2020年四川省乐山市井研县中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.的相反数是（）
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.新冠病毒（2019-nCoV）是一种新的sarbecoyirus亚属的冠状病毒，它是一类具有
囊膜的正链单股RMA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60-220nm，平均直径为100m （纳米），1m=109nm，100nm可以表示为（）m
A. 0.1×10-6
B. 10×10-8
C. 1×10-7
D. 1×10-11
4.下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（）
A. B.
C. D.
5.小明在一次射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8 7 7 8 9 8 7 7 10 8，
则中靶8环的频率是（）
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
6.下列运算正确的是（）
A. 7a+2b=9ab
B. （-3a3b）2=6a9b2
C. （a+b）2=a2+b2
D. -=
7.关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2（k+1）=0的根的情况是（）
A. 有两个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根
8.如图，在⊙O中，∠BOD=120°，则∠BCD的度数是（）
A. 60°
B. 80°
C. 120°
D. 150°
9.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），
与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）
A. ①②③
B. ①③④
C. ①③⑤
D. ②④⑤
10.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°
的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的方差是______．
13.因式分解：a3b-ab3=______．
14.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩
形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的
面积为______．
15.如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，
点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，
点F在AB上，点B、E在反比例函数y=（k为常数，k≠0）
的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF=2AF，则k
值为______．
16.对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩
形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距
圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点
A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，OC=OD，且⊙P
的半径为4．
（1）在P1（0，-2），P2（2，3），P3（-2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；
（2）如果点P在直线y=x+1上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，那么点P
的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
17.先化简，再求值：（-x+1）÷，其中-2≤x≤2，请从x的范围中选入一个你喜
欢的值代入，求此分式的值．
四、解答题（本大题共9小题，共93.0分）
18.计算：（π-3.14）0+|1-|-2sin45°+（-1）2020．
19.如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、
AD上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出的值为______（不必写出计算
过程）．
20.“足球运球”是中考体育必考项目之一．我市某学校为了解今年九年级学生足球运
球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A、
B、C、D四个等级进行统计，制成了如图不完整的统计图．
根据所给信息，解答以下问题：
（1）本次抽样调查抽取了______名学生的成绩；在扇形统计图中，D对应的扇形的圆心角是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在______等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
21.一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战
场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：
甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3429
第二次2631
（）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
22.有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB=50cm，
拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平面的距离CE为59cm．设AF∥MN．
（1）求⊙A的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，∠CAF=64°．求此时拉杆BC的伸长距离
（精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.39，tan64°≈2.1）
23.如图，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y=图
象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB=，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集．
24.如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，
过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
25.（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为______；
②∠AMB的度数为______．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC
交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B，与y轴负半轴交于点C，且
OC=OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴l为直线x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方有一点P，连接PA后满足∠PAB=∠CAB，记△PBC的面积为S，求当S=10.5时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y=x+t与抛物线交于C′、B′两点（C′在B′的左侧），若以点C′、B′、P为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：-的相反数是．
故选：B．
根据相反数的定义直接得到-的相反数是．
本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义：a的相反数为-a．
2.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：100nm=100×10-9=1×10-7．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：A．主视图是3个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是5个正方形，故本选项不合题意；
B．主视图是2个正方形，左视图是3个正方形，俯视图是4个正方形，故本选项不合题意；
