高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算,

这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为

定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、

四则运算

是封闭的，即对K 内任

两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有

b K ， ab

K ，且当b 0时，a/b K ，则称

K 为一个数域。

1.1典型的数域举例：

复数域C ；实数域R ;有理数域

Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = •.

1

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素

K ，且 a 0。于是

进而

最后，

m, n Z

巴K 。这就证明了

n

K 。证毕。

1.1.3

集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为

A 与

B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩

定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则

f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定

若a a'代都有f (a)

第一章代数学的经典课题

§ 1若干准备知识

1.1.1代数系统的概念

个代数系统。

1.1.2数域的定义

定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为

A 与

B 的交集，记作A B ;把A

下的元素组成的集合成为

A 与

B 的差集，记做A B 。

的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为

B, f (a).

如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的

子集称为A 在f 下的像，记做

f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。

f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。

1.1.4 求和号与求积号

1 •求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号：

第一学期第一次课

如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。

当然也可以写成

2. 求和号的性质 . 容易证明，

a 1a 2

a n

n

a i .

i1

a 1 a 2

a n

a i

1i n

a 1a 2..

.a n

a i

1i n

n

n

a i

a i

i1

i1

n

n

n

(a i b i )

a i

b i

i1

i 1

i 1

nm

m n

a i j

a j

i 1 j 1

j1i

1

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

a 11 a 12 ........ a 1m a 21

a 22 ........ a 2m

a

n1 a

n2

.............................. a

nm

分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课

§2 一元高次代数方程的基础知识

1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题

1. 高等代数基本定理

设 K 为 数 域 。 以 K[x] 表 示 系 数 在 K 上 的 以 x 为 变 元 的 一 元 多 项 式 的 全 体 。 如

f(x) a °x n a i X n 1

……a n K[x],(a 。0)，则称 n 为 f (x)的次数，记为 deg f (x)。

定理(高等代数基本定理) C [x]的任一元素在 C 中必有零点。

命题 设f(x) a 0x n

a 1x

n 1

…… a n ,(a 0 0， n 1)是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在

上首项系数为a 。的n 1次多项式q(x)，使得

f (x) q(x)(x a) f(a)

证明 对 n 作数学归纳法。

a n a i

i1

推论x°为f(x)的零点，当且仅当(x x°)为f(x)的因式(其中deg f(x) 1)。

则 f(x) g(x)。

命题(高等代数基本定理的等价命题) 设f(x) a 0x n a 1x n 1

............ a n (a 0 0, 项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复数a i ,a 2,……,a n ，使 f (x) a o (x

1

)(x

2)……

(x

n

)

证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3,对n 作数学归纳法。 2 •高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式 a °x n a 1x n 1 a n 1x a n 0

(其中a 0,a 1,……，

a n K, a 0 0 )称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以x 成等式，则称 为方程(1 )在K 中的一个根。 定理(高等代数基本定理的另一种表述形式) 数域K 上的n( 1)次代数方程在复数域 命题n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有n 个根(可以重复)。 命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定 C 上两个n 次、m 次多项式 f (x) a 。 a ^ ……a n X n

(a n 0), g(x) b ° dx ……b m x m

(b m 0), 如果存在整整数I ,丨

m, l n ,及I 1个不同的复数 1, 2,……,,,,1，使得 n 1)为C 上的n 次多

(1)

K 带入(1)式后使它变

C 内必有一个根。

f( i ) g( i )

(i 1,2,……,l

1),

1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设 f (x) a °x n a 1x n 1

L a .，其中 a i K, a ° 设 f (x) 0的复根为

n (可能有重复)，则

所以 我们记 1

-f(x) a °

n (x i )

i 1

n

x

(x

1

)(x

n n

)x 2

)L (x n )

L 1 2L

a a °

(1)1(

a

2

a 。

n )

；

(1)2

0 i 1 i

2

i

1

n

i 2

；

a n a °

(1)n 1

2 n

.

0(

1 , 2

, ,

n

) 1

；

1(

1,

2 ,

,

n )

1 2

n ；