 称a1为a的 逆元; 则称G在定义的运算下构成一个群. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a; 则称G在定义的运算下构成一个交换(abel)群.
若环R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环, 易知, 剩余类环和多项式环都是主理想整环.
3. 有限域
3.1 有限域的概念 在有限集合F上定义了两个二元运算:
加法“”和乘法“•”, 如果(F , )是交 换群, F的非零元素对乘法构成交换群, 而 且乘法对加法满足分配律, 则称(F , , •) 是有限域.
设R是一个交换环且J是R的理想, 如果存在 aR, 使J (a) {ka | kJ}, 则称J为R的主理想, a为J的生成元.
例2.1: 全体整数Z对于数的加法和乘法构成一个环, 通常称 为整数环. 但全体正整数对于加法和乘法就不构成一 个环, 因为不满足加法条件iii, iv.
密码学的数学基础
定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
寻找有限域同构映射
寻找有限域同构映射⼀、有限域简介有限域亦称伽罗⽡域（Galois Fields），是伽罗⽡于 18 世纪 30 年代研究代数⽅程根式求解问题时引出的概念。
有限域在密码学、近代编码、计算机理论、组合数学等⽅⾯有着⼴泛的应⽤在抽象代数中，域是⼀个对加法和乘法封闭的集合，其中要求每个元素都有加法逆元，每个⾮零元素都有乘法逆元。
若域 \(F\) 只包含有限个元素，则称为有限域，有限域中元素的个数称为有限域的阶。
可以证明，有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表⽰为 \(p^n\)（\(p\) 是素数，\(n\) 是正整数）。
有限域通常记为 \(GF(p^n)\)⼆、有限域同构因为⽹上似乎都没有如何寻找有限域同构映射的资料，⽽正好我上课学到了相关的内容，在此结合⾃⼰的理解作简单的介绍。
因为不是数学系相关的学⽣，⽽且对有限域的理解仅处于⽪⽑，有很多定理没办法给出详细的证明，在逻辑上或许会多有漏洞，如果读者发现我的漏洞希望能够指出。
（虽然指出了我也不⼀定能听懂，但还是希望能够指出）另外，有限域的相关知识（例如有限域的性质，有限域的构造等）将默认读者已经了解，在阅读后续内容前先保证对上述知识有所了解2.1 寻找同构映射思路⾸先，任意相同阶数的有限域都同构。
假设 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 都是域 \(F_p\) 上的 \(n\) 阶不可约多项式，那么有限域 \(F_1 = F_p[x] / p(x)\) 和 \(F_2 = F_p[x] / q(x)\) 都是 \ (p^n\) 阶有限域。
有下⾯两条重要定理：如果假设 \(\alpha\) 是多项式 \(p(x)\) 的⼀个根，那么有限域 \(F_1\) 可以表⽰成 \(F_p[\alpha]\)如果假设 \(\beta\) 是多项式 \(q(x)\) 的⼀个根，那么有限域 \(F_2\) 可以表⽰成 \(F_p[\beta]\)现在需要找到⼀个两者的同构映射 \(\phi\)⾸先，根 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满⾜ \(p(\alpha)=0\) 和 \(q(\beta)=0\)直接将 \(\alpha\) 映射到 \(\beta\) 是不可⾏的，因为线性关系⽆法保证，即⽆法保证 \(p(\beta)=0\)那么如果找到 \(\beta ' \in F_p[\beta]\) 使得 \(p(\beta')=0\) 成⽴，这样就可以构造 \(\alpha \to \beta '\) 的映射2.2 寻找同构映射例⼦求有限域 \(Z_3[x] / (x^2 + 1)\) 和 \(Z_3[x] / (x^2 + x +2)\) 之间的同构映射记 \(p(x) = x^2 + 1\) ，\(q(x) = x^2 + x + 2\)且有 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 为 \(p(x)\) 的⼀个根且有 \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\) 为 \(q(x)\) 的⼀个根寻找得到 \(\beta' = \beta + 2\) ，使得 \(p(\beta') = (\beta + 2)^2 + 1 = \beta^2 + \beta + 2 = 0\)那么对应的映射为 \(\alpha \to \beta + 2\)也就是原先 \(Z_3[\alpha]\) 中的元素 \(a_1 \alpha + a_0\) 将被映射成 \(a_1 (\beta + 2) + a_0 = a_1 \beta + (2a_1 + a_0) \in Z_3[\beta]\)或者说原先 \(Z_3[x] / (x^2 + 1)\) 中的元素 \(a_1 x + a_0\) 将被映射到 \(Z_3[x] / (x^2 + x +2)\) 中的 \(a_1 x + (2a_1 + a_0)\)2.3 同构映射逆映射在 2.2 中已经求出了⼀个同构映射 \(\alpha \to \beta + 2\)很容易发现 \(q(\alpha - 2) = (\alpha - 2)^2 + (\alpha - 2) + 2 = \alpha^2 + 1 = 0\)也就是说逆映射为 \(\beta \to \alpha - 2\)三、复合域与同构3.1 复合域接下来介绍⼀个稍微复杂的有限域——复合域，复合域在密码学中具有⾮常⼤的⽤途，将⼀个⾼阶的有限域转化为两个或多个低阶有限域的复合，便于后续分析记 \(p(x) = x^2 + x + 4\) ，\(F_2[x] / p(x)\) 为 \(2^2\) 阶有限域记 \(q(x) = x^4 + x^3 + 1\) ，\(F_2[x] / q(x)\)为 \(2^4\) 阶有限域那么将两者复合得到 \(F : b_1 x + b_2 \; mod \; p(x), \; b_i \in F_2[x] / q(x)\) ，为 \((2^4)^2 = 2^8\) 阶有限域（复合域）3.2 复合域同构通过⼀个例⼦来了解求复合域同构的过程记 \(F_2[x] / r(x)\) 为 \(2^8\) 阶有限域， \(r(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)记 \(F[x] / (p(x), q(y)) = (a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0) x + (b_3 y^3 + b_2 y^2 + b_1 y + b_0)\) 为上述 3.1 中的 \((2^4)^2\) 阶有限域求 \(F_2[x] / r(x) \to F[x] / (p(x), q(x))\) 的⼀个同构映射⾸先，需要遍历 \(F[x] / (p(x), q(y))\) 的全部元素，找到其中⼀个 \(\beta'\) 满⾜ \(r(\beta') = 0\) 的元素 \((y^2 + 1)x + (y^3 + y^2 + y)\)记 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; r(x)\) 为 \(r(x)\) 的根那么同构映射为 \(\alpha \to \beta'\)四、映射矩阵4.1 有限域与矩阵在密码学中，常将多项式表⽰为矩阵的形式，例如在 \(GF(2^8)\) 上的多项式\[x^7 + x^6 + x + 1 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T \]假设 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 都是 \(F_2\) 上的 \(8\) 次不可约多项式，那么可以构成 \(2^8\) 阶有限域 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\)假设 \(\alpha\) 是多项式 \(p(x)\) 的⼀个根，那么有限域 \(F_2[x]/p(x)\) 可以表⽰成 \(F_2[\alpha]\)假设 \(\beta\) 是多项式 \(q(x)\) 的⼀个根，那么有限域 \(F_2[x]/q(x)\) 可以表⽰成 \(F_2[\beta]\)且假设 \(c_7 x^7 + c_6 x^6 + c_5 x^5 + \cdots + c_1 x + c_0\) 是 \(F_2[x]/p(x)\) 上的⼀个多项式，那么该多项式也可以等价于 \(c_7 \alpha^7 + c_6 \alpha^6 + c_5\alpha^5 \cdots c_1 \alpha + c_0\) ,即\[\begin{bmatrix} \alpha^7 & \alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3 & \alpha^2 & \alpha & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} c_7 & c_6 & c_5 & c_4 & c_3 & c_2 & c_1 &c_0\end{bmatrix}^T \]4.2 多项式矩阵假设 \(\alpha^i = a_{7,i} x^7 + a_{6,i} x^6 + \cdots a_{1,i} x + a_{0,i}\)那么\[\begin{bmatrix} \alpha^7 \\ \alpha^6 \\ \alpha^5 \\ \alpha^4 \\ \alpha^3 \\ \alpha^2 \\ \alpha \\ 1 \end{bmatrix}^T \equiv \begin{bmatrix} a_{7,7} & a_{7,6} & a_{7,5} & a_{7,4} & a_{7,3} & a_{7,2} & a_{7,1} & a_{7,0}\\ a_{6,7} & a_{6,6} & a_{6,5} & a_{6,4} & a_{6,3} & a_{6,2} & a_{6,1} & a_{6,0}\\ a_{5,7} & a_{5,6} & a_{5,5} & a_{5,4} & a_{5,3} & a_{5,2} & a_{5,1} &a_{5,0}\\ a_{4,7} & a_{4,6} & a_{4,5} & a_{4,4} & a_{4,3} & a_{4,2} & a_{4,1} & a_{4,0}\\ a_{3,7} & a_{3,6} & a_{3,5} & a_{3,4} & a_{3,3} & a_{3,2} & a_{3,1} & a_{3,0}\\ a_{2,7} & a_{2,6} & a_{2,5} & a_{2,4} & a_{2,3} & a_{2,2} & a_{2,1} & a_{2,0}\\ a_{1,7} & a_{1,6} & a_{1,5} & a_{1,4} & a_{1,3} & a_{1,2} & a_{1,1} & a_{1,0}\\ a_{0,7} & a_{0,6} & a_{0,5} & a_{0,4} &a_{0,3} & a_{0,2} & a_{0,1} & a_{0,0} \end{bmatrix} \]当 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 时，上式为单位阵 \(I\)4.3 同构映射与矩阵假设 \(c_7 x^7 + c_6 x^6 + c_5 x^5 + \cdots + c_1 x + c_0\) 是 \(F_2[x]/p(x)\) 上的多项式假设 \(d_7 x^7 + d_6 x^6 + d_5 x^5 + \cdots + d_1 x + d_0\) 是 \(F_2[x]/q(x)\) 上的多项式记它们两者的矩阵表⽰为 \(C\) 和 \(D\)要找到两个域的映射关系，将⼀个多项式映射到另⼀个多项式也就是要找到⼀个映射矩阵 \(T\) ，使得⼀个多项式的矩阵表⽰ \(C\) 和另⼀个多项式的矩阵表⽰ \(D\) 满⾜ \(TC = D\)上⽂提到，可以找到⼀个同构映射 \(\alpha \to \beta'\) ，使得有限域 \(F_2[\alpha]\) 和有限域 \(F_2[\beta]\) 同构根据同构关系的线性性质，有 \(\alpha^i \to \beta'^i\) ，故映射为\[c_7 \alpha^7 + c_6 \alpha^6 + c_5 \alpha^5 \cdots c_1 \alpha + c_0 \to c_7 \beta'^7 + c_6 \beta'^6 + c_5 \beta'^5 \cdots c_1 \beta' + c_0 \]记 \(\alpha\) 对应的矩阵（如4.2所⽰）为 \(A\) ， \(\beta'\) 对应的矩阵为 \(B\)那么映射矩阵 \(T\) 满⾜ \(TAC = BC\) ，即 \(T= B A^{-1}\)为了计算⽅便，⼀般选取的根 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\)那么 \(\alpha\) 对应的矩阵 \(A\) 即为单位阵 \(I\)那么 \(T = B\)假设 \(\beta'^i = b_{7,i} x^7 + b_{6,i} x^6 + \cdots b_{1,i} x + b_{0,i}\)那么\[T = \begin{bmatrix} b_{7,7} & b_{7,6} & b_{7,5} & b_{7,4} & b_{7,3} & b_{7,2} & b_{7,1} & b_{7,0}\\ b_{6,7} & b_{6,6} & b_{6,5} & b_{6,4} & b_{6,3} & b_{6,2} & b_{6,1} & b_{6,0}\\b_{5,7} & b_{5,6} & b_{5,5} & b_{5,4} & b_{5,3} & b_{5,2} & b_{5,1} & b_{5,0}\\ b_{4,7} & b_{4,6} & b_{4,5} & b_{4,4} & b_{4,3} & b_{4,2} & b_{4,1} & b_{4,0}\\ b_{3,7} & b_{3,6} &b_{3,5} & b_{3,4} & b_{3,3} & b_{3,2} & b_{3,1} & b_{3,0}\\ b_{2,7} & b_{2,6} & b_{2,5} & b_{2,4} & b_{2,3} & b_{2,2} & b_{2,1} & b_{2,0}\\ b_{1,7} & b_{1,6} & b_{1,5} & b_{1,4} &b_{1,3} & b_{1,2} & b_{1,1} & b_{1,0}\\ b_{0,7} & b_{0,6} & b_{0,5} & b_{0,4} & b_{0,3} & b_{0,2} & b_{0,1} & b_{0,0} \end{bmatrix} \]4.4 ⼀般算法流程⾸先，需要找到两个域 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\) 满⾜映射关系的 \(\alpha\) 和 \(\beta'\)其中 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) ， \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\)且 \(p(\beta') = 0, \beta' \in F_2[\beta] = F_2[x]/q(x)\)计算 \(\beta'^i, i = 0, 1, \cdots , 7\) ，并将 \(\beta'^i\) 的系数值置于矩阵 \(T\) 的倒数第 \(i\) 列（从0开始）五、代码实现（寻找同构映射）有限域的四则运算：假设 \(p(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1\) ，\(q(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)需要求解 \(F_2[x]/p(x)\) 和 \(F_2[x]/q(x)\) 之间的映射关系5.1 有限域类(GF28)def gf2_mul(a: int, b: int, poly: int) -> int:"""有限域乘法"""ans = 0digit = poly.bit_length() - 1while b:if b & 1:ans = ans ^ aa, b = a << 1, b >> 1if a >> digit:a = a ^ polyreturn ansclass GF256:def __init__(self, value, poly):self.value = valueself.poly = polydef __add__(self, other):"""加法"""return GF256(self.value ^ other.value, self.poly)def __sub__(self, other):"""减法"""return GF256(self.value ^ other.value, self.poly)def __mul__(self, other):"""乘法"""return GF256(gf2_mul(self.value, other.value, self.poly), self.poly)def __pow__(self, power, modulo=None):"""幂"""res = GF256(1, self.poly)for i in range(power):res = res * selfreturn res5.2 p(x)和q(x)定义px = 0b100011011 # x^8 + x^4 + x^3 + x + 1qx = 