轴上物体成像与非球面镜片

当轴外物点以细光束成像，经透镜折射后形成相互正 交的两条焦线，这种现象称为像散像差
由于像散， A点的子午光束所成的像AT′为垂直于子午面的短线，称为子午焦线；弧矢光束 的像AS′也是一短线，位于子午面内，称为弧矢焦线。两焦线之间的间隔称为像散差。（像 散差也可以用屈光度来度量） 在子午焦线(AT′)和(AS′)弧矢焦线之间可以找到一个光束截面为圆形的光斑，称为最小弥 散斑，在一定条件下可认为是A点的像，其它截面均为椭圆。
基础知识回顾

半角的正弦、余弦和正切公式

2 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin 1 cos sin 1 cos
2 sin 2 2 cos2 tg

2

i1 i1'

光的折射定律（Snell定律）
n1 n2 i2
2 2

2
公式2
在ΔQ’MC中，由余弦定理知
p ' 2 ( s 'r ) 2 r 2 2r ( s 'r ) cos s ' 2 2rs ' r 2 r 2 2r ( s 'r ) cos s ' 2 2r (r s ' ) 2r ( s 'r ) cos s ' 2 2r (r s ' )(1 cos ) s ' 2 4r ( s 'r ) sin 2
轴上物体成像与非球面镜片
蔡祥有

透镜可看成是无数个棱镜组合而成
凸透镜由许多底对 底的三棱镜组成
凹透镜由许多顶对顶 的三棱镜组成
当一束平行单色光沿透镜光轴入射时，近轴光线和远轴光线的焦点不 同
透镜与光线传播

正弦定理
a b c sin sin sin

余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 c 2 a 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos
面弯的选择
下表是用不同面弯的镜片加工出来的实际效果数据
光度
Lens Power +4.00D +4.00D +4.00D -4.00D -4.00D -4.00D
面弯
Front Curve 9 7 5 4 2 0.5
重量
Weight (grams) 20.6g 18.8g 17.9g 24.0g 23.2g 22.9g
色差
位置色差 放大率色差 球差 彗形像差
像差
单色光像差
像散像差 像面弯曲 畸变
像差的分类

白光由不同颜色的单色光组成，任何介质对不同波长的光线具有不同的折射率。根据折射率 公式可知，若i1≠0，则i2不相同。白色经三棱镜折射后分解成一系列色光的现象称为光的 色散。

由于色散现象，使我们通过光学系统视物时，可看到像的边缘带有一定的颜色，我们 称之为色差。 组成白光的无数条不同颜色的单色光，经光学系统后都有自己的像和像差。
放大率色差
当透镜的包容面由球面构成时，球面的特点会造成边缘的三棱镜与中心部分的三棱镜顶角不 相同，致使镜片边缘的偏折角大于中心部的偏折角。
如图，当轴上点A以宽光束成像时，边缘光线形成的像点与近轴光线形成的像点不在同一点 上，这种现象称为球差 如果在A1′点设置一屏幕的话，我们在屏幕上将见到一亮斑
球差
ν
Dd —透镜对黄光所表现的屈光度 h — 入射点距透镜光心的距离 ν —透镜材料的阿贝数
h1
PC镜片不宜 超过5.50D
实验表明，当△P＞0.12时，人眼能感觉到放大单色差 若眼镜镜片材料为高折材料或PC，ν=31，则：Dd· h≤0.12ν=3.72△ 一般情况下，中心视野30°，视线变动角度θ＝15°，对于高折或PC：
n1 sin i1 n2 sin i2
基础知识回顾

光线从折射率为n的介质中的Q点发出，与折射率为n’的球面透镜交 于入射点M点，与光轴QC汇聚于Q’点，C为折射球面的球心，O为折 射球面与光轴的交点。各长度/角度如图左所示
轴上物体成像
由折射率公式知：
n sin i n' sin i'
Spheri ca l Base Curve
Spheri ca l Base Curve
不同面弯的效果比较


球面镜、透镜的成像只有在近轴区成像才完善的，但是这样的球面镜和透镜（光学系统）是 没有实际意义的 所以，有实用意义的球面镜和透镜（光学系统）对物体的成像都会带来一系列的误差，我们 称之为像差 各类光学系统都有像差，而且总不可能完全消除，但是人眼和其它接收器也具有一定缺陷， 只要像差的数值小于一定的限度，人眼还是觉察不出的。 近轴区成像是完善的，可认为是理想像的位置和形状，因此，像差就是实际像的位置和形状 与近轴区像的位置和形状的偏差
常见非球面镜片
s2 s' 2 s2 s' 2 2 4 sin 2 n 2 ( s r ) 2 n' 2 ( s'r ) 2 n 2 ( s r ) 2 n' 2 ( s'r ) 2
若s’不变（成像在视网膜 上），当r减小（面弯加 大），则φ必然增大（视 野更开阔，视觉效果更 好）。所以我们不能完全 采用小面弯生产镜片，尽 管小面弯镜片可以更薄。
置一屏，则像点有红的色边，若在AC’置一屏，则像点有蓝的色边。即便是在透镜 的近轴区成像也是如此。
眼睛的屈光度为58.64D，阿贝数设约56.4，眼睛的位置色差为
ν
56.4
这说明，红、蓝光在视网膜上结成的焦点度数相差约1D，我们运用红、蓝片进行屈光检 查，就是依据这种现象
位置色差
透镜成像由于位置色差，不同颜色的像点位置不同， 像的大小也不相同。因此不同色光有不同的放大率， 对轴外点，像会有颜色，我们称为放大率色差 单块透镜的放大率色差△P，可用下式计算

