数学物理方程学习指导书第5章行波法与积分变换法

第5章 行波法与积分变换法
在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用.
5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式
我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式.
对于一维波动方程
22
222,u u a t x
∂∂=∂∂ （5.1） 我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）：
,
.
x at x at ξη=+⎧⎨
=-⎩ (5.2) 利用复合函数微分法则得
,u u u u u x x x ξηξηξη
∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 22u u u u u x x x
ξη
ξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 22222
2,u u u ξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ (5.3) 同理有
22
2222222,u u u u a t ξξηη⎡⎤∂∂∂∂=-+⎢⎥∂∂∂∂∂⎣
⎦ (5.4) 将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得
20.u
ξη
∂=∂∂ (5.5)
将(5.5)式对η积分得
(),u
f ξξ
∂=∂ (()f ξ是ξ的任意可微函数） 再将此式对ξ积分得
212(,)()()
()(),
u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ (5.6)
其中12,f f 都是任意二次连续可微函数.(5.6)式就是方程(5.1)的通解.
在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f 和2f 的具体形式.为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长弦的自由横振动.设弦的初始状态为已知，即已知定解条件
00
(),().t t u x u
x t
ϕψ==⎧=⎪
⎨∂=⎪∂⎩ （5.7） 将(5.7)中的函数代入(5.6)中，得
1212()()(),(5.8)()()().
(5.9)
f x f x x af x af x x ϕψ+=⎧⎪⎨
''-=⎪⎩
在(5.9)两端对x 积分一次，得
1201()()().(5.10)x
f x f x d C a
ψξξ-=
+⎰
由(5.8)与(5.10)解出12(),()f x f x ，得
1011()()(),222x C
f x x d a ϕψξξ=++⎰ 2011()()().222
x C f x x d a ϕψξξ=--⎰
把这里确定出来的1()f x 和2()f x 代回到(5.6)中，即得方程(5.1)在条件(5.7)下的解为
[]11(,)()()().22x at x at u x t x at x at d a
ϕϕψξξ+-=
++-+⎰ （5.11） (5.11)式称为无限长弦自由振动的达郎倍尔（ D ’Alembert ）公式.
现在我们来说明达朗倍尔公式的物理意义.由于达朗倍尔公式是由（5.6）式得来的，所以我们只须说明(5.6)式的物理意义.
首先，考虑22()u f x at =-的物理意义.我们来说明这样的函数是代表一个沿x 轴正方
向传播的行波.为了讲清这一点，我们不妨考虑一个特例，假定2()f x 的图形如图5-1(a)所示.则在0t =时，22()u f x =；在12
t =
时，22()2a
u f x =-，其图形如图5-1(b)所示；在1
t =时，22()u f x a =-，其图形如图5-1(c)所示；在2t =时，22(2)u f x a =-，其图形如图5-1(d)所示.这些图形说明，随着时间t 的推移，22()u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正方向移动.所以22()u f x at =-表示一个以速度a 沿x 轴正方向传播的行波.同样道理，
11()u f x at =+就表示一个以速度a 沿x 轴负方向传播的行波.达朗倍尔公式表明，弦上的
任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数
a ，基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法.
从达朗倍尔公式(5.11)还可以看出，解在(,)x t 点的数值仅依赖于x 轴上区间[]
,x at x at -+内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关.区间[]
,x at x at -+称为点(),x t 的依赖
区间.它是由过(,)x t 点的两条斜率分别为1
a
±的直线在x 轴所截得的区间（图5-2（a ））.
对初始轴0t =上的一个区间12[,]x x ，过1x 作斜率为
1a
的直线1x x at =+，过2x 作斜率为1
a
-
的直线2x x at =-，它们和区12[,]x x 一起构成一个三角形区域（图5-2（b ）），此三角形区域中任一点(),x t 的依赖区间都落在区间12[,]x x 的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间12[,]x x 上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称
为区间[x 1,x 2]的决定区域.在区间12[,]x x 上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定始值问题的解.
图 5-2
从上面的讨论中，我们可以看到在(),x t 平面上斜率为1
a
±
的直线0x x at =±对波动方程的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程的特征线，波动实际上是沿特征线方向传播的，有些书上又将行波法称为特征线法.