0b111110101 # x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1p = lambda x: x ** 8 + x ** 4 + x ** 3 + x + x ** 0q = lambda x: x ** 8 + x ** 7 + x ** 6 + x ** 5 + x ** 4 + x ** 2 + x ** 05.3 遍历搜索for i in range(2 ** 8):# 遍历 F_2[x]/q(x) 的元素t = GF256(i, qx)if p(t).value == 0: # 满⾜p(t)=0print(bin(t.value))得到8个结果0b1000000b1100110b1111100b11100000b100111110b101001100b101010100b110011105.4 结果令 \(\alpha = \overline{x} \; mod \; p(x)\) 为 \(p(x)\) 的⼀个根令 \(\beta = \overline{x} \; mod \; q(x)\) 为 \(q(x)\) 的⼀个根上述结果也就是找到了8个映射关系，分别为值关系0b100000\(\alpha \to \beta^5\)0b110011\(\alpha \to \beta^5 + \beta^4 + \beta + \beta^0\)0b111110\(\alpha \to \beta^5 + \beta^4 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1\)0b1110000\(\alpha \to \beta^6 + \beta^5 + \beta^4\)0b10011111\(\alpha \to \beta^7 + \beta^4 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1 + \beta^0\) 0b10100110\(\alpha \to \beta^7 + \beta^5 + \beta^2 + \beta^1\)0b10101010\(\alpha \to \beta^7 + \beta^5 + \beta^3 + \beta^1\)0b11001110\(\alpha \to \beta^7 + \beta^6 + \beta^3 + \beta^2 + \beta^1\)六、有限域同构与密码学在例如 AES 和 SM4 这类对称密码的 S 盒变换的底层，所使⽤的就是有限域 \(GF(2^8)\) 的求逆变换（除了求逆还涉及⼀些仿射变换）。
密码学数学基础第十一讲有限域
④乘法逆元
由于m(x)是不可约的，故GF(28)中任一非零元素都与m(x) 互素，从而有乘法逆元(即模m(x)的逆)，这样GF(28)中非零元 素为除数的除法总是可以进行。
任何系数在二元域GF(2)中并且次数小于8的多项式b(x)， 利用欧几里德算法可以计算a(x)和c(x)使得
c(x)=a(x) b(x)=a(x) b (x)Mod M(x)
AES中选择 M(x)=x4 +1 ，则 c(x)=c3x3 +c2x2 +c1x+c0 的系数用矩阵相乘表示如下:
c0 a0 a3 a2 a1 b0
c1 c2 c3
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶。 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
本讲内容
一．域的特征 二．有限域的结构 三．密码学上的简单应用
一．域的特征
密码学数学基础第十一讲 有限域
＋ 0 1 x x＋1 ＋ · 0 1 x x＋1 ＋
0 0 1 x x＋1 ＋ 0 0 0 0 0
1 1 0 x＋1 ＋ x 1 0 1 x x＋1 ＋
x x x＋1 ＋ 0 1 x 0 x x＋1 ＋ 1
x＋1 ＋ x＋1 ＋ x 1 0 x＋1 ＋ 0 x＋1 ＋ 1 x
5．有限域的表示 ]/(f( ))简记为GF(p 将GF(pn)[ ]=Zp[x]/( (x))简记为GF( n)。 GF( )[x]=Z ]/( ))简记为GF( 为素数， = GF(q) GF(q) 设p为素数，q=pn，GF( )*是GF( )中非零元的 为素数 集合， GF(q) 集合，则（GF( )*，·）是q－1阶循环群。 ） － 阶循环群。 GF(q)的本原元， GF(q) 的生成元， 设β是GF( )的本原元，即β是GF( )*的生成元， － =1}。 GF(q) ={β 则GF( )*={β，β2，…，βq－2，βq－1=1}。 ， － GF(q)={0， GF( )={0，1，β，β2，…，βq－2}。 )={0 ， －
对于有限域GF(28) ，选定不可约多项式 选定不可约多项式m(x)=x8+x4+x3+x+1 对于有限域 就可以进行以下运算。 ，就可以进行以下运算。 ①加法：就是字节的异或运算。 加法：就是字节的异或运算。 两个多项式相加，结果是一个多项式， 两个多项式相加，结果是一个多项式，其系数是两个元素 中对应系数的模2 中对应系数的模2加。 多项式的形式： 多项式的形式：
求有限域F 的所有本原元。 例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。 的本原元。 例2：求模14的原根。 求模14的原根。 14的原根 是模14的原根 解：3和11是模 的原根。 和 是模 的原根。 2. 域的同构 命题3 是一个域， chF=0， 命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个 与有理数域同构的子域； chF=p， 与有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个 Z/（ 同构的子域。 与Z/（p）同构的子域。
有限域介绍
例子：(R, +)中，实数 0 符合这一要求，所以(R, +)是幺半群，0 是它的单位元。
群
