高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算,
这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为
定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。

如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、
四则运算
是封闭的，即对K 内任
两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有
b K ， ab
K ，且当b 0时，a/b K ，则称
K 为一个数域。

1.1典型的数域举例：
复数域C ；实数域R ;有理数域
Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = •.
1
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素
K ，且 a 0。

于是
进而
最后，
m, n Z
巴K 。

这就证明了
n
K 。

证毕。

1.1.3
集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为
A 与
B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩
定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。

如果存在法则
f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定
若a a'代都有f (a)
第一章代数学的经典课题
§ 1若干准备知识
1.1.1代数系统的概念
个代数系统。

1.1.2数域的定义
定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为
A 与
B 的交集，记作A B ;把A
下的元素组成的集合成为
A 与
B 的差集，记做A B 。

的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为
B, f (a).
如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。

A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的
子集称为A 在f 下的像，记做
f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。

f(a'),则称f 为单射。

若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。

1.1.4 求和号与求积号
1 •求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号：
第一学期第一次课
如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。

当然也可以写成
2. 求和号的性质 . 容易证明，
a 1a 2
a n
n
a i .
i1
a 1 a 2
a n
a i
1i n
a 1a 2..
.a n
a i
1i n
n
n
a i
a i
i1
i1
n
n
n
(a i b i )
a i
b i
i1
i 1
i 1
nm
m n
a i j
a j
i 1 j 1
j1i
1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a 11 a 12 ........ a 1m a 21
a 22 ........ a 2m
a
n1 a
n2
.............................. a
nm
分别先按行和列求和，再求总和即可。

第一学期第二次课
§2 一元高次代数方程的基础知识
1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设 K 为 数 域 。

以 K[x] 表 示 系 数 在 K 上 的 以 x 为 变 元 的 一 元 多 项 式 的 全 体 。

如
f(x) a °x n a i X n 1
……a n K[x],(a 。

0)，则称 n 为 f (x)的次数，记为 deg f (x)。

定理(高等代数基本定理) C [x]的任一元素在 C 中必有零点。

命题 设f(x) a 0x n
a 1x
n 1
…… a n ,(a 0 0， n 1)是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。

则存在
上首项系数为a 。

的n 1次多项式q(x)，使得
f (x) q(x)(x a) f(a)
证明 对 n 作数学归纳法。

a n a i
i1
推论x°为f(x)的零点，当且仅当(x x°)为f(x)的因式(其中deg f(x) 1)。

则 f(x) g(x)。

命题(高等代数基本定理的等价命题) 设f(x) a 0x n a 1x n 1
............ a n (a 0 0, 项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复数a i ,a 2,……,a n ，使 f (x) a o (x
1
)(x
2)……
(x
n
)
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3,对n 作数学归纳法。

2 •高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式 a °x n a 1x n 1 a n 1x a n 0
(其中a 0,a 1,……，
a n K, a 0 0 )称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以x 成等式，则称 为方程(1 )在K 中的一个根。

定理(高等代数基本定理的另一种表述形式) 数域K 上的n( 1)次代数方程在复数域 命题n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有n 个根(可以重复)。

命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定 C 上两个n 次、m 次多项式 f (x) a 。

a ^ ……a n X n
(a n 0), g(x) b ° dx ……b m x m
(b m 0), 如果存在整整数I ,丨
m, l n ,及I 1个不同的复数 1, 2,……,,,,1，使得 n 1)为C 上的n 次多
(1)
K 带入(1)式后使它变
C 内必有一个根。

f( i ) g( i )
(i 1,2,……,l
1),
1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设 f (x) a °x n a 1x n 1
L a .，其中 a i K, a ° 设 f (x) 0的复根为
n (可能有重复)，则
所以 我们记 1
-f(x) a °
n (x i )
i 1
n
x
(x
1
)(x
n n
)x 2
)L (x n )
L 1 2L
a a °
(1)1(
a
2
a 。

n )
；
(1)2
0 i 1 i
2
i
1
n
i 2
；
a n a °
(1)n 1
2 n
.
0(
1 , 2
, ,
n
) 1
；
1(
1,
2 ,
,
n )
1 2
n ；
1)n
n
).
命题 给定R 上n 次方程
n
a °x
n
a 〔x
a 0 0
，
如果
a b i 是方程的一个根，则共轭复数
b i 也是方程的
根。

证明
由已
知,
n
a o
a i
a n 1 a n
0.
—n
a o
—n a
1
a n 1 a n
0.
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根, 故其中必有一根为实数。

n (
1 ,
2 ,
,n )
1 2 n
（1, 2丄，n 称为1, 2丄
,n 的初等对称多项式）。

于是有
定理2.5 （韦达定理）
设 f(x) a °x n
n 1
a 〔x
L a n ，其中a i K,a 0 0。

设f （x ） 0的复根为
1
, 2丄，
n 。

则
a 1 (1)1
1 ( 1 ,
2
,,n )
；
a 。

a 2 “ 八2
2 ( 1 ,
2
,,n )
；
(1)
a 。

a n
a o
两边取复共轭，又由于 a °,a 1,……,a n R ，所以
推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

