现代地理学中的数学方法 (2)

③ 偏回归系数的推导过程:根据最小二乘法原理，
（ , k）应该使 i(i 0， 1, 2, ,k ) 的估计值 b i i 0,1,2,
2 Q ( ya y ) ˆa a 1 n
[ ya (b0 b1 x1a b2 x2a bk xka )]2 min
a 1
n
由求极值的必要条件得
n Q ˆa ) 0 b 2 ( ya y a 1 0 n Q ˆ a ) x ja 0 2 ( ya y a 1 b j
（4.2.13）
（4.2.14）
( j 1,2,, k )
方程组（4.2.14）式经展开整理后得：
2 i 1 n i 1
n
n
b 2 ( xi x ) 2 b 2 Lxx bLxy
i 1
称为回归平方和。
③ 统计量F
F U Q n2
（4.2.10）
④ F越大，模型的效果越佳。统计量 F ～ F （ 1 ， n-2 ）。在显著水平 α 下，若 F>Fα ，则认为回归方程效果在此水平下 显著。一般地，当 F<F0.10(1,n-2) 时，则 认为方程效果不明显。
1a ka
x
a 1
n
2 a ka
x

xka a 1 n x1a xka a 1 n x2 a xka a 1 n 2 xka a 1
n
y1 y 2 Y yn
b0 b 1 b b2 bk
由此得到降水量(p)与纬度(y)和海拔高度(a) 之间的二元线性回归方程为：
1 x 11 B X T Y x21 xk 1
1 x12 x22 xk 2
1 x13 x23 xk 3

n y a 1 y1 na 1 x y x1n y2 1a a a 1 x 2 n y3 n x2 a y a a 1 xkn yn n yka ya a 1
ˆ i ) 2 ( yi a bxi ) 2 min Q ei2 ( yi y
i 1 i 1 i 1 n n n
（4.2.3）
② 根据取极值的必要条件，有
n ( y i a bxi ) 0 i 1 n ( y i a bxi ) xi 0 i 1
a 1
n
(i 1,2,, k )
正规方程组也可以写成
L11b1 L12b2 L1k bk L1 y L21b1 L22b2 L2 k bk L2 y L b L b L b L kk k ky k1 1 k 2 2 b0 y b1 x1 b2 x2 bk xk
第2节
回归分析
一元线性回归模型
多元线性回归模型
非线性回归模型的建立方法
一、一元线性回归模型
定义：假设有两个地理要素（变量）x 和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性 回归模型的基本结构形式为
y a bx
（4.2.1）
1,2,, n 为 式中：a和b为待定参数； 各组观测数据的下标； a为随机变量。
（4.2.15)
方程组（4.2.15）式称为正规方程组。 引入矩阵
X
1 1 1 1
x11 x12 x13 x1n

x21 x22 x23 x2 n
1 x1n x2 n xkn
ˆ 分别为参数a与b的拟合值， 记a ˆ和b 则一元线性回归模型为
ˆx ˆ a ˆ b y
（4.2.2）
（ 4.2.2 ）式代表 x 与 y 之间相关关系的拟合 ˆ 是 y 的估计值，亦 直线，称为回归直线； y 称回归值。
（一）参数a、b的最小二乘估计
① 参数 a 与 b 的最小二乘拟合原则要求 yi ˆ i的误差ei的平方和达到最小，即 与y
.
1 1 1 1 x11 x12 x13 x1n
x k1 xk 2 xk 3 xkn
x21 xk1 x22 xk 2 x23 xk 3 x2 n xkn
1 1 1 x x x 11 12 13 x21 x22 x23 T A X X xk 1 xk 2 xk 3
(4.2.15)
（二）多元线性回归模型的显著性检验
S总 Lyy U Q ① 回归平方和U与剩余平方和Q：
② 回归平方和
U ˆ (y
a 1 n
y)
2

b L
a Leabharlann Baidu1 i
n
iy
③ 剩余平方和为
Q
n a 1
2 ˆ ( y y ) L yy U a a
④ F统计量为
48.25 193.72 Y 574.00 531
套用公式(4.2.16)，进行矩阵运算，得回归系数：
b0 3 294.93 T 1 T b b1 ( X Y ) X Y - 81.167 7 b 0.036 2 2