如果一个幺半群(S, +)中的每一个元素 a 都有唯一一个元素 b 与之对应且满 足以下性质：
a+b=b+a=e，其中 e 是单位元 a+b=b+a=e，其中 e 是单位元
例子：(R, ⋅)中，除了实数 0（(R, +)的单位元）以外所有数都有倒数，一个数和 他的倒数之积为 1（单位元），也就是一个实数的倒数就是它的乘法逆元。所以 (R, +, ⋅)是一个除环。但是如果把其中的实数集改为整数集，就不满足这个性质 了，因为大于 1 的整数倒数不在整数集中，因此没有乘法逆元。
抽象代数基础
抽象代数，其实就是对我们日常使用的代数运算进行了抽象，将其泛化到更一般 的领域。我们学习加法和乘法，里面有说它们满足结合律、交换律、分配律。这 么多年我们一直把这些性质当成自然而然的东西，但是在抽象代数中，定义某些 运算时，他们未必就像在普通加法乘法里那么显然。
集合
这是高中数学就有的内容。集合具有三个性质：
1. 无序性。集合中的元素是无序的。 2. 唯一性。集合中每个元素都是唯一、不重复的。 3. 确定性。给定一个元素和一个集合，这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集
合，不存在其它情况。
比较常见的集合有：整数集（ZZ）、有理数集（QQ）、实数集（RR）等。
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
有限域基础选讲
有限域的基本概念
01 有限域是一种特殊的代数结构，由有限个元素组 成，且满足一定的代数运算规则。
02 有限域中的元素个数是有限的，且每个元素都有 逆元，满足交换律、结合律和分配律。
03 有限域可以是有理数域的子域，也可以是其他数 域的子域，其元素个数是素数幂。
有限域的应用软件
密码学软件
密码学软件中常常用到有限域的计算，例如RSA算法、DiffieHellman密钥交换等。
编码理论软件
编码理论软件中常常用到有限域的计算，例如Goppa码、ReedSolomon码等。
计算机图形学软件
计算机图形学软件中常常用到有限域的计算，例如离散傅里叶变换、 离散余弦变换等。
有限域上的离散对数问题
离散对数问题的定义
离散对数问题是指给定两个元素 (a) 和 (b) 在有限域 (F) 中， 求 (x) 使得 (a^x = b) （mod (n)) 的问题。
求解离散对数问题的方法
求解离散对数问题的方法有多种，如指数演算法、 Pollard's rho算法、Shanks's baby-step/giant-step方法
02
有限域的代数性质
子域和商域
子域
如果一个域的元素个数小于原有限域的元素个数，那么这个域就是原有限域的 一个子域。例如，在整数模n的剩余类环中，模n的剩余类环是原有限域的一个 子域。
商域
如果一个域的元素个数等于原有限域的元素个数，那么这个域就是原有限域的 一个商域。例如，在整数模n的剩余类环中，模n的剩余类环是原有限域的一个 商域。
THANKS
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03
有限域的应用
编码理论
有限域的加法表和乘法表_解释说明以及概述
有限域的加法表和乘法表解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数学中，有限域是一种特殊的代数结构，具有有限个元素的特点。
有限域的加法表和乘法表是描述该结构中两种基本运算的工具，加法和乘法表格中显示了每个元素之间进行相应运算所得到的结果。
有限域是密码学和编码理论等领域中非常重要的概念。
1.2 文章结构本文将首先概述有限域以及其在数学和应用领域中的重要性。
接着详细介绍了有限域的加法表和乘法表，包括它们的定义、性质以及如何构建这些表格。
然后，我们将探讨这两种表格在实际应用中的一些例子和作用。
最后，我们将对加法表和乘法表进行解释说明，包括一些常见符号的解释、操作过程详细说明以及相关原理背后的解释。
1.3 目的本文旨在深入研究有限域以及其中加法和乘法运算，并通过对加法表和乘法表进行探讨来帮助读者更好地理解这一概念。
通过对不同方面和应用领域中实例的讨论，读者将能够理解有限域的加法表和乘法表在密码学、编码理论等领域中的重要性。
这篇文章还将提供一些具体的例子和背后的原理解释，以帮助读者更好地掌握相关概念。
2. 有限域的加法表2.1 定义和性质有限域，也称为伽罗瓦域，是一个包含有限个元素的数学结构。
有限域的加法和乘法运算都遵循一定的性质。
设F是一个有限域，其中包含p个元素，在加法运算下，F中的任意两个元素相加的结果仍属于F。
换句话说，对于F中任意的a和b，a + b = c，其中c也是F中的一个元素。
此外，在加法运算下，F中存在一个特殊元素0，对于任意a∈F, a + 0 = a。
每个元素a在加法运算下都有唯一相反数-b∈F，使得a + (-b) = 0。
2.2 构建加法表为了更好地理解和使用有限域中的加法运算，可以通过构建加法表来展示其中每个元素之间的相互关系。
假设我们考虑一个具有p个元素的有限域F={0, 1, 2, ..., p-1}。
我们可以使用一个p×p的方格来表示这个加法表。
方格中第i行j列位置上填写的数字代表着i+j (mod p) 的结果值。
有限域的基本概念与加密解密原理
有限域的基本概念与加密解密原理在现代密码学中，有限域是一种非常重要的数学工具，用来实现各种加密解密操作，比如RSA算法、椭圆曲线加密等。
本文将介绍有限域的基本概念和运算规则，以及如何利用有限域来设计可靠的加密方案。
一、有限域的定义有限域，也叫有限域、伽罗华域，是一种特殊的数学结构。
简单来说，有限域是由有限个元素组成的一个数学对象，其中加、减、乘、除都定义了相应的运算规则。
有限域也被称为素域，因为它的元素都是素数。
通常我们用GF(q)来表示一个有限域，其中q是一个素数的幂次，也就是q=p^k，其中p是一个素数，k是一个正整数。
举个例子，GF(2)就是一个具有两个元素0和1的有限域。
在GF(2)中，加法运算和异或运算是等价的，也就是说，a XOR b = a + b (mod 2)。