第一学期第三次课
§ 3线性方程组
1.3.1数域K 上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。

定义（线性方程组的初等变换） 数域K 上的线性方程组的如下三种变换
（1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里k K
的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。

命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
r (
1 ,
2
,
n
)
0 i i i 2
i 1 i
2 i r
n
i
r
证明设线性方程组为
L a1n x n
&12
为
822x2L a2n x n b2,
a m1x1&m2X2L a mn x n
b n
(*)
A 811
821
812 ----------
822 ----------
81n
82n 8m1a m2 ----- ・.8mn
称为数域K上的一个m行n列矩阵，简称为m n矩阵。

定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵阵；如果把方程组的常数项添到A内作为最后- 列，得到的m(n 1)矩阵
a11812 ................. 81n
b
A821822 ................. 82n b2A称为方程组的系数矩
经过初等变换后得到的线性方程组为（**）,只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。

设X i k i,X2 k2,……,Xn k n是（*）的解，即（*）中用X j匕（i 1,2,……n）代入后成为等式。

对其进行初
等变换，可以得到x1k1, x2 k2, ..... , x n k n代入（**）后也成为等式，即x1k1, x2 k2, .... , x n k n是（**）的解。

反之，（**）的解也是（*）的解。

证毕。

1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域K上的矩阵）给定数域K中的mn个元素a ij（i 1, , m，j 1, ,n ）。

把它们按一定次序排成一个m行n列的长方形表格
称为方程组的增广矩阵。

定义（矩阵的初等变换）对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换
（1）互换两行（列）的位置；
（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数C ；
（3）把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里k K
称为矩阵的行（列）初等变换。

定义（齐次线性方程组）数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组
这类方程组的一般形式是
a m2
a m1
K 上的线
对K 上线性方程 m 维向量；
耳1片 a^x ? L
a
1n X
n
0,
a 12X 1 a 22X ? L
a 2n X n 0,
a
m1x
1
a m2X 2 L
a
mn X
n
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；
证明对变元个数作归纳。

说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。

事实上，
在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。

如果所给的是数域 性
方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组， 所求出的解也都是数域 K 中的元素。

因此, 组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。

第一学期第四次课
第二章向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m 维向量空间的定义及性质
定义（向量）设K 是一个数域。

K 中m 个数a 1,a 2,, a m 所组成的一个 m 元有序数组称为一
a 1
a ?
(i K,i
1,2,……,m
)
a
m
称为 个 m 维列向量；而
(a/,a ?',••…
•, a
m )
称为 个 m 维行向量。

我们用K m
记集合｛（aja ?',……，a m '）|a i K,i 1,2,……,m ｝。

定义（K m
中的加法和数量乘法）
在K m
中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加,
ai b i a i b i
a? b?
a m
b m
在K m定义数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置，即对于某个k K，
a i a? ka1 ka?
a m ka m
定义（m维向量空间）集合K m和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K上的m维向量空间。

命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K表示数域，，，表
a? b?
k i ,k 2, ,k s K ，使得
命题
示K m
中的向量）
(1) 加法结合律： (
)
( );
(2) 加法结合律：
(3)
向量（0,0,…… ,0) （记为0 ）具有性质: 对于任意
，有0
；
(4)
(a 〔,a 2, ’a m ),令
( a 1
, a 2,
’ a
m ),称 其
娄为
的负向量，它满足
()
() 0
;
(5) 对于数1,有1
(6)
对K 内任意数 k , l ，有(kl) k(l )
» ；
(7)
对K 内任意数 k , l ，有（k l) k l ；
(8)
对K 内任意数
k , 有k(
)k
k 。

2.1.2 线性组合和线性表出的定义
定义（线性组合） 设 1, 2,
m
,s
K
,k 1, k 2, ,k s K ，则称向量 k 1 1 k ? 2 -
• •…k s s 为向量组
1 ,
2 ,
,S 的一个线性组合。

定义 （线性表示） 设1, 2,,
s ,
K m 。

如果存在k 1 ,k 2, ,k s K ，使得
k 1 1
k
2 2
.... k
s s ，
则称 可被向量组 ,,2,……,S 线性表示。

2.1.3向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述
k
1 1
k
2 2
.... k
s s
0,
则称1, 2,
,s 线性相关，否则称为线性无关。

注意：
根据这个定义，1 , 2,
, s 线性 无关 可以表述
如下 k 1 1 k 2 2
……ks s
0,则必有k 1 k 2
k s 0。

如果
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
1 ,
2
J J
1
a
m1
a
m2
a
mn
显然1, 2,
,s 线性相关当且仅当齐次线性方程组
a
11x 1
a
12X 2
a
1n X
n 0,
a ：1 x 〔 322X 2
a
2n X
n
0,
a
m1X 1
a
m2X 2
a
m n X
n
0.
K m 。

