恒定磁场的基本原理

面电荷情况下电荷元表示为 dS ,
电流元表示为 vdS 。
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工程电磁场
线电荷情况下电荷元表示为 dl ， 电流元表示为 vdl 。
体电流、面电流和线电流的电流元
用电流密度分别表示为 JdV 、 KdS 和 Idl 。
点电荷运动形成“点电流”，表示为 qv
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工程电磁场
工程电磁场
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4 恒定磁场的基本原理
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4．1 安培定律与磁感应强度
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1．电流元
电荷运动形成电流 。
电荷元 dq 以速度 v 运动形成电流元 dqv 。
体电荷情况下电荷元表示为 dV ,
电流元表示为 vdV 。
I1dl1
0 4
l2
I
2
dl2 R221
e21
再进一步分析上两式，可得
电流元 I 2dl2 受到电流元 I1dl1 的作用力为
dF21
0 4
I2dl2
I1dl1 e12 R122
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电流元 I1dl1 受到电流元 I 2dl2 的作用力为
dF12
0 4
I1dl1
l1
I1dl1
(
0 4
l2
I2dl2 e21 ) R221
式中： R12 表示电流元 I1dl1 到 I 2dl2 的距离，
e12 是由 I1dl1 指向 I 2dl2 的单位矢量；
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R21表示 I 2dl2 到 I1dl1 的距离，
e21 是由 I 2dl2 指向 I1dl1 的单位矢量；
磁场对运动电荷的 作用力为
F qv B
这种作用力称为洛 仑兹力。
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从上式可以看出， 洛仑兹力与电荷运动方向垂直。 因此，这种力不会做功， 只能改变速度的方向，不能改变速度的大小。
例 如图，真空中长度为 2l 的直线段， 通以电流 I 。求线段外任一点 P 的磁感应强度。
4．分布电流的磁感应强度
在给定的时刻，单 个运动电荷处在某个位置，
相当于一个“点”电流 qv ，
所产生磁场的磁感 应强度为
B
0 4
qv eR R2
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载流线圈是一种线电流， 所产生磁场的磁感应强度为
B
0 4
l
Idl R2
eR
式中： l 为线电流的源区。
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它是恒定磁场中的一个基本场矢量。
从定义式可以看出，
试验电流元受力的方向
与电流元方向和磁感应强度方向都垂直，
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且 I t dlt 、 B 与 dFt 满足右手关系。
根据场点上试验电 流元及其所受到的作用力， 可以确定场点的磁 感应强度。 磁感应强度的单位 是特斯拉（T）。 由安培定律可知，
则从源点到场点的 距离矢量可表示为
R r r ， R
r r ，eR
r r r r
。
进一步，可以得到
电流元 Idl 产生磁场的磁感应强度
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dB
0 4
Idl eR R2
式 中磁感应 强度与 电流的关 系，
通常称为毕奥—沙 伐定律。
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由面电流产生的磁感应强度为
B
0 4
S
K
e R2
R
dS
式中： S 为面电流的源区。
由体电流产生的磁感应强度为
B 0 4
V
J
R
e
2
R
dV
式中：V 为体电流的源区。
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5．洛仑兹力
根据磁感应强度的 定义式，
磁场对放置在其中 的电流元有作用力。
单个运动的点电荷相当于“点”电流 qv ，
2．安培定律
关于电流之间的作 用力，法国科学家安培
（A.M. Ampère 1775-1836）在 1820 年做了
一系列实验，得到 了著名的安培定律。因实 验中无法测量两个 孤立电流元之间的作用 力，只能测量两个 载流线圈之间作用力。
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如图，在真空中，通以电流 I1 的线圈 l1 对通以电
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电流在其周围产生 磁场。 不随时间变化的电 流产生的磁场， 叫做恒定磁场。 电流称为磁场的源 。
设想在恒定磁场中某一点 x, y, z 上，
放置一个试验电流元 I t dlt ，
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如果试验电流元受力为
dFt I t dlt B
则将 B 这一矢量定义为磁感应强度，
0 是真空中的磁导率，其数值为 4 107 （H/m）。
从以上两式分析可得，
电流元 I 2dl2 受到线圈 l1 中电流 I1 的作用力为
dF21
I 2dl2
0 4源自文库
l1
I1dl1 R122
e12
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电流元 I1dl1 受到线圈 l2 中电流 I 2 的作用力为
dF12
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解 根据电流分布的对称性， 采用圆柱坐标系。 坐标原点设在线段
中心， z 轴与线段重合。
场点 P 的坐标为
r,, z 。取电流元 Idz ，
源点坐标为 0,, z 。
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这样，电流元在 P 点产生的磁感应强度为
dB
通以电流 I 的线圈 l 所产生恒定磁场
磁感应强度为
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B
0 4
l
Idl eR R2
式中： R 为从电流元 Idl 所在的源点
x, y, z 到场点
x, y, z 的距离，
eR 是从源点指向场
点的单位矢量。
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把坐标原点到场点的距离矢量记为 r ， 坐标原点到源点的距离矢量记为 r ，
I2dl2 e21 R221
（对比库仑定律， 两电荷元之间作用力
dF21
1 40
dq2
dq1e12 R122
）
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3．磁感应强度
一个线圈中的电流
对放置在附近的另一个线圈中的电流
有作用力。
这个作用力不是直接的作用力，
而是通过一定的物质传递过去的。
这种物质就是磁场。
流 I2 的线圈 l2 的作用力可表
示为
F21
0 4
l1
l2
I2dl2
I1dl1 e12 R122
l2
I
2dl2
(
0 4
l1
I1dl1 e12 ) R122
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电流 I2 对电流 I1 的作用力可表示为
F12
0 4
l2
l1
I1dl1
I2dl2 e21 R221