同理，在GF(2^n)中，乘法运算和位运算也是等价的，比如说a AND b = a*b (mod 2)。
这些等式对于加密解密算法的设计非常重要。
二、有限域的运算规则有限域中的运算规则与我们平常学习的整数运算规则类似，但同时也有很多独特的性质。
下面介绍有限域中常见的运算规则：1. 加法运算在有限域中，加法运算定义如下：a +b =c (mod q)其中a、b和c都是有限域中的元素，mod表示模运算。
因为有限域中的元素是有限个，所以当c >= q时，c需要减去q，直到c < q为止。
举个例子，在GF(2)有限域中，1 + 1 = 0，因为1和0是该有限域中的全部元素。
2. 减法运算减法运算可以等价于加法运算，因为对于有限域中的单个元素a，它的相反元素被定义为-b，使得a + (-b) = 0。
3. 乘法运算在有限域中，乘法运算的定义如下：a *b =c (mod q)同样需要进行模运算。
举个例子，在GF(2^3)有限域中，元素a、b和c可以表示成：a = x^2 + x^1b = x^2 + x^0c = x^4 + x^3其中x是有限域中的初等不定元。
密码学 有限域 gf
密码学有限域 gf
有限域（finite field），也称为 Galois 域（Galois field），缩写为 GF，是一种特殊类型的数学结构，用于密码学和其它应用中的算法和数据表示。
GF 是一个有限集合，具有加法和乘法运算，符合一定的运算规律。
在密码学中，有限域是非常重要的。
例如，用于加密算法的所有数字都需要限制在一个有限的范围内，这样才能更好地保护数据的安全性。
在有限域中，加法和减法可以视为无条件可逆运算，因此这些运算可以用于加密和解密。
有限域还具有一些特殊的性质，如周期循环、多项式形式、迭代形式，这些都可以用于密码编码和错误纠正等应用中。
因此，在密码学领域中，对有限域的理解和应用非常重要。
GF 的应用还涉及到编解码、纠错编码、矩阵计算和复杂网络分析等多个领域。
因此，有关 GF 的理论和算法也是现代密码学和通信技术的核心内容之一。
2010-第2周 密码学中的数学基础知识
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
3
29=14·2+1
2=2·1+0
2
1
1
0 终止
28
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
x
244 117 10 7
y
117 10 7 3
gcd = ax+by
0 1 2 3
35
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1
x
244 117 10 7 3
y
117 10 7 3 1
gcd = ax+by
12
同余性质
2. 设m是一个正整数， ① ad≡bd(mod m), 如果(d, m)=1, 则a≡b(mod m) ② a≡b(mod m), k>0, 则ak≡bk(mod mk) ③ a≡b(mod m), 如果d是m的因子，则a≡ b(mod
d) 下面对①③进行证明。
13
同余性质
① 证 明 ： 若 ad≡bd(mod m), 则 m|(ad-bd), 即 m|d(a-b). 因(d, m)=1，故m|(a-b), 即a=b(mod m) ③ 证明：d是m的因子，故存在m’, 使得m=dm’. 因为a≡b(mod m), 存在k, 使得a=b+mk= b+ dm’k. 等式 两边模d, 可得a≡b(mod d).
有限域的定义
有限域的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊有限域这玩意儿。
啥是有限域呢？你可以把它想象成一个特别的“数字小王国”。
在这个王国里，数字就那么几个，不像咱平常的数字世界那么无边无际。
就好像一个小小的村庄，里面的人就那么固定的一些，大家都彼此熟悉。
比如说，在一个有限域里，可能只有 0、1、2、3 这几个数字。
那有人就会问啦，这么少的数字，能玩出啥花样来呀？嘿，你可别小瞧它！就像下棋一样，虽然棋子就那么几个，但玩法却是千变万化。
在这个有限域的“小王国”里，数字之间的运算也有它独特的规则。
加加减减、乘乘除除，都和咱平常的不太一样哦。
比如说，在有的有限域里，1 加 1 可能不等于 2 啦！是不是很神奇？这就好比在一个奇特的世界里，火可能是冷的，水可能是往上流的。
有限域在很多地方都大有用处呢！比如说在密码学里，它就像一个隐藏宝藏的神秘钥匙。
通过对有限域的巧妙运用，能把信息藏得严严实实的，让那些想偷看的人摸不着头脑。
再比如在通信领域，有限域也能发挥大作用。
它就像一个精确的导航仪，能确保信息准确无误地传输，不会迷路哦。
你想想看，如果没有有限域，那很多高科技的东西不就没法实现啦？那我们的生活得失去多少乐趣和便利呀！
有限域就像是一个低调的幕后英雄，虽然不常被大家提起，但却默默地为我们的科技发展贡献着力量。
它虽然不像那些耀眼的明星一样备受瞩目，但却是不可或缺的存在。
所以说呀，可别小看了这小小的有限域，它里面蕴含的奥秘和能量可大着呢！咱可得好好研究研究它，说不定能发现更多神奇的东西呢！这就是有限域，一个充满魅力和神秘的数字世界。
有限域
第六章 有限域上的椭圆曲线（4学时） 6.1 椭圆曲线上的群结构 6.2 椭圆曲线的射影坐标表示 6.3 椭圆曲线上的有理点 6.4 椭圆曲线密码学 第七章 有限域的应用（6学时） 7.1 有限域在流密码中的应用 7.2 有限域在公钥密码中的应用 7.3 有限域在编码中的应用
第一章 代数学基础
陪集、指数
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H 有 aha 1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。 H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
商群：如果群G的子群H是正规子群，则模H的陪 集集合在运算(aH) · (bH)=(ab)H 下构成一个群， 称为G关于H的商群，记为G/H.