5.2 三维波动方程的泊松公式
上节我们已经讨论了一维波动方程的始值问题，获得了达朗倍尔公式.只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电磁场时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题.即求解下列定解问题
22
2222222001
0,,,;
(5.12)(,,),(5.13)(,,).
(5.14)
t t u u
u u a x y z t
x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪
=⎨⎪
∂⎪=⎪∂⎩
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用5.1中所得的通解公式.下面先考虑一个特例.
5.2.1 球对称三维波动方程的通解
如果将波函数u 用空间球坐标(,,)r θϕ来表示，所谓球对称就是指u 与,θϕ都无关，在球坐标系中，波动方程（5.12）为
22222222221111sin .sin sin u u u u
r r r r r r a t θθθθθφ∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
当u 不依赖于,θϕ时，这个方程可简化为
222
2211,u u
r r r r a t
∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭ 或 222222
.u u r u
r r r a t ∂∂∂+=∂∂∂ 但 2222
()
2
,u u ru r r r r ∂∂∂+=∂∂∂
所以最后得到方程
22222
()1()
.ru ru r a r ∂∂=∂∂ 这是关于ru 的一维波动方程，其通解为
12()()ru f r at f r at =++-,
或 12()()
(,).f r at f r at u r t r
++-=
从5.1中所述的关于通解公式(5.6)的物理意义可知，函数(,)u r t 是一个以速度a 沿球的半径
r 增加的方向向外传播的波与一个以同样速度自外沿r 减小的方向向内传播的波的叠加，而且这两个波都是沿着球面r =常数传播的.
5.2.2 三维波动方程的泊松公式
现在我们来考虑一般的情况，即要求问题(5.12)，(5.13)，(5.14)的解，从上面对球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数(,)ru r t 满足一维波动方程，可以求出通解，那末在不是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？由于在球对称时波函数u 只是r 与t 的函数，在非球对称是u 不能写成r 与t 的函数，而是,,,x y z t 的函数，所以对非球对称情况，ru 不可能满足一维波动方程，但是，如果我们不去考虑波函数u 本身，而是考虑u 在半径为r 的球面上的平均值，则这个平均值就只与r ，
t 有关了.这就启发我们先引入一个函数(,)u r t ，它是函数(),,,u x y z t 在以点(,,)
M x y z 为中心、以r 为半径球面M
r S 上的平均值，即
21(,)4M r S
u r t udS r π=
⎰⎰
1
1,4M S
ud ωπ
=
⎰⎰ （5.15）
其中1M
S 是以M 为中心的单位球面，d ω是单位球面上的面积元素，在球面坐标系中
sin ,d d d ωθθϕ=且2.dS r d ω=
从(5.15)及(,,,)u x y z t 的连续性可知，当0r →时0
lim (,)(,),r u r t u M t →=此处(,)u M t )
表示函数u 在M 点及时刻t 的值，将0
lim (,)r u r t →记为(0,),u t 则有
(0,)(,).u t u M t =
下面来推导(,)u r t 所满足的微分方程，对方程(5.12)的两端在M
r S 所围成的体积M
r V 内积分，
并应用奥-高公式可得
22222
2222M M r
r
V v u u u u dV a dV t x y z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2
M r
v u u u a dV x x y y z z ⎡⎤
⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰
1
2
22M M
r
S S u
a
dS a r d n ω∂==∂⎰⎰⎰⎰ 1
1
22
22,M M
S S u a r
d a r ud n ωω∂==∂⎰⎰⎰⎰ (5.16) 其中n 是1M
S 的外法同矢量.
(5.16)式左端的积分也采用球面坐标并交换微分运算和积分运算的次序，得
22
22
222M
M
M
r
r
r
V V V u dV udV ur d dr t t t ω∂∂∂==∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1
22
2
.M r
S d ur dr t
ω∂=∂⎰⎰⎰
代回(5.16)中得
1
2
222
2
4.M r
S u
d ur dr a r t r
ωπ∂∂=∂∂⎰⎰⎰
在此式两端对r 微分一次，并利用变量上限定积分对上限求导数的规则，得
1
222
22
4,M S u ur dr a
r t r r π∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭
⎰⎰ 或 22222.u a u r t r r r ∂∂∂⎛⎫
= ⎪∂∂∂⎝⎭ 但 222211()
,u ru r r r r r r ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭
故得
22
222()().ru ru a t r
∂∂=∂∂ 这是一个关于ru 的一维波动方程，它的通解为
12(,)()(),ru r t f r at f r at =++- （5.17）
其中12,f f 是两个二次连续可微的任意函数.