如果存在不全为零的
定义（线性相关与线性无关）
设
s
有非零解,
b 2,
1 ?
2 ,
s 线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。

:若 k i ,k 2, ,k s K ，使得
K m，则下述两条等价:
线性相关;
证明1）2）.由于
1, 2, , n线性相关，故存在不全为零的n 个数k1, k2, k n K ，使得
k1 1 k2 2 k n
不妨设某个k i0。

于是，由向量空间的性质有
i ( k1/k i) 1 ( k2 / k i ) 2 (k i i/kj k i 1/k i) (k n/k i)
2）1）.如果某个i可被其余向量线性表示, 即存在k i, k i 1 , k i 1 ,,k n 使得
i k1 1 k2 2 k i k i 1 i 1 k n
由向量空间的性质有
k1 1 k2 2 k i 1 1) i k i 1 i 1 k n 0.
曰
线性相关。

证毕。

是1, n
推论K m，则下述两条等价:
线性无关;
2）任一i不能被其余向量线性表示。

第一学期第五次课
2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系
定义（线性等价）给定K m内的两个向量组
(*)
（**
）
如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组(*) 中的每个向量也都能被向量组
（**
定义（集合上的等价关系）给定一个集合S，S上的一个二元关系“”称为一个等价关系，如果“ ~”满足2）某个i可被其余向量线性表示。

线性表示，则称向量组（*）和向量组（** ）线性等价。

以下三条：
（1）反身性：a S, a ~ a ；
（2）对称性：a,b S,如果a~b,则b ~ a ；
（3）传递性：若 a ~ b， b ~ c，则a ~ c。

与a等价的元素的全体成为a所在的等价类。

命题若a与b在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。

进而一个定义了等价关系的集合可以表示
为所有等价类的无交并。

证明记a所在的等价类为S a，b的等价类为S b。

若它们的交集非空，则存在 c S a S b，于是有
c ~ a，c ~ b。

由等价关系定义中的对称性和传递性即知 a ~ b，与a和b在不同的等价类矛盾。

这就证明了a和b
所在的等价类交集是空集。

而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。

综上可知，命题成立。

证毕。

命题给定K m内两个向量组
12
2）
且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。

如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组1）线性表示。

证明若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组1）线性表示，则存在k ij K （1 r, 1 s) ，使得
k ij i ( j 1,2,L ,s) .i）
i1
由于能被向量组（2）线性表示，故存在l j (1 s），使得
s
l j
j1
将（i）代入，得
j1
k ij
i1
s
k ij j1
rs
( k ij) i ，
i 1 j 1
即可被
12
, r 线性表示。

由此易推知
命题线性等价是K m的向量组集合上的等价关系。

2.1.5 向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩
定义（向量组的极大线性无关组）设
s为K m中的一个向量组, 它的一部分组i1 i2 i r 称
r 为原向量组的一个极大线性无关组，若
1)
i1, i2, , i r 线性无关；
1, 2, , s中的每一个向量都可被i1 i2, , i r 线性表出。

容易看出向量组i
r
线性等价。

引理给定K m上的向量组12 r ，如果12 s 可被, r 线性表出，则向量组s线性相关。

证明由于
12 s
可被1, 2 , r 线性表出，故存在k ij K ，使得
2 LL k11 1 k21 1
LLL k s1
1
k12 2 k22 2
LLL k s2
x1 1 x2 2
将（*）代入（** ），
得
s
( k i1x i ) i1 1(
s
k i2x i)
i1
x s
k1r r
k2r LL
k sr
*)
0.** )
s
( k ir x i) r 0.
i1
kM i k k X r 0 ,
i 1 (** *
设各系数均为零，得到
（*** ）是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组，而s r，故方程组（*** ）有非零解，于是存在不全
为零的为也丄，人K，使得（** ）成立。

由线性相关的定义即知向量组1, 2, , s线性相关。

定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。

证明设1, 2丄，n和1, 2丄，m K m中的线性等价的向量组。

设向量组“，i2, , i r和”，j2, , j s 分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。

由于,i2, , i r可将j1, j2,L , jt中的每一个向量线性表出，知r s （否则由引理知向量组
i1, i2, , i r线性相关，矛盾）。

同理s r。

于是r s。

推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。

定义（向量组的秩）对于K m内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。

第一学期第六次课
第二章§ 2矩阵的秩
2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置
定义2.1矩阵的行秩与列秩。