轴上点产生：位置色差或纵向色差 轴外点产生：放大率色差或横向色差
n1 sin i1 n2 sin i2
色差
一束平行于主轴的近轴白光经薄透镜折射后，由于色散红光会聚于FC’，蓝光会聚于FF’，
它们的焦距之差可表明位置色差。
位置色差
设 则 若以屈光度之差表示色差，则： 上两式表明，位置色差与材料的阿贝数成正反比 位置色差的存在使轴上点物A经透镜成像后，红光会聚于AC’，蓝光会聚于AF’。若在AF’
在ΔQMC中，由正弦定理知：
p sr r sin sin i sin u
在ΔQ’MC中，由正弦定理知：
p' r s'r sin sin u ' sin i '
由前面3个公式得：
p sin sin p' 公式1 n( s r ) n sin i n' sin i ' n' ( s'r )

2
公式3
轴上物体成像
由公式1两边平方得：
p2 p' 2 2 2 2 n (s r ) n' ( s'r ) 2
将公式2、3代入上式得：
s 2 4r ( s r ) sin 2 n (s r )
2 2

2
s '2 4r ( s ' r ) sin 2 n' ( s ' r )
从上式可知,s’是s，r，n，n’，φ的函数，即：
s' f (s, r, n, n' , )
数学模型
在一个已知的系统中，s、r、n、n’是已知的，所以在8中可以看出，折射光 线与光轴的焦点到球面镜片与光轴的焦点距离s’随φ的变化而变化。即
f ( ) s'
当我们在看一个固定的物体时， 要达到理想的清晰效果，就需要 从物体表面反射的光线（或物体 发出的光线）全部成像在视网膜 上，即需要s’一定。但由于s’会 随镜片折射率n’、物距s、曲率 半径r、所处环境折射率n及角度 φ的变化而变化，即必须对镜片 的表面非球处理。
30度侧视效果
Prescription 30ºOff-axis 3.90 -0.08 4.31 -0.36 4.90 -0.79 -3.90 -0.09 -4.01 -0.36 -4.12 -0.64
不同面弯的比较数据
9.00 Front
7.00 Front
5.00 Frห้องสมุดไป่ตู้nt
Spheri ca l Base Curve
轴上物体成像
在ΔQMC中，由余弦定理知：
p 2 ( s r ) 2 r 2 2r ( s r ) cos s 2 2rs r 2 r 2 2r ( s r )con s 2 2r ( s r ) 2r ( s r ) cos s 2 2r ( s r )(1 cos ) s 4r ( s r ) sin
非球面镜片的必然性
带散光的镜片原理
当镜片材料，所处环境，偏离角度及物距确定时
s' f (s, r, n, n' , )
s ' f (r )
非球面镜片原理
当镜片材料，所处环境及物距确定时
s ' f (r , )
渐进片原理
当镜片材料，所处环境确定，距离不确定时
s' f (s, r, )
像面弯曲
物体所成的像与原物形状不相似，我们称之为畸变 如果各像点位置较理想像更靠近主轴，则称为正畸变或桶形畸变。反之为负畸变或枕形畸变
眼通过眼镜片视物，若是正镜片像为负畸变（或枕形畸变），负镜片像为正畸变（或桶形畸
变）
畸变
盘高
Plate Height 13.4mm 10.2mm 7.3mm 12.8mm 9.7mm 7.7mm
边缘厚度
Edge Thick. 1.0mm 1.0mm 1.0mm 7.8mm 7.3mm 7.1mm
中心厚度
Center Thick. 6.7mm 6.2mm 6.0mm 2.0mm 2.0mm 2.0mm
2 2

2
s2 s' 2 s2 s' 2 2 2 4 sin 2 2 公式4 2 2 2 2 2 n (s r ) n (s r ) n' ( s'r ) n' ( s'r ) 2
化解变形得：
轴上物体成像
s2 s' 2 s2 s' 2 2 4 sin 2 n 2 ( s r ) 2 n' 2 ( s'r ) 2 n 2 ( s r ) 2 n' 2 ( s'r ) 2
与球差形成的原理相似，轴外物点A以宽光束成像时，也不能成像于副轴上的一点，这 种现象称为彗形像差 若在A1′点置一屏，则A点的像呈彗星状
研究发现单块透镜成像，当球差最小时，彗差也最小。彗差与物点离开主轴的距离成比例 增加，随镜径的平方而增加。
彗形像差
我们知道，同心光束经球柱透镜以后将成为像散光束。 球面透镜成像时也存在像散现象，尽管产生的原因与 球柱透镜情况不同
像散像差
物体AB经透镜成像，轴外点B到透镜光心O的距离比轴上物点A到透镜光心O的距离远，所以 像点B′比像点A′距透镜光心O的距离略近。因此，平面物体经透镜后所成的像是弯曲的，这 种现象称为像面弯曲或视场弯曲
研究发现，当无其它像差存在时，像面的弯曲与透镜的曲率半径、透镜的折射率及周围介质 的折射率有关。 由于像面是弯曲的，所以平面物体成像时，视场中心的像是清晰的，视场边缘就逐渐模糊