2019-2020年高三数学函数图象与性质的综合应用培优辅导材料五人教版
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2．掌握有关中心对称、轴对称的几个重要结论.一般地，对于函数f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值.
若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；
若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t）与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
【评析】 （1）函数的对称性与周期性的有关结论，容易混淆，注意区分.
（2）同一个函数图象本身的对称性与两个函数图象的对称性，既有联系，又有区别，两者应区分清楚.
【解】 （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.
故函数Leabharlann Baidu＝f（x）是非奇非偶函数；
（2）由 f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），
从而知y＝f（x）的周期是10.
若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期；
若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；
若f（x+a）＝ （a≠0，且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.
若f（x+a）＝ （a≠0且f（x）≠1），则f（x）是周期函数，4a是它的一个周期.
延伸拓展：若函数f（x+a）（a＞0）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；若函数f（x+a）（a＞0）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
变式题已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（－ ，0）的对称，且满足f（x）＝f（x+ ），f（－1）＝1，f（0）＝－2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）的值为（ ）
变式题若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈（－1，1）时，f（x）＝︱x︱，则函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4︱x︱的图象的交点的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【例3】 已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是（C）
三、典型例题
【例1】 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；
④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
【例2】xx年·福建f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（D）
A．2B．3C．4D．5
【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.
2019-2020年高三数学函数图象与性质的综合应用培优辅导材料五人教版
一、教学内容函数图象与性质的综合应用（二）
二、学习指导
1．了解函数周期性的定义，熟记如下几个重要结论.一般地，对于函数f（x），如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f（x+T）＝f（x）（T≠0），则f（x）是周期函数，T是它的一个周期；
其中正确的命题序号是④.
【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；
②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；
③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；
3．周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般地，若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期；若f（x）的图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期；若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.
又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，
故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，xx］上有402个解，在上［－xx，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－xx，xx］上有802个解.
【分析】 由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x＝2和x＝7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10］上只有2个根，故易求得方程f（x）＝0在的根的个数.
A．－2B．2C．0D．1
【例4】xx年·广东对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.
（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－xx，xx］上的根的个数，并证明你的结论.
A．［ ，+∞）B．（1， ］C．［ ，+∞）D．（1， ］
【解析】 由f（x+1）为奇函数得f（－x+1）＝－f（x+1），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（－∞，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+∞）上的图象，由图象易知，f（x）在［，+∞）上单调递减，故应选C.
若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；
若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t）与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
【评析】 （1）函数的对称性与周期性的有关结论，容易混淆，注意区分.
（2）同一个函数图象本身的对称性与两个函数图象的对称性，既有联系，又有区别，两者应区分清楚.
【解】 （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.
故函数Leabharlann Baidu＝f（x）是非奇非偶函数；
（2）由 f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），
从而知y＝f（x）的周期是10.
若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期；
若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；
若f（x+a）＝ （a≠0，且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.
若f（x+a）＝ （a≠0且f（x）≠1），则f（x）是周期函数，4a是它的一个周期.
延伸拓展：若函数f（x+a）（a＞0）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；若函数f（x+a）（a＞0）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
变式题已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（－ ，0）的对称，且满足f（x）＝f（x+ ），f（－1）＝1，f（0）＝－2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）的值为（ ）
变式题若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈（－1，1）时，f（x）＝︱x︱，则函数y＝f（x）的图象与函数y＝log4︱x︱的图象的交点的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【例3】 已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是（C）
三、典型例题
【例1】 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；
④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
【例2】xx年·福建f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（D）
A．2B．3C．4D．5
【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.
2019-2020年高三数学函数图象与性质的综合应用培优辅导材料五人教版
一、教学内容函数图象与性质的综合应用（二）
二、学习指导
1．了解函数周期性的定义，熟记如下几个重要结论.一般地，对于函数f（x），如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f（x+T）＝f（x）（T≠0），则f（x）是周期函数，T是它的一个周期；
其中正确的命题序号是④.
【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；
②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；
③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；
3．周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般地，若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期；若f（x）的图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期；若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.
又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，
故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，xx］上有402个解，在上［－xx，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－xx，xx］上有802个解.
【分析】 由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x＝2和x＝7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10］上只有2个根，故易求得方程f（x）＝0在的根的个数.
A．－2B．2C．0D．1
【例4】xx年·广东对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.
（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－xx，xx］上的根的个数，并证明你的结论.
A．［ ，+∞）B．（1， ］C．［ ，+∞）D．（1， ］
【解析】 由f（x+1）为奇函数得f（－x+1）＝－f（x+1），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（－∞，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+∞）上的图象，由图象易知，f（x）在［，+∞）上单调递减，故应选C.