一个矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，它的列向量组的秩称为A的列秩。

命题2.1矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；
证明只需证明行变换不该行秩。

容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等
价，所以命题成立。

证毕。

定义2.2矩阵的转置
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵A'称为矩阵A的转置矩阵。

命题2.2矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。

证明只需证明行变换不改变列秩。

列变换可用矩阵的转置证得。

假设A的列向量为1, 2,L , n，它的一个极大线性无关部分组为i1, i2,L , ir ,而经过初等行变换之后的列
向量为1', 2',L , n'，只需证明i1', i2',L , ir堤变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。

只需分别证明向量组i1', i2' ,L , ir '（* ）线性无关和1', 2',L , n'中的任意一个向量都可以被（*）线性表
出。

构造方程X i1 i1',X i2 i2',L ,X k.' 0,由于i 1, i 2丄，ir线性无关，线性方程组6⑴眾i2丄，ir 0只有零解。

而方程X i1 i1',X i2 i2',L , X. . ' 0是由6和
，見i2丄，6 ir 0经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以X1 i1',X i2 i2'丄，X r ir'0只有零解，于是i1 ', i2 ', L ,『'线性无关。

对于A的任意一个列向量，都可被i1, i2 ,L , ir线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，'可以被（* ）线性表出。

证毕。

推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A的秩记为r（A）；
证明设
*( 0) 0 10
0 ** 其中(**) 代表一个矩阵。

a11 a21 a12 a22
L
L a1n a
2n
，
A
L L
a m1 a m2 L a
mn
不妨考虑A 0 ，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。

用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式
若(** )不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如
1
O
1
的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。

于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行
秩等于列秩。

定义2.3 一个矩阵A的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作r(A)。

2.2.2矩阵的相抵
定义2.4给定数域K上的矩阵A和B，若A经过初等变换能化为B，则称矩阵A和B相抵。

命题 2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。

证明逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。

2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。

第一学期第七次课
第二章§3 线性方程组的理论课题
3.1.1 齐次线性方程组的基础解系
对于齐次线性方程组
a11x1 a12x2 L a
1n x n
0,
a12x1 a22x2 L a
2n x n
0,
LLL LLL L LLLL L
a m1x1 a m2x2 L ax
mn n
则上述方程组即为
x 1
x 2 2 L
x n
*）
其中 0 为零向量）。

将（ *）的解视为 n 维向量， 则所有解向量构成 K n 中的一个向量组，记为 S 。

命题
S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S （仍是解）。

证明 只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。

设
(k 1,k 2,L ,k n )，
(l 1,l 2,L ,l n )
S ，则
k 1 1 k 2 2 L
k n n 0
，
l 1
1 l
2 2
l n n 0 ，
是
(k 1
l 1) 1 (k 2 l 2) 2 L (k n l n ) n 0，故 (k 1 l 1,k 2 l 2,L ,k n l n )
S ；
又因为 k K ， kk 1 1 kk 2 2 L
kk n n 0，所以 (kk 1,kk 2,L ,kk n ) S 。

证毕。

定义 （线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（ *）的一组解向量 1, 2,L , s 如果满足如下条件：
（1）
1, 2
,L , s 线性无关；
（2） 方程组（ * ）的任一解向量都可被
1, 2
,L , s 线性表出，
那么，就称1, 2,L , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。

定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩； 证明 记线性方程组为 x 1 1 x 2 2 L x n n 0 ，其中
a 1n
a 2n
a m1 a m2
a
mn
设1, 2丄，n 的秩为r ，无妨设1, 2丄，r 为其极大线性无关部分组，贝U
r i , r 2丄
，n 皆可被
1, 2
,L , r 线性表出， 即
存在
k ij
K(1 i n r, 1 j
r ） ，使得
r1
k 11 1
k 12 2
L
k 1r
r ,
r2
k 21 1 k 22 2
L
k 2r r ,
L L L L LLL LLL
n
k n r 1
1
k n
k
r2 2
n rr
即
k
i1 1
k i2 2
L
k ir r 1?
r i
0, (i 1,2,L n r)。

于是 S 中含有向量
1 (k 11,k 12,L ,k 1r ,1,0,L ,0), 2
(k 21,k 22,L ,k 2r ,0,1,L ,0),
L L L L L L L L L L
nr
(k n
r1,k
r2
,k n r r ,0, 0, ,1) .
a
11
a
12
a
1n
a 21
，
a 22
a
2n
2 ， ，
n
M
2
M n
M
a
m1
a
m2 a
mn
a 22 a 11
只需要证明 2
,L , n r 是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。

易见，向量组
2,L , n r 线性无关。

只需
要再证明
2
,L , n r 能线性表出任意一个
S 即可。

为此，需要证明引理：
引理 设 1, 2,L , t 线性无关， 可被 2,L ,
t 线性表出，则表示法唯一。

证明
k 1 1 l 1 1
k 2 2 l 2 2
k
t t
，
l t t
，
两式相减， 得到
(k 1 l 1)
(k 2
l 2 ) 2
(k t l t ) t 0. 由于 1, 2,L , t 线性无关，故各 i
(1
t) 的系数皆为零，
k i
l i (
i)，即
的表示法唯一。

