33岩石力学及工程岩石本构关系及强度理论

主要包括本构方程、蠕变方程和松弛方程。
1.经验方程法 根据岩石蠕变试验结果，由数理统计学的回 归拟合方法建立的方程。通常形式为： t 0 1 t 2 t 3 t 2.微分方程法 将岩石介质理想化，归纳成各种模型，模型 可用理想化的具有基本性能（弹性、塑性和 粘性）的元件组合而成。通过这些元件不同 形式的串联和并联得到一些典型的流变模型 体。
1.平衡微分方程
x yx fx 0 x y xy y f 0 y x y
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2.几何方程
u x x v y y v u xy x y
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三、粘性元件（牛顿体N） 1.定义 牛顿流体是一种理想粘性体，即应力与应变速率成 正比，用符号N表示 。 2.力学模型
图3-4 牛顿流体力学模型及其动态
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3.本构方程

d 或 dt
1

将（5-13）式积分，得：
t C
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3.4.4 组合流变模型
三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则： 1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应 变之和。 2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应 力之和。
5.4.4.1 圣维南体（St.V:H-C）
一、力学模型
图3-5 圣维南体力学模型
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三、蠕变方程 0 后，保持 如果在 t 0 时，施加一个不变的应力 恒定，根据本构方程可得： 0 k
0 解上述微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：
0
1 e k
k t
k
1


四、卸载方程 在 t t1 时卸载，即 0 ，代入本构方程： k 0
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解上述微分方程可得：
A1e 1 ，结合蠕变方程，可得卸载方程 ： 当 t t1 时，
0
k
k t
e k
t1
k t 1 e
k
或
1e

t1 t
由上两式 可得如下曲线
图3-10 开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线
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4.ห้องสมุดไป่ตู้变：是当应力不变时，变形随时间的增加 而增长的现象。
5.松弛：是当应变不变时，应力随时间增加而 减小的现象。
6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后 于应力的现象。 7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应 变永久不恢复的现象。
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二、研究蠕变的意义
图3-8 马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线
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3.4.4.3 开尔文体（K:H/N）
一、力学模型
图3-9 开尔文体力学模型
二、本构方程 由于二元并联关系可得：
1 2 , 1 2 1 k1 k 2 2
因此开尔文体的本构方程为： k
ε d c
B
b
a
0
t
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四、岩石的长期强度
当岩石的应力超过某一临界值时，蠕变向不 稳定蠕变发展；当岩石的应力小于该临界值 时，蠕变按稳定蠕变发展。通常称此临界应 力为岩石的长期强度。
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3.4.2 流变模型理论
一、流变性
研究岩石在流变过程中的应力、应变和时间的 关系。主要是通过应力、应变和时间组成的流 变方程来表示。 二、流变方程
三、蠕变方程 d 0则 在恒定载荷 作用下， 0 ，其本构方程 dt 可化简为：
0
1
解此微分方程，代入初始条件，得蠕变方程：
0t k
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1
0
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四、松弛方程 当保持 不变时，则有 0 ，因此本构方程可变为：
1 1 0 k
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3.4.4.2马克斯威尔体（M:H-N）
一、力学模型
图3-7 马克斯威尔体力学模型
二、本构方程 由串联关系可得：
1 2 1 2
由于
1 1 k 1 2
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所以本构方程为：
1 1 k
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3.4.4.4 广义开尔文体（广义K:H-K）
一、力学模型

k1 , 1
k2 , 2
, 2
图3-14 广义开尔文体力学模型

二、本构方程 1 2 , 1 2 , 1 2 由于串联有： 1 k11 , 1 k11 对于弹簧有： 对于开尔文体有： 2 k2 2 2
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3.4.3 基本元件
一、弹性元件（虎克体H） 1.定义 如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克 定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎 克体，用符号H代表。 2.力学模型
图3-2 虎克体力学模型及其动态
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3.本构方程
K
4.虎克体的性能 （1）具有瞬时弹性变形性质，无论载荷大小，只要 不为零，就有相应的应变，当为零时，也为零，说 明虎克体没有弹性后效，即与时间无关； （2）应变恒定时，应力也保持恒定不变，应力不会 因时间增长而减小，故无应力松弛性质； （3）应力保持恒定时，应变也保持不变，即无蠕变 性质。
3 岩石本构关系与强度理论
3.1 概念
一、本构关系
本构关系是指材料在受力过程中的“应力—应变” 关系。 1.弹性本构关系 即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于弹性变形 阶段时的本构关系。 2.塑性本构关系 即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于塑性变形 阶段时的本构关系。
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3.流变本构关系 如果岩石在外载荷不变的条件下，岩石的应变或应 力还随时间而变化，则称该岩石具有流变性，此时 的本构关系称为岩石的流变本构关系。
1 x E x y 1 y x y E 2 1 xy xy E
4
4.边界条件
（1）位移边界条件
u s
v s v s u s ，
（在 s u 上）
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五、松弛方程 当模型的应变恒定时，即 0 常数，此时的本构 方程为：
k
由上式可以看出，当应变保持恒定时，应力也保持 恒定，并不随时间增加而减小，即本模型没有应力 松弛性质。 六、开尔文体的特性 1.属于稳定蠕变模型； 2.具有弹性后效性质，没有松弛性质。
三、蠕变方程
在恒定载荷 0 作用下，由于广义开尔文体由弹簧和 开尔文体两部分组成，其蠕变也是由两部分组成。 0 对于弹簧有瞬时变形 k ，对于开尔文体，其蠕变方 程为
1 e ，可应用叠加法，所以广义开尔 k2
k2
0
1