下面的任务是由(5.17)确定原定解问题的解(,)u M t . 首先，在(5.17)中令0r =，得
12()()0,f at f at +-=
即 21()().f at f at -=- 等式两端微分一次得
1''2()().f at f at -= （5.18）
其次，在(5.17)两端对,r t 求偏导数：
'12()()(),u ru u r f r at f r at r r ∂∂'=+=++-∂∂ （5.19） ''12()()().ru af r at af r at t
∂
=+--∂ （5.20） (5.19)式乘以a 后再与(5.20)式相加，得
'1()()2().a
ru ru af r at r t
∂∂
+=+∂∂ 令0t =，则有
'10
12()()()t f r ru ru r a t =∂∂⎡⎤=+⎢⎥
∂∂⎣⎦
2
2
00
1
144M
M
r r t t S S u
ru dS r
dS r r ar t ππ==∂∂=
+
∂∂⎰⎰⎰⎰ 0
1
11
44M
M r r
S S dS dS r
r a r
ϕϕππ∂=
+
∂⎰⎰
⎰⎰
当r at =时，得
'0
1
111
2(),44M
M
r r
S S f at dS dS a t
r
a r ϕϕππ∂
=
+
∂⎰⎰
⎰⎰
但由(5.19)式令0r =，得
''12(0,)()(),u t f at f at =+-
利用(5.18)得
1(0,)2(),u t f at '=
即 '
1(,)2().u M t f at =
综合上述，得到问题（5.12），(5.13)，(5.14) 的解为
1
1
1
(,),44M M at
at
S S u M t dS dS a t
r
a r
ϕϕππ∂=
+
∂⎰⎰
⎰⎰ （5.21）
(5.21)式称为三维波动方程的泊松方式.其中函数01,ϕϕ中的变量应为
sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r θφθφθ+++此处为了书写简章，没有把这些变量写出来，
请读者注意.
5.2.3 泊松公式的物理意义
下面我们来说明解(5.21)的物理意义.
从(3.21)式可以看出，为求出定解问题(3.12)，(3.13)，(3.14)的解在(x,y,z,t)处的值，只需要以M(x,y,z)为球心、以at 为半径作为球面M
at S ，然后将初始扰动10,ϕϕ代入(3.21)式进行积分，因为积分只在球面上进行，所以只有与M 相距为at 的点上的初始扰动能够影响u(x,y,z,t)的值.由于球面M
at S 上的点到球心M 的距离为at ，t 表示时间，这就表明扰动是以速度a 传播的，为了明确起见，设初始扰动只限于区域T 0，任取一点M ，它与T 0的最小距离为d ，最大距离为D （图3-3），由泊松
公式(3.21)可知，当d at ，即a
d
t
时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“前锋”还未到达；当D at d ，即a
D
t a d 时，u(x,y,z,t)≠0，这表明扰动已
经到达；当D at ，即a
D
t 时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“阵尾”已经过去了.由于在
点),,(ζηξ初始扰动是向各方面传播的，在时间t 它的影响是在以),,(ζηξ为中心、at 为半径的一个球面上，因此解(5.21)称为球面波.
从(5.21)我们也可以得到二维波动方程始值问题的解.事实上如果u 与z 无关，则z
u
∂∂=0，这时三维波动方程的始值问题就变成二维波动方程的始值问题：
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∞-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂==).