引理证毕。

现在回到定理的证明。

设
(c 1, c 2 ,L ,c n )
S
，
则有
c 1 1
c 2
c r r
c r 1 r
c r 2 r
2
L
c n n
0.
1)
考虑
c n
nr
S ，则 形如 (c 1 ',c 2 ',L ,c r ',c r 1,c r 2,L
,c n ) ，且有
c 1
c 2 '
2L
c r 'r
c r 1 r 1
c r 2 r 2 L
c n n 0
.
2)
(c r 1 r 1 c r 2
r2
c n
n
) ，则由引理，它可以被线性无关的向量组
2,L ,
r 唯一地线性表示，于
是由( 1)、(2)两式可知
c 1 c 1 '; c 2 c 2';L c r
c r '，
(c 1,c 2,L ,c n )
2
L c n n r 。

这就证明了
2
,L , n r 是解向量组的一个极大线性无关部
程组的左端， 其余 n r 个未知量移到等式右端， 再令右端 n r 个未知量其中的一个为 1，其余为零， 这样可以得到
分组。

再由矩阵的秩的定义可知命题成立。

证毕。

基础解系的求法
我们只要找到齐次线性方程组的 n r 各自有未知量，就可以获得它的基础解系。

具体地说，我们先通过初等行
变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。

把每一个非零行最左端的未知量保留在方
n r 个解向量，这 n r 个解向量构成了方程组的基础解系。

例 求数域 K 上的齐次线性方程组
x 1 x 2
3x 4
x 5 0,
x 1 x 2 2x 3 x 4
0,
4x 1
2x 2
6x 3 3x 4 4x 5 0,
2x 1
4x 2
2x 3
4x 4
7x 5 0.
的一个基础解系。

解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
1 1 0 3 1 11 0 3 1 1 1
2 1 0 02 2 2
1 4
2 6
3
4 00 0 3 1 2
4
2
4
7
00
X i
移项，得
X i
X 2 3X 4
X 5
0 2X 2
2x 3
2X 4 X 5
3X 4
X 5
X 3X 4
X 5 J 2X 2
2X 4 2x 3
X 5 J
3X 4
X 5
a n a 12
A
a 21 a 22
M
M
a m1
a m2
L a 1 n
L
a 2n
d 。

M M °
L
a mn
b m
定理(数域K 上线性方程组有解的判别定理 ) (1)、取
X 3 1, X 5 0,得一个解向量
1
( 1,1,1,0,0)；
(2)、取 x 3 0, X 5 1，得另一解向量
(7
,5
,0,-,1).
6 6
3
1
, 2即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为
解毕。

k 1 1 k 2 2 (k 1,k 2 K).
非齐次线性方程组的解的结构
设给定一个一般线性方程组
a
n X 1
a
i2X 2
a
1n X
n
a ?1 x 〔 a ?2 X 2
a 2n X
n
a,
(* )
a
m1 X
1
a
m2 X 2
■■-
a
mn X
n
b m .
于是其系数矩阵和增广矩阵分别为
a
11 a
12 L a
1 n
A
a
21
a 22
L
a
2n
M
M
M
a
m1 a
m2
L
a
mn
和
对于数域K 上的线性方程组(*)，若r (A) r (A)，则方程 组无解；
r (A) r (A) n ，则有唯一解；r (A) r (A) n ，则有无穷多解。

证明 写出线性方程组的向量形式，
其中
a ii
M，（i 1,2，L，n），b2 M
a mi
b m
若r（A）r（A），则由矩阵秩的定义，可知A列向量组的秩小于A列向量的秩，即向量组1, 2丄,n的秩小于向
量组1, 2丄,n,的秩。

只需证明不可以被向量组1, 2丄,n线性表出即可证明方程组无解。

事实上，若
1, 2,L , n可以将线性表出，则向量组1, 2,L , n与1, 2丄,n,线性等价，则两个向量组的秩相等，矛
盾于向量组1, 2,L , n的秩小于向量组1, 2,L , n,的秩。

所以1, 2丄,n不能将线性表出，方程组无解
得证。

若r（A）r（A），则1, 2,L , n的极大线性无关部分组就是1, 2,L , n,的极大线性无关部分组。

于是
能被1, 2,L , n线性表出，即线性方程组有解。

任取线性方程组的一个解向量，记为°，对于线性方程组的任意一个解向量，0是由原方程组系数矩阵
所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（* ）的导出方程组）的解向量。

