高二下文科数学期中试卷及答案

蚌埠二中2011—2012学年度第二学期期中考试
高二数学试题（文科）
（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）
命题人:耿晓燕
注意事项：
第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案做在答题卷的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ）
A ．甲是乙成立的充分不必要条件
B ．甲是乙成立的必要不充分条件
C ． 甲是乙成立的充要条件
D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 2.下面说法正确的是（ ）
A.实数y x > 是
y
x 1
1<成立的充要条件 B. 设p 、q 为简单命题，若“q p ∨”为假命题，则“q p ⌝∧⌝”也为假命题。

C. 命题“若2
x 3x 20-+= 则 x 1=”的逆否命题为真命题. D. 给定命题p 、q ，若p ⌝是假命题，则“p 或q”为真命题.
3． 双曲线14
1222
2
2=-++m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关 4．命题“两条对角线不垂直的四边形不是菱形”的逆否命题是( )
A ．若四边形不是菱形，则它的两条对角线不垂直
B ．若四边形的两条对角线垂直，则它是菱形
C ．若四边形的两条对角线垂直，则它不是菱形
D ．若四边形是菱形，则它的两条对角线垂直
5．在同一坐标系中，方程)0(01222
22>>=+=+b a by ax b
y a x 与的曲线大致是（ ）
6. 抛物线y x 42
=的焦点坐标为（ ）
A.（1，0）
B.（－1，0）
C.（0，1）
D.（0，－1）
7．已知F 1、F 2是双曲线19
162
2=-y x 的两个焦点，PQ 是过点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为（ ）
A.16
B.12
C.8
D. 随α大小变化
8. 与直线042=+-y x 平行的抛物线2
x y =的切线方程是（ ） A. 230x y -+= B. 230x y --= C. 210x y -+=
D. 210x y --=
9.已知两点M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛45,1,N ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--45,4,给出下列曲线方程：①014=-+y x ；②322=+y x ；
③122
2=+y x ；④12
22=-y x 。

在曲线上存在点P 满足NP MP =的所有曲线方程是( )
A. ①②③④
B. ①③
C. ②④
D.②③④
10. 双曲线2
21(1)x y n n
-=>的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上且满足12||||22PF PF n +=+12PF F ∆的面积为（ ）
． A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11.命题“,R x ∈∃ 使得012
≥++x x ”的否定是 . 12.已知函数)3('2sin )(πxf x x f +=，则=)3
('π
f .
13.已知双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34
=，则双曲线的离心率为 .
14．如图是)(x f y =的导数的图像，则正确的判断是 （1）)(x f 在)1,3(-上是增函数 （2）1-=x 是)(x f 的极小值点
（3）)(x f 在)4,2(上是减函数，在)2,1(-上是增函数 （4）2=x 是)(x f 的极小值点 以上正确的序号为 .
15．在曲线10632
3
-++=x x x y 的切线中斜率最小的切线方程是____________________. 三、解答题（本大题6小题，满分75分）
16．(12分) 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线)0,1(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点，
并于双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,2
3
(，求抛物线的方程和双曲线的方程。

17．（12分）命题p ：关于x 的不等式0)1(2
2≤+-+a x a x 的解集为φ；
命题q ：函数x
a a y )2(2-=为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．
（1）p 、q 至少有一个是真命题；（2）p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题． 18．（12分）已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3 （1）求函数的单调递减区间；
（2）若)(x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

19．（13分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12
-
． （1）试求动点P 的轨迹方程C ；
（2）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M ．N 两点，当||3
MN =
时，求直线l 的方程． 20．（13分）已知函数3
2
()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+
的图象关于y 轴对称.
（1）求m 、n 的值及函数)(x f y =的单调区间；
（2）若函数ax x f x h -=)()(在（-1，1）上单调递减，求实数a 的取值范围。

21．（13分）设椭圆E: 12222=+b
y a x （a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标
原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

OA OB
蚌埠二中2011-2012学年度高二第二学期期中考试
数学（文科）参考答案
一选择题
1.B
2.D
3.C
4.D
5.A
6.C
7.A
8. D
9.A 10. B 二填空题
11．R x ∈∀， 使得012
<++x x 12. 2
1
- 13. 53 14. （2）（3）
15 . 0113=--y x 三解答题
16. 解：由题意可知，抛物线的焦点在x 轴，又由于过点)6,2
3(，所以可设其方程为
)0(22〉=p px y p 36=∴ ∴p =2 所以所求的抛物线方程为x y 42=
所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，所以，设所求的双曲线方程为
1122
22
=--∴a y a x 而点)6,23(在双曲线上，所以11)6()23
(2222
=--a
a 解得412=a 所以所求的双曲线方程为13
4422
=-y x .
17.解：p 命题为真时，∆=<0,即a>,或a<-1．①
q 命题为真时，2-a>1，即a>1或a<- ．②
（1）p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<- 或a>． 故p 、q 至少有一个为真命题时a 的取值范围是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-
<3121a a a 或． （2）p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题，有两种情况：p 真q 假时，<a≤1；p 假q 真时，-1≤a<- ．
故p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时，a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤≤<21113
1a a a
-或．
18. 解：（1）因为963)('2
++-=x x x f ，令0)('<x f ，解得1-<x 或3>x ， 所以函数的单调递减区间为),3(),1,(+∞--∞
（2）因为963)('2
++-=x x x f ，且在)3,1(-上0)('>x f ，
所以)3,1(-为函数的单调递增区间，而,2218128)2(a a f +=+++-=
a a f +=+-+=-218128)2(，所以)2()2(->f f
所以)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值 于是2022)2(=+=a f ，所以2-=a ，
所以7)1(-=-f ，即函数在区间[]2,2-上的最小值为7- 19. 解：（1）设点(,)P x y ，则依题意有
1
222
x x ⋅=-+-，
整理得2
212
x y +=，由于2x ≠±， 所以求得的曲线C 的方程为2
21(2)2
x y x +=≠±． （2）由2
212
1x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得22(12)40k x kx ++=， 解得x 1=0, x 2=12122
40,(,12k
x x x x k
-==
+分别为M ，N 的横坐标） 由,23
4|214|1||1||22
212=++=-+=k k k x x k MN
得1k =±，所以直线l 的方程10x y -+=或10x y +-=．
20.解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3,
由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2
+2mx +n ,
则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2
+(2m +6)x +n ;
而g (x )图象关于y 轴对称，所以－
3
26
2⨯+m ＝0，所以m =-3,代入①得n =0. 于是f ′(x )＝3x 2
-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>0得x>2或x <0, 故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,
故f (x )的单调递减区间是（0，2）.
（2）解： 由063)('2
≤--=a x x x h 在(-1,1)上恒成立，得a≥3x 2
-6x 对x∈(-1,1)恒成
立. ∵-1<x<1,∴3x 2
-6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9.
21. 解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,
且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
2
1212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即
222
22
28801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以2
238
08m k -=
≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩
,所以28
3
m ≥,
即3m ≥
或3m ≤-,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r =,222
228381318m m r m k ===-++
,r =所求的圆为228
3
x y +=,此时圆的切线y kx m =+
都满足3m ≥
或3m ≤-,而当切线的斜率
不存在时切线为3x =±与椭圆
22
184
x y +=
的两个交点为()33±
或(33-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的
任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.。