清华大学2021年数学科学领军人才培养计划综合测试数学试题及解答

若矩阵 X 含有元素 −1，则 −1必然在矩阵 X 的一个 2 2 子矩阵中
a11 a12
a21 a22
若 a11 = −1，则矩阵 X 共有 5 个，分别是（空白处是 0 元素）
1
1
1
1
1
1 −1
1 1 −1
1 1 −1 1
1
−1
1
1
−1
1
1 1
1 1
1 −1 1
5. 已知二元函数
f (x, y) = 4 y2 −12 y +10 + 18x2 −18x + 5 + 18x2 + 4 y2 −12xy + 6x − 4 y +1
的最小值为 a ，求 8a2 的值.
解：根据闵可夫斯基不等式
f (x, y) = (2 y − 3)2 +1 + (1− 3x)2 + (2 − 3x)2 + (3x − 2 y +1)2 + (3x)2
解：
4− 1 1 1
0 − 3 − 3 1− (4 − )2
1 4− 1
1 = 0 ，故 0 3 − 0
1 1 4− 1
0 0 3−
− 3 = 0 ，解得 −3
1 1 1 4−
11 1
4−
1 = 7 ， 2 = 3 = 4 = 3 ，故 12 + 32 + 42 = 67 .
13. 已知矩阵
1
1
1
1
1
同理可得，当 a12 = −1 或 a21 = −1或 a22 = −1 ，矩阵 X 都共有 5 个，考虑到 a11 = −1与
a22 = −1 的情况有一个矩阵重复计算，a12 = −1 与 a21 = −1有一个矩阵重复计算，因此 当矩阵 X 含有元素 −1，一共有 4 5 − 2 = 18 个. 综上所述，四阶矩阵一共有 24 +18 = 42 个. 4. 互不同构的 k 阶群的个数记为 ak ，求 a2 + a3 + a4 + a5 + a6 的值. 解： a2 = 1，2 阶群只有 2 阶循环群； a3 = 1 ，3 阶群只有 3 阶循环群； a4 = 2 ，4 阶群 分别是 Klein 四元群和 4 阶循环群；a5 = 1，5 阶群只有 5 阶循环群；a6 = 2 ，6 阶群分 别是 6 阶循环群和 3 次对称群 S3 . 因此 a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 7 .
4
2
解：f '(x) = 16 4x sin
25 2 + 2x2 − (−3cos 3x) sin
2
− sin 3x
，所以
f
'(0)
=
48 .
4
4
n−1
8. 求 lim
120
.
n→+ k =0 n2 + kn
n−1
解 lim n→+ k =0
120 = lim n−1 1
n2 + kn n n→+ k =0
an = 1；当 n 为奇数时， gn '(x) = xn−3(nx2 − (n −1)x + 2(n − 2)) ，此时 n 5 ，所以
nx2 − (n −1)x + 2(n − 2) 0 ， 故 gn '(x) = xn−3(nx2 − (n −1)x + 2(n − 2)) 0 ， 所 以
gn
解：记 F(z) = z9 + 2z5 − 8z3 + 3z +1.取 f (z) = z9 ， g(z) = 2z5 − 8z3 + 3z +1，则当 z = 2 时， g(z) 2 z 5 + 8 z 3 + 3 z +1 = 135 512 = z 9 = f (z) ，故 F(z) 在
z | z 2 内的零点数与 z9 相等，等于 9.再取 f (z) = −8z3 ，g(z) = z9 + 2z5 + 3z +1，
(
x)
在
(−,
+)
上严格单调递增，又因为
lim
x→+
g
n
(
x)
=
+
，
lim
x→−
g
n
(
x)
=
−
，且
gn (1) = 5 0 ，因此 an = 2 . 综上所述， max{a4 , a5, a6 , , a2021} = 2 .
11. 已知矩阵
t2 + 2t + 2
0
0
t
0 2t +1
t t
0 t 3t +1 t
2
1 3
=
−
2 2
2
2
2 2
2 0
2
2
0 4
2 2
2
−
2
2
，因此
2
2
2
A110
=
2
− 2
2
2
2 2
2 0
2
2
010 4
2 2
2
−
2
2 2
=
1 2
210 + 410 −210 + 410
2
−210 + 410 210 + 410
，
所以 b22 = 29 + 219 .
2
A
=
1
0 0
b11 b12
3 1 ， A10 = b21 b22
b13
b23
，求
b22
.
−1 1 3
b31 b32 b33
解：将矩阵 A 分块， = 0
0，
=
1 −1
，
A1
=
3 1
1 3
，所以
2
A =
A1
，因为
=
0
0
，所以
b22 b32
b23 b33
=
A110
.因为
3 A1 = 1
则当 z = 1 时， g(z) z 9 + 2 z 5 + 3 z +1 = 7 8 = −8z3 = f (z) ，所以 F(z) 在
z | z 1 内的零点数与 −8z3 相等，等于 3，并且 z = 1时， F(z) 0 ，所以多项式
z9 + 2z5 − 8z3 + 3z +1 在 z |1 z 2 上的零点个数为 9 − 3 = 6 .
15. 已知线性方程组
a1 + 2a2 + a3 + a4 = 0 3a1 + aa2 + 4a3 + 3a4 = 0 5a1 + 8a2 + 6a3 + ba4 = 0
的解空间维数是 2，求a + b 的值.