有限域及其应用
聂旭云 xynie@
教师简介
聂旭云 研究方向：密码学，公钥密码算法，密码 学相关代数理论
教学目的
掌握有限域的基本理论和基本方法, 熟悉有 限域的结构 了解有限域与多项式的关系, 熟悉不可约多 项式与多项式的分解 掌握有限域的应用与方法, 能用基本的有限 域理论解决和回答一些应用问题, 如编码理 论和密码理论中的有限域应用。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定 义为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位 元。
内自同构和共轭元
群同态基本定理
定理： 设f：G→H是群G到群H上的满同态映射， 那么kerf是群的一个正规子群，而且H同构于商群 G/kerf，即G/kerf≌ H。反之，如果N是G的正规 子群，则映射
群的例子
{Z，+} 数域K中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法 构成群称为n级一般线形群，记为GLn(K); GLn(K)中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的 乘法也构成群，称为特殊线形群，记为 SLn(K)。
9.3密码学中的数学原理之有限域和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
子域的乘法群是扩域的乘法群的子群 由此得到有限域的子域结构
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
重点回顾
有限域的三大基本定理 有限域的构造，多项式和根的表示法 有限域的加法结构和乘法结构 有限域上的伽罗华定理
密码学原理
密码学中的数学原理之 有限域和伽罗华定理
1 有限域基本定理
CONTENT
目
2 有限域的构造和表示
录
3 有限域的结构和伽罗华定理
1.有限域基本定理
2.有限域的构造和表示
ห้องสมุดไป่ตู้
2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
有限域(1)
ห้องสมุดไป่ตู้明思路：通过元素个数的运算证明。
欧拉定理的传统证明方法
因为
循环群的性质
定理1.15的证明
离散对数
离散对数：设G是循环群，g为G的一个生 成元。群中的离散对数问题指得是给定群 中的一个元素h，找到正整数n，使得 h=gn
n称为h（相对于生成元g）的离散对数，记为
n=㏒g(h)
离散对数的例子
环的例子
全体有理数、全体实数、全体复数和全体 整数集合对于普通的加法和乘法构成交换 环． {Z,+, ×} n ×n可逆矩阵,乘法,加法? n ×n矩阵,乘法,加法
域
有单位元的交换环 非零元构成乘法交换群
群的阶、子群
定义 如果一个群G中元素的个数是无限多个， 则称G是无限群；如果G中的元素个数是有 限多个，则称G是有限群，G中元素的个数 称为群的阶，记为|G|．
例子（从群的角度）
整数集Z：加群 nZ，子群，正规子群 陪集a+{nZ} 商群 Zn={[0],[1],….,[n-1]}
Lagrange定理、欧拉定理
（拉格朗日定理）如果G为一个有限群，H为G的 子群，则|H|整除|G|，且|G|=|H|· [G:H]，因此，如 果a∈G，则a的阶整除|G| 。
第六章 有限域上的椭圆曲线（4学时） 6.1 椭圆曲线上的群结构 6.2 椭圆曲线的射影坐标表示 6.3 椭圆曲线上的有理点 6.4 椭圆曲线密码学 第七章 有限域的应用（6学时） 7.1 有限域在流密码中的应用 7.2 有限域在公钥密码中的应用 7.3 有限域在编码中的应用
第一章 代数学基础
子群：群G的非空子集H称为G的子群，如果对 于G的运算，H本身成一个群。如果H为G的子群 且H≠G，则H称为G的一个真子群。
有限域模乘-概述说明以及解释
有限域模乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是一篇文章的开头，用来介绍文章的主题和背景，并概括性地说明文章要讨论的问题和目的。
在这篇长文中，概述部分应该对有限域模乘进行简要的介绍，引起读者的兴趣并准备他们进一步了解该主题。
以下是一个概述部分的例子：概述：有限域模乘作为一种重要的运算方式，被广泛应用于编码理论、密码学以及计算机科学等领域。
本文旨在对有限域模乘进行深入探讨，并介绍其定义、性质以及在有限域中的应用。
模乘是指在数论中的一种二元运算，其主要特点是将两个数字相乘并取模，即求乘积除以一个给定的模数后的余数。
有限域模乘则是在有限域上进行的模乘运算。
有限域是一个具有有限个元素的数学结构，其中的运算满足一定的特定性质。
有限域模乘既有理论上的研究价值，也具有实际的应用意义。
文章的主要内容将包括有限域的定义和性质、模乘的定义和性质，以及有限域中的模乘运算。
在介绍有限域模乘的基本概念和理论基础后，我们将进一步分析其在编码理论和密码学中的应用，并探讨其未来可能的发展方向。
通过本文的研究，读者将能够深入了解有限域模乘的基本原理和运算规则，以及其在实际应用中的重要性。
同时，本文也将为读者提供一个广阔的思路和展望，以便他们进行更深入的研究和探索。
在接下来的章节中，我们将首先介绍有限域的定义和性质，为后续的讨论奠定基础。
接着，我们将详细探讨模乘的定义和性质，并介绍有限域中模乘运算的相关概念和算法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望有限域模乘在未来的研究和应用中可能的发展方向。
通过本文的阅读，读者将能够对有限域模乘有一个全面的了解，并为将来的研究和应用提供参考和指导。
让我们开始我们的探索之旅吧！文章结构部分是对整篇文章进行概述和组织的一部分，它描述了文章的不同章节及其内容，以帮助读者更好地理解文章的框架和逻辑。
下面是对文章结构部分的内容的一个示例：1.2 文章结构本篇长文分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
有限域介绍
加法和减法
GF(2^m)上的加法和减法都是异或运算。加法单位元是 0。 010 和 110 都是 GF(2^3)的元素。那么 010+110=010 ⊕ 110010−110=010 ⊕ 110=100=100010+110=010 ⊕ 110=100010−110=010 ⊕ 110=100 因为长度为 m 的二进制数异或结果还是长度为 m 的二进制数，所以不需要考虑结果超出范 围的情况。
也就是解下面的方程：
bx=1mod7bx=1mod7
bx=1+7k,其中 k∈Z+bx=1+7k,其中 k∈Z+
这个方程的求解需要用到扩展欧几里得算法，这里不再赘述。下面直接给出结果：
3÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=63÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=6
有限域 GF(2^m)
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
1. 封闭性。也就是运算的结果始终在集合 S 内 2. 结合律。也就是满足：(a + b) + c= a + (b + c)
但这个加法指代广泛意义上的运算并不是指日常使用的加法那么在这个集合上如果这种运算满足以下性质那么他和集合共同组成一个半群记作s而运算是实数加法那么它们共同形成了一个半群记作中存在一个元素e使得那么这个半群被称为幺半群元素被称为单位元或者幺元
抽象代数基础
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例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。