,(),
,(;0,,1
0002222
222y x t u y x u t y x y u x u a t u t t ϕϕ 、 （5.22） 要想从泊松公式(3.21)得到问题(3.22)解的表达式，就应将(3.21)中两个沿球面M
at S 的积分转
化成沿圆域2
22)()()(:at y x C M at ≤-+-ηξ内的积分，下面以
⎰⎰M at
s dS r
a 141
ϕπ为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分：
,4141411
2
111⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=M at
s s s dS r
a dS r a dS r a ϕπϕπϕπ （5.23） 其中S 1，S 2分别表示球面M
at S 的上半球面与下半球面，在上半球面S 1上外法向矢量的方向余弦,)
()1(cos 2
2
2
2y t a at
----=
ηξγ在下半球面S 2上外法向矢量的方向余弦
,)
()(cos 2
222y x t a at
-----
=ηξγ
其中γ为法矢量与z 轴正向的夹角.将(3.23)右端两个曲面积分化成重积分得
⎰⎰M
at
s dS a γϕπ141
.)
()(),(21
)()(),(41)
()(),(41222212222122221⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡---------=
M at M
at M at C C C d d y x t a a d d y x t a at
at a d d y x t a at
at a ηξηξηξϕπηξηξηξϕπηξηξηξϕπ 同理有
⎰⎰M at
s dS a γ
ϕπ041
.)()(),(21
22220⎰⎰----=
M at
C d d y x t a a ηξηξηξϕπ 将这两个等式代入(3.21)，即得问题(3.22)的解为
⎪⎩⎪⎨⎧----∂∂
=⎰⎰M at
C d d y x t a t a t y x u ηξηξηξϕπ222
20)()(),(21),,( .)()()
,(22221⎪⎭
⎪
⎬⎫----+⎰⎰
M
at
C d d y x t a ηξηξηξϕ （5.24）
从(5.24)可以看出，要计算这个解在 (x,y,t)处的值，只要以M(x,y)为中心、以at 为半径作圆域M
at C ，然后将初始扰动代入（5.24）进行积分，为清楚起见，设初始扰动仍限于区域T 0（参考图5-3）
，当时，(,,)0;,(,,)0;d D u x y t t u x y t a a =<<≠当D t a
<时，由于圆域M
at C 包含了区域T 0，所以),,(t y x u 仍不为零，这种现象称为有后效.这一点与球面波不同，球面
波是无后效的，即波传播过去了就不留痕迹.
平面上以点),(ηξ为中心的圆周的方程2
2
2
)()(r y x =-+-ηξ在空间坐标系内表示母线平行于z 轴的直圆柱面，所以在过),(ηξ点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动，在时间t 后的影响是在以该直线为轴、at 为半径的圆柱面内，因此解(5.24)称为柱面波.
5.3 积分变换法举例
我们都知道，傅氏变换与拉氏变换可以用来解常微分方程，通过取积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的目的.基于这一事实，我们自然会想到积分变换也能用于解偏微分方程，在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程.如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程.下面通过例题来说明用积分变换法解定解问题的一般步骤. 例1 无界杆上的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为(,).F x t 的热源，杆的初始温度为()x ϕ，试求
0t >时杆上温度的分布规律.
解 这个问题可归结为求解下列定解问题
2
220
(,),,0;(5.25)().(5.26)
t u u a f x t x t t x u x ϕ=⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎨
⎪=⎩
其中).,(1
),(t x F c
t x f ρ=
由于方程(3.25)是非齐次的，且求解的区域又是无界的，因此用分离变量法来解将导致比较复杂的运算.现在我们用傅氏变换来解.用记号),(),,(t G t U ωω分别表示函数
),(),,(t x f t x u 关于变量x 的傅氏变换，即
.
),(),(,
),(),(dx e
t x f t G dx e t x u t U x
j x j ωωωω-∞
∞
-∞
∞--⎰⎰==
对方程(5.25)的两端取关于x 的傅氏变换，根据傅氏变换的微分性质，得到
22(,)
(,)(,).(5.27)dU t a U t G t dt
ωωωω=-+
这是一个含参量ω的常微分方程，为了导出方程(5.27)的定解条件，对条件(5.26)式的两端也取傅氏变换，并且以()ϕω表示的傅氏变换，得
0(,)().
(5.28)t U t ωϕω==
方程(5.27)是一阶线性常微分方程，它满足初始条件(5.28)的解为
2222()
(,)()(,).a t t
a t
U t e
G e
d ωτωωϕωωττ---=+⎰ （5.29）
为了求出原定解问题(5.25)，(5.26)的解),,(t x u 还需要对),(U t ω取傅氏逆变换，由傅氏变换表可查得
[
]
.21222
241t
a x t a e
t
a e F -
--=
πω
再根据傅氏变换的卷积性质得
)],([),(1t U F t x u ω-=
.)