n
x
a 1 n 1a a 1 n
n
1a
x
a 1 n a 1 n
n
x
2 1
x
a 1 n a 1
a 1 n
x
n
2a

1a 2 a
x
x2 a

x1a x2a
a 1 n
2 x 2a

ka
x
x
a 1
x
a 1
U 1 959 897 .533 8 F 226.528 6 Q /(n 2) 441 245 .655 4 / 51
在置信水平α =0.01下查F分布表，可知 F0.01 (1,51)=7.15。由于F>> F0.01 (1,51)，所以回归方程 （4.2.7）式在置信水平α =0.01下是显著的。
二、多元线性回归模型
（一）多元线性回归模型的建立
① 多元线性回归模型的结构形式为
ya 0 1 x1a 2 x2a k xka a （4.2.11）
式中： 0 , 1 ,, k 为待定参数；
a 为随机变量。
② 回归方程:
如果 b0 , b1 ,, bk 分别为式（4.2.11）中
则正规方程组（4.2.15）式可以进一步 写成矩阵形式
Ab B
求解得
b A B ( X X ) X Y (4.2.16)
T T
1
1
引入记号
Lij L ji ( xia xi )(x j x j )
a 1
n
(i, j 1,2,, k )
Liy ( xia xi )( ya y )
0 , 1 , 2 ,, k 的拟和值，则回归方程为
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 bk xk y
（4.2.12）
在（4.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk 称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其 他自变量都固定时,自变量 x i 每变化一个单位 而使因变量平均改变的数值。
U /k F Q /( n k 1)
计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。
多元线性回归分析实例
在表4.1.2中，把降水量(p)看作因变量， 把纬度(y)和海拔高度（a）看作自变量，下面 我们试建立p 与y、a之间的线性回归模型。 代入样本数据，得到：
1 40.50 1 170.80 1 36.60 1 707.20 X 1 36.14 1 111.70 53 3
（4.2.6）
（二）一元线性回归模型的显著性检验
① 方法：F 检验法。 ② 总的离差平方和：在回归分析中，表示 y的n次观测值之间的差异，记为
S 总 L yy
2 ( y y ) i i 1 n
（4.2.8）
可以证明
S 总 L yy
n 2 ( y y ) i i 1 n n
（4.2.4）
③ 解上述正规方程组（4.2.4）式， 得到参数a与b的拟合值
ˆx ˆ y b a
ˆ b L xy L xx
n
（4.2.5）

(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2 ( x x ) i i 1
n 1 n xi y i ( xi )( y i ) n i 1 i 1 i 1 n n 1 2 2 x ( x ) i i n i 1 i 1
一元线性回归分析实例
例如，在表4.1.2中，把降水量（p）看作因变
量，把纬度（y）看作自变量，在平面直角坐 标系中作出散点图（图4.2.1），发现它们之
间呈线性相关关系，因此，可以用一元线性回
归方程近似地描述它们之间的数量关系。
图4.2.1 散点图：降水量（p）与纬度（y）
将样本数据分别代入公式(4.2.5)和(4.2.6)， 计算回归系数a和b的拟合值得：
b Lyp Lyy
1
( y
53
53
y )( p p ) y )2
1
( y
- 23 848.21 82.182 2 290.19
a p by 3 395.383 4
故，降水量(p)与纬度(y)之间的回归方程为：
p 3 395.383 4 82.182 2 y （4.2.7）
对于回归方程（4.2.7）式，
S总 L pp
2 ( p p ) 2 401 143.189 2 1 53
U bLyp (82.182 2) (23 848.21) 1 959 897.533 8
Q S总 U 2 401 143.19 1 959 897.53 441 245.655 4
n n n n nb0 ( x1a )b1 ( x2 a )b2 ( xka )bk ya a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n 2 ( x1a )b0 ( x1 )b1 ( x1a x2 a )b2 ( x1a xka )bk x1a ya a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n 2 ( x2 a )b0 ( x1a x2 a )b1 ( x2 a )b2 ( x2 a xka )bk x2 a ya a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n ( x )b ( x x )b ( x x )b .... ( x 2 )b x y ka 0 1a ka 1 2 a ka 2 ka k ka a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
（4.2.9）
ˆi )2 ( y ˆ i y) 2 Q U ( yi y
i 1 i 1
在式（4.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和
ˆi )2 Q ( yi y
i 1
n
而
ˆ i yi ) (a bxi a bx ) 2 U (y