t
文体在恒定应力作用下的蠕变方程为：
二、强度理论
指采用判断、推理的方法，推测材料在复杂应力状 态下破坏的原因，而建立理论和准则。 岩石的力学性质可分为变形性质和强度性质两类， 变形性质主要通过本构关系来反映，而强度性质则 主要通过强度准则来反映。
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3.2 岩石的弹性本构关系
一、岩石弹性问题的求解步骤
应力场解 几何方程 结合边界条件 位移场解 物理方程或本构方程 平衡微分方程
（2）应力边界条件
l x m yx m y l xy

s f x s s f y s
（在 s 上）
（3）混合边界条件
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3.4 岩石流变理论
3.4.1概念
一、流变现象 1.流变现象：材料变形过程中具有时间效应 的现象。 2. 流变性质：是指材料的应力-应变关系与时 间因素有关的性质。 3.岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
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二、塑性元件（库仑体C） 1.定义 当物体所受的应力达到屈服极限时，便开始产生塑 性变形，即使应力不再增加，变形仍然不断增长， 具有这一性质的物体为塑性体，用符合Y来代表。 2.力学模型
图3-3 塑性体力学模型及其动态
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3.本构方程 当 s时， 0, s时， 4. 塑性体的性能 （1）当物体所受的应力小于屈服极限时，模型表现 为刚形体； （2）当物体所受的应力大于或等于屈服极限时，模 型表现为理想塑性体，即具有塑性流动的特点。
式中：C——积分常数，当时，C=0，则：
4.牛顿体的性质 （1）从上式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力为 0 时，完成其相应的应变需要时间 t1 ，说明应变与时 间有关，牛顿体无瞬时变形。
t
1
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（2）当 0 时，即 0 ，积分后得 常数 ，表明 除去外力后应变为常数，活塞的位移立即停止，不 再恢复，只有再受到相应的压力时，活塞才回到原 位。所以牛顿体无弹性后效，有永久形变。 0 ，说明当应变保持 （3）当应变 常数 时， 某一恒定值后，应力为零，即无应力松弛性能。
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所以


k1

2
k2
2 1

k1
k1 k1 k2
化简上式可得广义开尔文体本构方程：

k2 1 k2 k1 k1
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3.物理方程（弹性本构关系）
1 2 x y x E 1 1 2 y y x E 1 2 1 xy xy E
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解此方程，代入初始条件，可得松弛方程：
0e 五、松弛时间 令 t1 ，则上式可变为：
k
k t
当t=t1时
0e

t t1
0e1 0.37 0
定义：规定应力降到初始应力的37%时，所需要的 时间为松弛时间。
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六、马克斯威尔体的特性 1.具有瞬时变形，并随着时间增长应变逐渐增大， 即具有等速蠕变的性质； 2.当应变恒定时，应力随时间的增长而逐渐减小， 即马克斯威尔体模型具有松弛效应。
1.中硬以下岩石及软岩中开挖的地下工程，大 都需要经过半个月甚至半年时间变形才能稳 定，或处于无休止的变形状态，直至破坏失 稳。
2.解决地下工程的设计和维护问题。
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三、蠕变的三个阶段 如图3-1中的abcd曲线所示， A 蠕变过程可分为三个阶段： 1.第一蠕变阶段：如曲线中ab段 所示，应变速率随时间增加而减 C 小，故称为减速蠕变阶段或初始 蠕变阶段； 图3-1 岩石蠕变曲线 2.第二蠕变阶段：如曲线中bc段所示，应变速率保持不 变，故称为等速蠕变阶段； 3.第三蠕变阶段：如曲线中cd段所示，应变速率迅速增 加直到岩石破坏，故称为加速蠕变阶段。
二、本构方程
, s k s ,
本构图形
图3-6 圣维南体本构关系示意图
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三、卸载特性 如在某一时刻卸载，使 0 ，则弹性变形全部 恢复，塑性变形停止，但已发生的塑性变形永久 保留。 四、圣维南体的特性 1.代表理想弹塑性体，它无蠕变，无松弛也无弹 性后效。 2.本构关系与时间t无关，故不属于流变模型，但 它是复合体模型中常见的一个组成部分。