,(21
)(21)
(4)(0
4)(2222ξτ
τξτπ
ξξϕπτξξd e t f d a d e
t a
t a x t t
a x ---
∞
∞
---
∞
∞
-⎰
⎰⎰
-+
=
（5.30）
这样就得到原定解问题的解.
通过这个例子可以看出，用积分变换法解定解问题的过程大体为：
一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换.然后对方程的两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.
二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件.
三、解所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式（即象函数）. 四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的解.
例2 一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为0℃，求杆上温度的分布规律.
解 这个问题可归结为求解下列定解问题
2
2200,0,0;(5.31)0;(5.32)().
(5.33)
t x u u a x t t x u u f t ==⎧∂∂=>>⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
这个问题显然不能用傅氏变换来解了，因为x,t 的变化范围都是（0,∞+）.下面我们用拉氏变换来解.从x,t 的变化范围来看，对x 与t 都能取拉氏变换，但由于在x=0处未给出
x
u
∂∂的值，故不能对x 取拉氏变换，面对t 来说，由于方程(5.31)中只出现关于t 的一阶偏导数，只要知道当t=0时u 的值就够了，这个值已由(5.32)给出，故我们采用关于t 的拉氏变换.
用U(x,p)，F(p)分别表示函数u(x,t),f(t)关于t 的拉氏变换，即
.
)()(,
),(),(0
dt e
t f p F dt e t x u p x U pt
pt -∞
∞
-⎰⎰==
首先，对方程(5.31)的两端取拉氏变换，并利用条件(5.32)则得到新方程
222(,)(,)0.
(5.34)d U x p p
U x p dx a
-=
再对条件(5.33)取同样变换，得
0(,)().
(5.35)x U x p F p ==
方程(5.34)是关于U(x,p)的线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为
，
12(,)U x p C e
C =+ （5.36） 由于当+∞→x 时，u(x,t)应该有界，所以U(x,p)也应该有界，故C 2=0.再由条件(5.35)得
C 1=F(p)，从而得
.)(),(x a
p e
P F p x U -
=
为了求得原定解问题的解u(x,t),需要对U(x,p)求拉氏逆变换，由拉氏变换表查得
.21
212⎰
∞---=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡t
a x
dy
y p
a
x e
e p
L π
再根据拉氏变换的微分性质可得
22
2
1
1432
1.
2y dy
x a t L e L p e p
d dt x
e --∞-⎡⎡
=⋅⎢⎢⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=⎥⎦
=
最后由拉氏变换的卷积性质得
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=--p
a
x e p F L t x u )(),(1 .)(1
)
(2)
(40
2
3
2
2
τττπ
τd e t f a x t a x t
-⎰
-=
(5.37)
这便是所要求的解.
通过上面两个例子我们对用积分变换法解定解问题的步骤已有所了解，掌握这些步骤并不困难，对初学者来说，使用这个方法时主要困难在于：
（1）如何选取恰当的积分变换，对这个问题应从两方面来考虑，首先要注意自变量的变化范围，傅氏变换要求作变换的自变量在),(+∞-∞内变化*）
，拉氏变换要求作变换的自变量在),0(+∞内变化**）
.其次要注意定解条件的形式，根据拉氏变换的微分性质
*）
如果采用正弦或余弦傅氏变换，自变量的变化范围就是（0)∞+.关于用正弦或余弦傅氏变换解数
学物理方程，读者可参阅C.J.特兰台尔尔著《数学物理中的积分变换》（潘德惠译，高等教育出版社出版）第三章.
**）还有一种双边的拉氏变换，它的积分区是
),(+∞-∞.本书所讲的拉氏变换都限于单边的.
),
0()0()
0()]([)]([)
1('2
1)(-------=n n n n n f
f p
f p t f L p t f L
可以看出，要对某自变量取拉氏变换，必须在定解条件中给出当该自变量等于零时的函数值及有关导数值.
（2）定解条件中哪些需要取变换，哪些不需要取变换.这个问题容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件.