事实上，可以分别将和°带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。

反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，°都是线性方程组（*）的解向量。

以T记导出方程组的解向量组成的集合，则（* ）的解为
°| T .
详言之，记导出方程组的基础解系为1, 2,L , n r，则（* ）的解为：
° k1 1 k2 2 L k n r nr, （ R K,i 1,2,L ,n r）.
如果r（A）r（A） n，则T {0}，故方程组（*）有唯一解；如果r（A）r（A） n，则T为无穷集合，故方程组
（*）有无穷多解。

第一学期第八次课
第二章§ 4矩阵的运算
2.4.1矩阵运算的定义
定义（矩阵的加法和数乘）给定两个m n矩阵
a11 a12 L
a1 n b11
L bm
A a21 a22 L a2n
b?1 B 21b22
L b
2n
M M M M M M
a m1 a m2 L a
mn b m1
b m2 L b
mn
A和B加法定义为
给定数域K 中的一个元素
a11 b11 a12
b12 L a
1n b1n
a21 b21 a22 b22 L a2n b2n AB
M M M
；
a m1
b m1 a m2 b m2 L a mn b mn
，k 与A 的数乘定义为
a11 a12
L a
1n ka11 ka12
L ka1n a21
kA k
21 M
a22
L a
2n ka21 ka22
L ka2n
M M M M M
a m1 a m2
L a
mn
ka m1
ka m2 L ka
mn n 矩阵和一个
定义（矩阵的乘法）给定一个m l 矩阵
a11 a12 L a
1n b11 b12
L b
1l
a21 a22 L a2n，b21
B21
b22 L b2l M M M M M M
a m1 a m2 L a
mn b n1 b n2
L b
nl
A 和
B 的乘法定义为
a1i b i1 a1i b i2 a1i b il
2.4.2 矩阵的运算（加法、
命题
1）
3）
4）
5）
6）
7）
8）
AB
i1
n
a2i b i1
i1
n
a mi
b i1
i1
数乘、乘法、转置）的性质
i1
n
a2i b i2
i1
n
a mi
b i2
i1
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中
加法结合律加法交换律数乘结合律数乘分配律
乘法结合律乘法分配律(A B)' A' (A B) C A (B C) ；
A B B A；
k(lA) (kl)A；
k(A B) kA kB ；(k l)A kA lA ；(AB)C A(BC)
k(AB) (kA)B
A(B C) AB
(B C)A BA
AB 'B'A'。

2.4.3 矩阵的和与积的秩
A(kB)；
BC；
CA；
B';
i1
n
i1
i1
a2i b il
a mi
b il
A,B,C 均为K 上的矩阵，k,l 为数域K 中的元素）
命题矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中A,B 均为数域K 上的m n 矩阵，k 为K 中的元素）
命题 设代B 分别为m n 矩阵和一个n I 矩阵，则r (AB) min ( r (A),r (B)).
(1) 若 k 0，则 r (kA) r (A)； (2) r (A') r (A)； (3) r (A B) r (A) r (B)
证明 (1)和(2 )显然成立。

关于(3),由矩阵的秩的定义，只需要证明 A B 的列向量组的秩小于等于 A 的
列向量组的秩加上 B 的列向量组的秩即可。

A B 的列项量可以被 A 和B 的所有列向量线性表出， 于是A B 的秩
小于等于 AB 所有列向量的所组成的向量组的秩，小于等于 A, B 秩的和。

于是命题成立。

证明 由矩阵乘法的定义，有
n
n
n
a
ii b
ii
a
ii b
i2
a ii b
ii ii ii ii
n
n
n
AB
a
2i b
ii
a 2i
b i2
a 2i
b ii
n
n
n
a
mi b
ii
a
mi b i2
a
mi b
ii
i
ii
ii
AB 的列向量(记为 A?B i (i 1,2,
,l))可表示为
a
ii
a
i2
a
in
A?B i
a
2i
b
ii
a
22
b i
L a
2n
b ni ，(i i,2,L ,i )，
M
i
M i M ni
a
mi
a m2
a
mn
于是AB 每一个列向量都可以写成 A 的列向量组的线性组合，故 r (AB) r (A);同理可证，r (AB) r (B)，于是
r (AB) min ( r (A),r (B)) 。

命题 r (AB) r (A) r (B) n .
证明 记C AB ，设B 的列向量为B,B 2丄，B i ，则C 的列向量可以表示为
C i AB i .
( 1 )
设C 的列向量的一个极大线性无关部分组为
C i i
,C i 2
丄,C i r
，
C i
j
AB i j
， j 1,2,L ,r ，
任取C 的一个列向量C j ，存在k ji ,k j2
,L
,k ji ，使得C j
k ji C
i
k j2C
i 2
L k jrG r
，将(1)式代入，得到
A(k
j1B i 1k j2B i 2
L
k
jr B
i r ) C
j ，
于是k ji B i l
k j2B i 2
L
k ji B |r
是方程组AX C j 的一个特解。

