必修5解三角形知识点和练习题(含答案).docx

）
A．5
B．6
C
．7
D．8
π
1
5．在△ABC中，C－A＝2，sin B＝3.
(1)求sin A的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．
6．在△ABC中，若( a b c)(a b c)
3ac，且tan A tan C 3
3，AB边上
的高为4 3，求角A, B, C的大小与边
a, b, c的长
.
.
.
∠DAC
6－2
3－3
20
10
324
2－68
6
73
km.
16．a+c=2b
17
。1
18
．x
y
z
2
19．解：（Ⅰ）由cosB
3,得sin B
1 (3)2
7,
4
4
4
2
a
及正弦定理得
2
B
sin Asin C.
由b = c
sin
于是1
1
cos A
cosC
sin C cos A cosC sin A
sin( A
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
9、钝角ABC的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x的取
值围是：
10.已知a、b、c分别是ABC的三个角A、B、C所对的边
（1）若ABC面积SABC
3,c 2, A 60 ,求a、b的值；
2
（2）若a c cosB，且b
.
高二数学期末复习专题——解三角形
复习要点
1．正弦定理:
a
b
c
或变形：a : b : c
sin A :sin B :sin C .
sin
A
sin B
2 R
sin C
cos A
b2
c2
a2
a2
b2
c2
2bc cos A
2bc
2．余弦定理：
b2
a2
c2
2ac cos B
或cos B
a2
c2
b2
.
c2
b2
c2
2ac
5
4
9,
a
c
3
．解：
m∥n，∴
A＋C
B
－
B＝
2－
22
(1)
∵
2sin(
)(2cos
2
1)
3cos2
0.
又∵A＋
C＝π－B，∴
B
B＝
B，即
sin2
B＝
B
2sin cos
3cos2
3cos2 .
π
∴tan2 B＝3，又∵△ABC是锐角三角形，∴0<B<2，
ππ
∴0<2B<π，∴2B＝3，故B＝6.
3。45°4。C
π
π
π
5解：(1)由C－A＝2和A＋B＋C＝π，得2A＝2－B, 0<A<4.
213
故cos2A＝sin B，即1－2sin A＝3，sin A＝3.
.
.
6BCACsin A
(2)由(1)得cosA＝3.又由正弦定理，得sin A＝sin B，BC＝sin B·AC＝32.
πππ
∵C－A＝2，∴C＝2＋A，sin C＝sin(2＋A)＝cosA，
的形。
5．解题中利用
ABC中A
B
C
，以及由此推得的一些基本关系式进行三
角变换的运算，如：sin( A
B)
sin C , cos( A
B)
cosC , tan(A B)tan C ,
sinA B
cosC,cosA
B
sinC, tanA
B
cotC.
2
2wenku.baidu.com
2
2
2
2
.
.
一．正、余弦定理的直接应用：
1、ABC中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B等于（）
(Ⅱ)若AB
AC
12, a
.
.
22．在锐角△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin( A
2B
＋C)，3)，n＝(cos2 B, 2cos2－1)，且向量m、n共线．
(1)求角B的大小；
(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
高二数学解三角形复习专题答案
1．B 2。1 : 3 : 2或1 : 3 : 1
csin A，试判断
ABC的形状．
.
.
三．测量问题
11．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔
高为(
)
400
400
3
200
3
200
A.3
m
B.
3
mC.
3
m
D.
3m
12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的
A、B两点，从A、B两
点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？
sin C , y sin A sin B, z
cos A
cos B,则
x, y, z的大小关系是
。
19.
△
中，角 ，， 的对边分别为
a，，，已知
a，， 成等比数列，
3
．
ABCA B C
b c
b c
cos B
4
（Ⅰ）求
1
1
的值；（Ⅱ）设BA BC
3
tan A
tan C
,求a c的值。
2
.
.
20（2010文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC
∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]＝sin(∠DAC＋105°)
4 3－3 2－6 3 3＋4
6＋2
＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝10
·
4
＋
10
·
4
.
.
7
6－2
＝
20
.
∴ 在 △
ACD中 ，
AD
＝
CD
， ∴
8
＝
CD
，∴CD＝
sin
sin
7
4
∠ACD
四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应
用
16、设A、B、C为三角形的三角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC
－sinB)=0有等根，那么三边a,b,c的关系是
17．在Rt△ABC中，C
900，则sin Asin B的最大值是_______________。
18．在△ABC中，∠C是钝角，设x
.
