函数展开成幂级数(课堂PPT)

无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n

Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
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10
例1 将f ( x) e x展开成幂级数.
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
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11
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2, )
lim[
n
f
(
x)
sn1
(
x)]
lim
n
Rn
(
x)
0,
即
lim
n
sn1
(
x
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
定理 3 设 f ( x) 在U ( x0 )上有定义,M 0 ,对 x ( x0 R, x0 R),恒有 f (n)( x) M
(n 0,1,2, ),则 f ( x) 在( x0 R, x0 R)内可展 开成点x0 的泰勒级数.
f (x) ? n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.
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5
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2, )
f ( x)的麦氏级数为 0 xn
第四节 函数展开成幂级数
一、函数的泰勒级数 二、函数展开成泰勒级数的条件 三、函数展开成泰勒级数的方法 四、函数展开式的应用举例
无
1
一、函数的泰勒级数
定义
对给定的f ( x), 如果有 an ( x x0 )n , 使得 n0
f ( x) an ( x x0 )n , x ( x0 R, x0 R) n0
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3
逐项求导任意次,得
f ( x) a1 2a2 ( x x0 ) nan ( x x0 )n1
f (n) ( x) n!an (n 1)n 3 2an1( x x0 )
令 x x0 , 即得
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, ) 泰勒系数
f (n) (0) ( 1) ( n 1), (n 0,1,2, )
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n!
lim an1 n 1,
n an
n1
R 1,
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13
在(1,1)内, 若
s( x) 1 x ( 1) ( n 1) xn n!
即 f ( x) an ( x x0 )n
n 0
则其系数
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的.
证明 an ( x x0 )n 在u( x0 )内收敛于f ( x),即
n0
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
s( x) ( 1)x ( 1) ( n 1) xn1 (n 1)!
解 f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1. (n 0,1,2, )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
M 0, 在[M , M ]上 f (n) ( x) e x e M
e x 1 x 1 x2 1 xn (n 0,1,2, )
2!
n!
由于M的任意性, 即得
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
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12
例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) ( 1) ( n 1)(1 x)n ,
泰勒系数是唯一的, f ( x)的展开式是唯一的.
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4
定义 如果 f ( x)在点x0 处任意阶可导,则幂级数
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
f (n) (0)x n称为 f ( x)的麦克劳林级数.
n0 n!
问题
则称f ( x)在( x0 R, x0 R)内可展开成( x x0 )的幂级数.
问题: 1.如果能展开, an 是什么?
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
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2
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 )的幂级数,
f (x)
n i0
f (i) ( x0 )( x i!
x0 )i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim n
Rn ( x)
lim[
n
f
(x)
sn1( x)]
0;
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7
充分性 f ( x) sn1( x) Rn( x),