解：2和3是F5的本原元。 例2：求模14的原根。 解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构 定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。 命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。 定理2：对任意素数p和任意正整数n，一定存在 一个含有pn个元素的有限域。
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。 将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
3
4 5
3
4 5
6
3 15Biblioteka 7 476 2
4
2 7
1
5 3
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1 6
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1
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6
2
4
4
3
Z8={0，1，2，…，7}乘法表 · 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 0 2 4 6 3 3 6 1 4 7 2 5 4 4 0 4 0 4 0 4 5 5 2 7 4 1 6 3 6 6 4 2 0 6 4 2 7 7 6 5 4 3 2 1
1．GF(2n )与Z 2n 的乘法比较
若记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x ＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5， x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7； 则GF(23)[x]= Z2[x]/(x3＋x＋1)乘法表如下：
· 1 2 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 3 5 5 1 6 6 7 7 7 5
4．利用不可约多项式构造有限域
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数。令f(x)是域Zp 上一个n次不可约多项式，则Zp[x]/(f(x))是域， Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|aiZp}。 域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。 把a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))简记为： a0＋a1x＋…＋an－1xn－1。
例4：已知x2＋1是Z3上的不可约多项式，利用 该不可约多项式构造一个9阶有限域GF(32)[x]， 写出GF(32)[x]的9个元素，并判断1＋x是否为 GF(32)的本原元。 解：GF(32)[x]=Z3[x]/(x2＋1) ={a0＋a1x|a0，a1Z3}={0，1，2，x，1＋x， 2＋x，2x，1＋2x，2＋2x}。
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数， 设f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式。 GF(pn)=Zp[x]/(f(x))的两种表示方法： （1）GF(pn)={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp， i=0，1，…，n－1}。 （2）设q=pn，是GF(q)的一个本原元，则 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
记GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))，
则GF(pn)[x]={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp}，
其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法， 多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。 例3：把a0＋a1x＋(x2＋x＋1)简记为a0＋a1x，
则Z2[x]/(x2＋x＋1)的加法和乘法的运算表简化
1＋x是GF(32)的本原元。
练习：找出其它所有本原元。
三．密码学上的简单应用
设f(x)是域Z2上一个n次不可约多项式， 则GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZ2}。 例5：设f(x)=x3＋x＋1为一个3次不可约多项 式，则GF(23)[x]={0，1，x，x＋1，x2，x2＋1， x2＋x，x2＋x＋1}。 若x为GF(23)的一个本原元，则 GF(23)[x]={0，1，x，x2，x3，x4，x5，x6}。
本讲内容
一．域的特征 二．有限域的结构
三．密码学上的简单应用
一．域的特征
若R是无零因子环，则其加群中所有非零元的 阶相同，或是无限，或是一个素数。 设R是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶 无限时，chR=0；当此阶为素数p时，chR=p。 定义1：设F是域，1是F的单位元，若1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0；若1在(F，＋) 的阶数为素数p，则称F的特征为p。 域F的特征或是零，或是素数。
如下：
＋ 0 1 x x＋1 · 0 1 x x＋1
0 0 1 x x＋1 0 0 0 0 0
1 1 0 x＋1 x 1 0 1 x x＋1
x x x ＋1 0 1 x 0 x x＋1 1
x＋1 x＋1 x 1 0 x ＋1 0 x ＋1 1 x
5．有限域的表示 将GF(pn)[x]=Zp[x]/(f(x))简记为GF(pn)。 设p为素数，q=pn，GF(q)*是GF(q)中非零元 的集合，则（GF(q)*，· ）是q－1阶循环群。 设是GF(q)的本原元，即是GF(q)*的生成元， 则GF(q)*={，2，…，q－2，q－1=1}。 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
只含有限个元素的域称为有限域。
有限域的元素个数称为有限域的阶。
每个特征为零的域都是无限域。
有限域的特征一定是素数。
在特征是素数p的域F中，下列等式成立：
(a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成 的群称为有限域的乘法群。 命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。 定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq* 的生成元称为Fq的本原元。 命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有(q－1)个本原元。