二．判断三角形的形状
7、在锐角三角形ABC中，有（）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinA
C．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA
8、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么ABC是 （）
a2
2ba cos C
b2
2ac
c2
a2
cos C
2ab
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角
13.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD
＝2，则该四边形的面积等于()
A.3B．53C．63D．73
14.一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 mile的海面上有一走私船正以10
mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 mile/h,若要在最短
的时间追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45的方向去追,求追及所需的时间
C )
sin B
1
47.
tan A tan C
sin A
sin C
sin A sin C
sin2B
sin2B
sin B
7
（Ⅱ）由BA BC
3得ca cosB
3,由cosB
3,可得ca
2,即b2
2.
2
2
4
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB
得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.
(a
c)2
a2
tan A
tan C
3
3
得
，
tan A
2
3或
tan A
1
，
即
tan C
2
tan C
1
3
A 750
A
450
或
750
C
450
C
当A 750, C
450
时，b
4
3
4(3
2
6), c
8(
3
1), a
8
sin A
当A
450,C
750时，b
4 3
4 6, c
4(
3 1),a
8
sin A
∴当A 750, B
600,C
解得
x＝
±
∵
＋
，舍去，∴x＝
－ ，∴这条公路长为
(4
3－3)km.
4 3
3. 4
3
3>8
4 3 3
AB
DB
DB·
sin
∠ADB
－
(2)在△ADB中，
＝
，∴sin∠DAB＝
＝
4 3 3
sin
AB
10
，
∠ADB sin∠DAB
33＋4
∴cos∠DAB＝.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，10
的面积，满足S3( a2b2c2)。
4
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin Asin B的最大值。
21、（2010理数）设
ABC是锐角三角形，a,b, c分别是角A, B, C所对边长，并
且sin2A sin(
B)
sin(
B) sin2B。(Ⅰ)求角A的值；
uuur
3
3
uuur
2 7，求b, c（其中b c）。
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
2、在
ABC中，角A, B, C对应的边分别是a,b, c，若sin A
1
, sin B
3，求
2
2
a : b : c
3、在
ABC中，若SABC=1
(a2+b2－c2),那么角∠C=______.
4
4．若△ABC的周长等于20，面积是10
3，A＝60°，则BC边的长是（
450时，a
8, b
4(3
2
6), c
8(
3
1),
当A
450, B
600, C
750时，a
8,b
4
6, c
4(
3
1)
。
7．B
8
。D
9
3
a
。2≤<3.
10解：（1）SABC
1
bc sin A
3
，1
b
2 sin 60
3
，得b
1
2
2
2
2
由余弦定理得：a2
b2
c2
2bc cos A
12
22
2
1
2 cos60
.
.
π
(2)由(1)知：B＝6，且b＝1，由余弦定理得
b2＝a2＋c
2－ac
cos
B，即a2＋c2－
ac＝
1.
∴ ＋
ac＝a2
＋c2≥2ac，
2
3
1
3
即
(2
－
3)
ac≤，∴ac≤
1
，当且仅当a＝c＝
6＋2
＝ ＋
时，等号成
1
2－3
2
3
2
立．
20．
21．
.
3
，所以a
3
.
.
（2）由余弦定理得：a
ca2
c2
b2
a2
b2
c2，所以C 90。
2ac
在Rt
ABC中，sin A
a，所以b
ca
a。所以ABC是等腰直角三角形；
c
c
11．A
12。30(1
3)m
13
。B
14.解:设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,
则有
AB14x, BC10x,ACB120 .(14 x)2122(10x)2240x cos120,
北
和角的正弦值.
C东
B
A
15.如图，某市郊外景区一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，
.
.
位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C和景点D之间的距离．
1116
∴S△ABC＝2AC·BC·sinC＝2AC·BC·cosA＝2×6×32×3＝3 2.
6解：(a b
c)(a
b
c)
3ac,a2
c2
b2
ac,cos B
1, B
600
2
tan(A
C )
tan A
tan C,
3
1
3
3
,所以有tan A tan C
23，联立
1
tan A tan C
tan A tan C
x 2, AB 28, BC 20, sin
20 sin 120
5 3.
28
14
所以所需时间2小时,sin
5 3.
14
15．解：(1)在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8 km，AB＝5 km，设DB＝x km，
则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－83x＋39＝0，