C．三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意；D．左视图和俯视图相同，有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意．
故选：C．
根据三视图的概念逐一判断即可得．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
5.【答案】D
【解析】解：P（中靶8环）==0.4，
故选：D．
根据频率公式，可得答案．
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，频率=．
6.【答案】D
【解析】解：A、7a+2b，无法合并同类项，故此选项错误；
B、（-3a3b）2=6a6b2，故此选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、-=2-=，正确．
故选：D．
直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式和二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵△=（k+3）2-4×2（k+1）
=k2+6k+9-8k-8
=k2-2k+1
=（k-1）2≥0，
∴方程有两个实数解．
故选：A．
先计算判别式，再利用完全平方公式得到△=（k-1）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：∵对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠DOB，
又∵∠BOD=120°，
∴∠A=∠DOB=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
故选：C．
根据圆周角定理得出∠A=∠DOB=60°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据定理求出∠A=∠DOB和
∠A+∠BCD=180°是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】
解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：点运动一个用时
为÷π=2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于
点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=AC=×2=1，
∴DE=CE-CD=2-1=1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4=504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
故选：B．
先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周
期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
11.【答案】x≥-1
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥-1，
故答案为：x≥-1．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】
【解析】解：由平均数的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，
解得a=3；
∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=．
故答案为：．
根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]计
算方差．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所以数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]．
13.【答案】ab（a+b）（a-b）
【解析】解：原式=ab（a2-b2）=ab（+b）（a-b），
故答案为：ab（a+b）（a-b）
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】π-2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
∴∠DEC=30°，
∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′-S△CDE=-×2×2=，
故答案为：．
先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中．
15.【答案】-6
【解析】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t-2，2），
∵点B、E在反比例函数y=的图象上，
∴k=6t=2（t-2），
解得t=-1，k=-6．
故答案为-6．
先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6．再设B 点坐标为（t，6），则E点坐标（t-2，2），根据点B、E在反比例函数y=的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=6t=2（t-2），即可求出k=-6．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象
是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
16.【答案】点P2（2，-1）或（-2，3）
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，OC=OD，A（，2），
∴它的中心E点坐标为坐标为（0，1），如图，
∵P1E=1-（-2）=3，P2E==4，
P3E==2
而⊙P的半径为4．
∴矩形ABCD的“等距圆”的圆心是点P2；
（2）设P（t，-t+1），
∴PE=4，
∴t2+（-t+1-1）2=42，解得t=2或t=-2，
∴P点坐标为（2，-1）或（-2，3）．
故答案为点P2（2，-1）或（-2，3）．
（1）利用矩形的性质得到它的中心E点坐标为坐标为（0，1），如图，利用两点间的距离公式分别计算出P1E，P2E，P3E，然后根据⊙P的半径为4进行判断；
（2）设P（t，-t+1），利用两点间的距离公式得到t2+（-t+1-1）2=42，解方程求出
即可得到P点坐标．
本题考查了圆的认识：圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径．也考查了矩形的性质．
17.【答案】解：（-x+1）÷
=÷
=-
当x=-2时，
原式=-=0．
【解析】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
首先化简（-x+1）÷，然后从x的范围中选入一个值代入，求出化简后的分式的
值是多少即可，要注意x不能取-1，0，2.
18.【答案】解：原式=1+-1-2×+1
=1．
【解析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，
，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）解：∵BF=DF
∴点F在对角线AC上，
∵AD∥EF∥BC，
∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，
∴CF：BE=．
（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，
（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解．
本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题．
20.【答案】40 45 B
【解析】解：（1）18÷45%=40（人），360°×=45°，
故答案为：40，45；
（2）40-4-18-5=13，补全条形统计图如图所示：
（3）将40名学生的成绩从大到小排列后，处在第20、21位的两个数都是B等级，因此中位数是B等级，
故答案为：B；
（4）300×=30（人），
因此，估计足球运球测试成绩达到A级的学生有30人．
（1）从两个统计图中，可知B等级的有18人，占调查人数的45%，可求出调查人数；（2）求出C组人数即可补全条形统计图；
（3）根据中位数的意义，确定处在第20、21位是什么等级即可；
（4）样本估计总体，样本中“优秀”占调查人数的，于是估计总体300人中大约有
45%的人得“优秀”．
考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的前提．
21.【答案】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据题意得，
，
解得，，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，根据题意得，