设齐次线性方程组
AX 0的基础解系为 i , 2,L , n r(A) ，由线性方程组理论知，方程
AX
C j 的解可以表示
为
j
k
ji B i i
k
j2B
i 2
L k jr B
i r
m
i i m 2 2
L m
n r( A)
n r (A) ，
其中 m i K ，由 C i AB i j
， B i 是方程 AX C i 的解, 于是 B 的列向量可以被向量组 B i i
,B i 2
,L ,B i r
,i , 2
,L ,
n r(A)
线性表示，于是 r (B) r s r (AB) (n r (A))， 即
r (AB) r (A) r (B) n .
证毕。

的迹。

第一学期第九次课
第二章 § 5 n 阶方阵
2.5.1 n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、 反对称、上三角、下三角矩阵
定义 （数域 K 上的 n 阶方阵） 数域 K 上的 n n 矩阵成为 K 上的n 阶方阵， K 上全体 n 阶方阵所成的集合记
作 M n (K)。

定义 （ n 阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域 K 上形如
d 1
d n
nn
的方阵被称为 n 阶对角矩阵 ，
a 11 a 12
L
a 1n
d 1
O
d 1a 11 d 2a 12
L d n a 1n
a 21
a 22
L a 2n
d 1a 21 d 2a 22 L
d n a 2n
M
M
M
d n n n
M
M
M
a m1
a m2
L
a mn
d 1a m1
d 2a m2
L da
n mn
d 1
a 11 a 12
L a 1l d 1a 11 d 1a 12 L d 1a 1l
O
a 21 a 22 L
a 2l d 2a 21 d 2a 22 L
d 2a 2l
M M
M M
M
M
d n
nn
a n1 a n2
L
a nl
d n a n1
d n a n2
L
d n a nl
形如
定义 n 阶方阵A 自左上角到右下角这一条对角线称为
A 的主对角线。

主对角线上的 n 个元素的连加称为 A
与其他矩阵相乘，
O
的方阵被称为n 阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，
a11 a12 a1n
nn
a11 a12
矩阵
a21
M
a22
M
a n1 a n2
a21
M
a m1
a1l
a2l
M
a nl
a22
M
a m2
a2n
M
a
mn
nn
ka11ka12
L ka1n
ka21ka22L ka2n
M M M
ka m1ka m2L ka mn
ka11ka12
L ka1l
ka21ka22
L ka2l
M M M
ka n1ka n2L ka nl
O
被称为n 阶单位矩阵，记作E n，有10
O
nn
a11a12
L a1n
1
O 00a11a12
L a1n
a21a22
L a2n a21a22L a2n
M M M
1nn M M M
a m1a m2L a
mn
a m1a m2
L a
mn
1
O 00a11a12
L a1l a11a12L a1l a21a22
L a2l a21a22L a2l 1n n
M M M M M M
a n1a n2
L a nl a n1a n2L a nl
我们记第i 行第j 列为1，其余位置全为零的n 阶方阵
E ij 。

定义初等矩阵
我们把形如
nn
其中对角线上除了第i 个元素为k (k0)以外，全为1，其他位置全为0 的矩阵和形如
1
MO
k L 1
O
nn
其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k,其余位置都为0的矩阵和形如
若 A, B 为数域 K 上的 n 阶上（下）三角矩阵，则
0 L
L
L 1
M 1
M
M
O
M
M
1 M
1
L
L
L
1
O
1
n n
其中对角线上的元素除了第 i 和第 j 个元素为零外， 都为 1， 第i 行第列和第（n-i ）行第（n-j ）列位置上为1,
其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用
P n （k ?i ） ，P n （k ?i, j ）， P n （i, j ）来表示。

初等矩阵都是由单位
阵经过
一次初等变换得到的。

定义 对称矩阵、反对称矩阵
设
A a ij n n 为数域 K 上的 n 阶方阵，若 a
ij a
ji ，称 A 为对称矩阵；若 a
ij
a
ji ，则称
A 为 反对称矩阵 。

若代B 为数域K 上的n 阶对称（反对称）矩阵，则kA IB 仍为K 上的n 阶对称（反对称）矩阵，其中k,l K 。

定义 上三角、下三角矩阵 数域 K 上形如
a
11 a
12
L
a
1n
O
M
O
M
a
nn
的 n 阶方阵被称为上三角矩阵；形如
a
11
a
21
O
M
O a
n1 L
L
a
nn
的 n 阶方阵被称为下三角矩阵。