（3）如何顺利地求出逆变换，解决这个问题主要是依靠积分变换表（见附录B ），以及运用积分变换的有关性质，有时还要用到计算反演积分的留数定理.
例3 设有一长为l 的均匀杆，其一端固定，另一端由静止状态开始受力F=Asin t ω的作用，力F 的方向和杆的轴线一致，求杆作纵振动的规律. 解 由习题三中第3题可知，杆作纵振动的方程与弦作横振动的方程完全相同，因此这个问题可归结为如下的定解问题
22222
0,0,0;(5.38)
0,0;(5.39)0,sin ,
(5.40)
t t x x l u
u a x l t t x u u t u A u t x E ω====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩
其中E 为杨氏模量.
下面用积分变换法求这个定解问题的解.由于x 的变化范围是0x l <<，所以只能取关于t 的拉氏变换，以(,)U x p 表示函数(,)u x t 关于t 的拉氏变换，在方程(5.38)两端取变换得
22
22
(,)(,).d U x p a p U x p dx
= （5.41） 在推导方程(5.41)时还未用到条件(5.40)，为了导出方程(5.41)的定解条件，对条件(5.40)取相应的变换，得
22
(,)(,)0,
x x l dU x p A U x p dx
E p ω
ω====
+ （5.42）
方程(5.41)满足条件(5.42)的解为
22(,),()p Aa sh
x a
U x p p
Ep p ch l
a
ωω=
+ (5.43)
求(5.43)的逆变换，即得原定解问题的解
122(,),()p Aa sh x a U x t L p
Ep p ch l a ωω-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
+⎣
⎦
22Re ,()i pt p p i p Aa sh x a s e p Ep p ch l a ωω=⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
+⎣⎦
∑
i p 是(,)U x p 的极点，Re [
]i
p p s =表示方括号内函数在i p 处的留数，由于(,)U x p 的极点
是使
22()0p
p p ch
l a
ω+= 的点，这些点是
1
0,,,(),(1,2,3,).2
a p j j k k l ωπ=±±-=
所以
1(,)sin sin cos
Aa u x t t x E
a
l
a
ω
ωω
ω=
2
122222
1
(21)(21)sin
sin 1622(1),(21)[4(21)]k k k k a x t
a Al l l E k l a k ππ
ωπωπ∞
-=--+----∑ (5.44) 这就是所要求的解.
这个定解问题当然也可以用分离变量法来解，如果用分离变量法解，需要先将边界条件化成齐次的，但是用积分变换法来解不必先做这一步工作.即使是在最复杂的情况——方程及边界条件都是非齐次的，也可直接使用积分变换法，这是积分变换法的一个优点.
习题五
1、求方程
22u
x y x y
∂=∂∂ 满足边界条件
201,cos y x u x u y ====
的解.
2、求解下列定解解问题
222200
sin ;
0,
sin .t t u u
t x x t
u u x t ==⎧∂∂⎪=+∂∂⎪⎪
=⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩ [提示：先求
22222,;0,
sin .t t W
W a t x t
W W x t ττττ==⎧∂∂⎪=>∂∂⎪⎪
=⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩
的解(,;).W x t τ然后证明
(,)(,;)t
u x t W x t d ττ=⎰
是原问题的解.]
3、证明傅氏变换的卷积定理
11212[()()]()*(),F F F f t f t ωω-=
其中 11
1122()[()],()][()],f t F F f t F F ωω--==
1212()*()()().f t f t f f t d ξξξ∞-∞
=-⎰
4
、证明22
2
21
4[].x a t
a t
F e
ω-
--=
5、用积分变换法解下列问题
2001,0,0;1,
1.x y u
x y t y u y u ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪
=+⎨⎪
=⎪⎪⎩
6、求上半平面内静电场的电位，即解下列定解问题
222
00,0;(),lim 0.y x y u y u f x u =+→∞
⎧∇=>⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎩
7、用积分变换法解下列定解问题
t 2220010
,0,0;;
0,.x l x u
u a x l t t
x u u u u u x ===⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪
=⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩ 8、用积分变换法求解下列定解问题
t 222200
,,0;
(),
().t u u
x t t
x u x u x x ϕψ==⎧∂∂⎪=-∞<<+∞>∂∂⎪⎪
=⎨⎪
∂⎪=⎪∂⎩。