解：对线性方程组的系数矩阵进行初等变换
1 2 1 1 1 2
1 1 1 2 1 1
3 a 4 3 → 0 a − 6 1 0
( y2 − x)( y2 + x) = 77 ，从而 y2 − x = 7 ， y2 + x = 11，解得 x = 2 ， y = 3 ，因此
d − b = y5 − x3 = 235 .
2. 已知 x R ， f (x) = 2x4 + mx3 + (m + 6)x2 + mx + 2 0 ，求正整数 m 的最大值.
2x
4 +3x
(
2x
ln
2+3x
ln
3)
= 36 .
2 x→0+
x→0+
10. 已知 fn (x) = xn+1 − 2xn + 3xn−1 − 2xn−2 + 3x − 3 ， n N ， n 4 .记 fn (x) = 0 的实根
个数为 an ，求 max{a4 , a5, a6 , , a2021} .
→
0
−2
1
b−5
5 8 6 b 0 −2 1 b − 5 0 0 0.5a − 2 (0.5a − 3)(b − 5)
所以 0.5a − 2 = 0 且 (0.5a − 3)(b − 5) = 0 ，因此 a = 4 ， b = 5 ，[a + b] = 9 .
(2 y − 3 +1− 3x + 3x − 2 y +1)2 + (1+ 2 − 3x + 3x)2 = 10
等号成立时当且仅当 x = 5 ， y = 4 .
12
3
故 a = 10 ， 8a2 = 80 .
6. 求 + x6e−xdx . 0
解：设 In =
+ 0
x n e− x dx
120
1+ k
=
1 0
120 dx = 240 1+ x
1+
x
|
1 0
=
240(
n
2 −1) .
9.
求
lim[
1
(2x
+
3x
4
)] x
.
2 x→0+
解： lim[1 (2x
4
+ 3x )]x
=
4 ln( 2x +3x )
lim e x 2
lim 4 ln( 2x +3x )
= ex→0+ x
2
= e lim x→0+
清华大学 2021 年数学科学领军人才培养计划综合测试数学试题及解答
1. 已知 a,b, c, d 都是正整数，且 a3 = b2 , c5 = d 4 , c − a = 77 ，求 d − b .
解：由题意可设 a = x2 ， b = x3 ， c = y4 ， d = y5 ，从而 y4 − x2 = 77 ，因式分解得
t
t
t
8t +1
的行列式为 F (t) ，求 F '(0) .
解：
2t + 2 0
0
1 t2 + 2t + 2 0 0
t
0 2t +1 t F '(t) =
t +
0
0
t 3t +1 t
0
21 1 t 3t +1 t
t
t
t 8t +1
t
t t 8t +1
t2 + 2t + 2 0 0 t t2 + 2t + 2 0
解：因式分解得
fn (x) = xn+1 − 2xn + 3xn−1 − 2xn−2 + 3x − 3 = (x −1)(xn − xn−1 + 2xn−2 + 3) ，记函数
gn (x) = xn − xn−1 + 2xn−2 + 3 = xn−2 (x2 − x + 2) + 3 ，则当 n 为偶数时， gn (x) 0 ，故
0t
0 +
0
2t +1 t t
0
+
131
0
2t +1 t t t 3t +1 t
t
t t 8t +1
1
1 18
从而 F '(0) = 2 + 4 + 6 +1Hale Waihona Puke Baidu = 28.
12. 已知矩阵
4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4
的特征值为 1 2 3 4 ，求 12 + 32 + 42 .
解：x(x2 + x +1)m + 2(x4 + 3x2 +1) 0 ，当 x 0 时显然成立，当 x 0 时，分离变量
可得
m
2(x4 + −x(x2
3x2 +x
+1) +1)
，令
t
=
−x
0
，则
m
2(t 4
+ 3t2
+ 1)
=
2
t2
+
1 t2
+
3
，
t(t2 − t +1)
t +1−1
t
令 u = t + 1 2 ，从而 m 2 u2 +1 = 2(u −1+ 2 + 2) ，所以 m 4( 2 +1) ，所以正
，则
In
=
+ −xnde−x
0
=
−xne−x
|
0+ −
+ 0
−nx e n−1 −xdx
=
nI n −1
，
从而 In
=
n!I0
=
n!
+ e−xdx
0
= n!，故 I6
=
6! =
720 .
25 2 +2 x2
7.
已知
f
(x) = 16
sin 4
2 +cos(3x+ )
tdt ，求 f '(0) .
t
u −1
u −1
整数 m 的最大值为 9.
3. 已知矩阵 X 满足条件：①元素都属于集合{0,1, −1}；②每行每列不全为 0 ；③去掉 0 元
素后每行每列都为1, −1, , −1,1.三阶这样的矩阵 X 共有 7 个，问四阶这样的矩阵 X 共
有几个？
解：若矩阵 X 不含元素 −1，则每一行每一列都仅含有一个元素1，矩阵 X 共 4！=24 个；
14. 已知下列结论成立：在复平面上的多项式 f (z) ，g(z) 和实数 r 0 ，若对 z = r ，都有
g(z) f (z) ，则在 z | z r 中， f (z) 与 f (z) + g(z) 的零点数相等（计算重数）.
现已知多项式 z9 + 2z5 − 8z3 + 3z +1 ，求其在 z |1 z 2 上的零点个数（计算重数）.