5z+3.5（10-z）≥46.4，
解得，z≥7.6，
∵x为整数，
∴x=8或9或10，
设总运费为w元，根据题意得，
w=500z+300（10-z）=200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∴当z=8时，w的值最小为w=200×8+3000=4600，
答：该公司应如何甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用．
【解析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，根据题意列出不等式求出z的整数值，再设总运费为w元，再根据题意列出w关于z的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质求得x的值，进而得安排货车的方案．
考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
22.【答案】解：（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H．
则BK∥CG，△ABK∽△ACG．
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则=，即=，
解得：x=8．
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；
（2）在Rt△ACG中，CG=80-8=72
（cm）．
则sin∠CAF=，
∴AC=80，（cm）
∴BC=AC-AB=80-50=30（cm）．
【解析】（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H，则△ABK∽△ACG，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；
（2）求得CG的长，然后在直角△ACG中，求得AC即可解决问题；
本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
23.【答案】（1）把点A（，4）代入中，得：，
解得n=6
∴反比例函数的解析式为，
将点B（3，m）代入得m=2，
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y=kx+b，则有，解得
∴直线CD的表达式为；
（2）设E点的坐标为（0，b）令x=0，则y=6
∴D点的坐标为（0，6）DE=6-b
∵S△DEB-S△DEA=S△AEB
∴，
解得：b=1，
∴E点的坐标为（0，1）；
（3）不等式kx+b≤的解集是．
【解析】（1）把点A（，4）代入中，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，
进而求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
（2）设E点的坐标为（0，b），求得D点的坐标为（0，6），得到DE=6-b，根据
S△DEB-S△DEA=S△AEB
得出关b的方程，解方程求得b，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
24.【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，
∴AD=BD=2，AB=2BD=4，
∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4，
∵DE⊥AC，
∴DE=AD=×2=，
AE=AD•cos30°=3，
∴S△ODE=OD•DE=×2×=，
S△ADE=AE•DE=××3=，
∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，
∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=．
【解析】（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE 以及△ABC的面积，继而求得答案．
此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25.【答案】1 40°
【解析】解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）
=180°-140°=40°，
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2，=，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴=，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
+（x+2）2=
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2；
综上所述，AC的长为3或2．
（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-
（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则=，由全等三角形
的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：
△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
26.【答案】解：（1）∵B（3，0），对称轴为直线x=，
∴A（-2，0），
∴抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-3）=ax2-ax-6a，
令x=0，则y=-6a，
∵B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴C（0，-3），
∴-6a=-3，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-3；
（2）如图1，
∵∠PAB=∠CAB，
∴所以，作射线AP与y轴的交点记作点C'，
∵∠BAC=∠BAC'，OA=OA，∠AOC=∠AOC'=90°，
∴△AOC≌△AOC'（ASA），
∴OC'=OC=3，
∴C'（0，3），
∵A（-2，0），
∴直线AP的解析式为y=x+3，
∵点P（m，n）在直线AP上，
∴n=m+3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
过点P作y轴的平行线交BC于F，
∴F（m，m-3），
∴PF=m+3-（m-3）=m+6，
∴S=S△PBC=OB•PF=×3（m+6）=m+9（m＞-2）；∴当S=10.5时，10.5=m+9，
∴m=2，
∴点P（2，6）
（3）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-x-3①由（2）知，直线AP的解析式为y=x+3②，
联立①②解得，或，
∴P（6，12），
如图2，
当∠C'PB'=90°时，取B'C'的中点E，连接PE，
则B'C'=2PE，即：B'C'2=4PE2，
设B'（x1，y1），C'（x2，y2），
∵直线B'C'的解析式为y=x+t③，
联立①③化简得，x2-3x-（2t+6）=0，
∴x1+x2=3，x1x2=-（2t+6），
∴点E（，+t），
B'C'2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1x2]
=2[9+4（2t+6）]=16t+66，
而PE2=（6-）2+（12--t）2=t2-21t+，
∴16t+66=4（t2-21t+），
∴t=6（此时，恰好过点P，舍去）或t=19，
当∠PC'B'=90°时，延长C'P交BC于H，交x轴于G，
则∠BHC=90°，
∵OB=CO，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∴∠PGO=45°，
过点P作PQ⊥x轴于Q，则GQ=PQ=12，
∴OG=OQ+GQ=18，
∴点G（18，0），
∴直线C''G的解析式为y=-x+18④，
联立①④解得或，
∴C''的坐标为（-7，25），
将点C''坐标代入y=x+t中，得25=-7+t，
∴t=32，
即：满足条件的t的值为19或32．
【解析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出直线AP的解析式，进而用m表示点P的坐标，由面积关系求S与m的
函数关系式，即可求解；
（3）先确定出点P的坐标，当∠B'PC'=90°时，利用根与系数的关系确定出B'C'的中点E 的坐标，利用B'C'=2PE建立方程求解，当∠PC''B''=90°时，先确定出点G的坐标，进而求出直线C''G的解析式，进而得出点C''的坐标，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算方法，根与系数的关系，直角三角形的性质，求出C''的坐标和利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半建立方程求解是解本题的关键．
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