对于 n 阶上（下）三角矩阵，同样有
kA lB 仍为 K 上的 n 阶上（下）三角矩阵，其中 k,l K 。

命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 证明 我们分别考察三种初等矩阵
对于
a 11
a 12
L a 1l
a 21 a 22 L
a 2l
M
M
M a n1
a n2
L
a nl
a 11
a 12
L
M M
ka i1 ka i2 L
M
M
a n1
a n2
L
a 1l
M ka il ， M
a nl
P n (k?i, j)
O
1
k 1
O
等价于初等行变换中将第
i 行乘以一个非零数，
O
a
11 a
12 L a
1n 1
a 21
a 22
L
a
2n
k
M
M
M a m1 a
m1 L
a
mn
a
11
L ka 1i L
a
1l
a
21
L
ka 2i
L
a
2l
M
M
M ， 1 M
M
M O
a
n1
L
ka ni
L
a
nl
1
等价于初等列变换中将第
i 列乘以一个非零数；
对于
MO k L 1
O
nn
等价于初等行变换中将第 j 行加上第 i 行的 k 倍，
P(k?i)
nn
O
1 MO k L 1
O
a 11
a 12 L
a 1l
a
21 a
22
L
a
2l
M
M
M
a
n1 a
n2 L
a
nl
a
11
a
12
L
M M
ka i1 a j1
ka i2 a j 2 L
M
M
a n1
a n2
L
a
1l
M ka il a jl
M a nl
P n (i, j)
1 M M M 0
等价于初等列变换中将第
对于
j 列加上第 i 列的 k 倍；
1 0 L L L
M1 MO
M1
1 L L L
等价于初等行变换中互换 i ，j 两行，而
O a 11 L
a 1j L
a 1i L
a 1n
1 a 11 L a 1i
L a 1j L a 1n
a
21
L
a 2j L
a
2i
L
a
2n 0 L L L 1
a
21
L
a
2i
L
a 2j L a
2n
M M M M M 1
M M
M M M M
M
M
M M
O
M M
M
M
M M M M M M
1 M
M
M M
M M
M
M
M
1 L
L L 0
M
M
M
M
a
m1
L a mj L a mi L
a
mn
1
a
m1
L a mi L
a mj L
a
mn
等价于初等列变换中互换 i ，j 两列。

于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。

证毕。

定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。

证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩 n 阶矩阵 （记为 A ）化为对角形， 由初等变换与乘初等矩阵的等价
O
a
11 a
12
L
a
1n 1 a
21
a
22
L
a
2n
O
M M
M
L
M
k
L1
a
m1
a
m1 a
mn
O
1
a
11 L ka 1i a
1 j L a
1l
a 21
L
ka 2i
a
1 j
L
a
2l
M
M
M M
M
M a
n1 L
ka ni
a
1 j L
a
nl
1
a
11
a
12
L
L L
0 L L
L 1
M
M
M 1
M
a
j1
a j2 L
L L
M
O
M M
M
M
1 M a
i1 a
i2
L
L L
1 L L
L 0
M
M
1
a n1 a n2 L
L L
O
1 nn
nn
L
a
1l
M a
11
M a
12
M
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L a nl
a n1 a n2 L
L L L a nl
性，可知存在初等矩阵
P, P2,L P S和Q1 ,Q2 丄，Q t ,
使得P1,P2,L P s AQ1,Q2,L ,Q t E n ，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化
为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵R',F2',L P S，'和Q i ',Q2',L ,Q t，'，使得
P1',P2',L P s''E n Q1',Q2',L ,Q t'' A，
由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道 A P1',P2',L P s''Q1',Q2',L , Q t''，必要性证毕。

充分性若A可以表示成为初等矩阵的乘积，则 A PP2L F S RP2L F S E，表示A可由n阶单位阵经过S次
初等变换得到，于是A 满秩。

证毕。

推论设A是满秩矩阵，对于任意矩阵B,C，有r(AB) r(B) ,r(CA) r(C)(只要乘法有意义)•
证明由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵R,P2,L ,P r，使得A RP2L P r，于是，
AB RP2L P r B，由初等矩阵于初等变换的等价关系，AB相当于对B做r次初等行变换。

由于初等变换不改变矩
阵的秩，所以r(AB) r(B);同理，r(CA) r(C)。

证毕。

第一学期第十次课
2.5.2 可逆矩阵，方阵的逆矩阵
1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义
定义设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B ,使
BA AB E ，
则称 B 是A 的一个逆矩阵，此时A 称为可逆矩阵。

2、群和环的定义
定义设A是一个非空集合。

任意一个由A A到A的映射就成为定义在A上的代数运算。

定义设G 是一个非空集合。

如果在G 上定义了一个代数运算(二元运算) ，称为乘法，记作a b ，而且它适合以下条件，那么G, 就成为一个群：
1、乘法满足结合律
对于G中的任意元素a,b,c有(a b) c a (b c)；
2、存在单位元素e G ，对于任意a G ，满足e a a ;
3、对于任意a G，存在b G，使得b a e。

关于群的性质，我们有如下命题：
命题对于任意a G ，同样有a b e
证明对于b ，存在c G ，使得cb e，
ae a (c b) a c (b a) c e，
两端右乘b ，得到
a b e。

命题对于任意a G ，同样有a e a
证明a e a (a b) a a (b a) a e 。