计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
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k mk k
f (mT ) z
m
k 1 m z f (mT ) z f (mT ) z m m0 m0
z F ( z ) f (mT ) z k m
k m 0
k 1
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F ( z )
证明：
z
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
第2章 Z变换及Z传递函数
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函 数f *(t)具有相同的Z变换。即
第2章 Z变换及Z传递函数 Nhomakorabea2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)， 则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
证明：
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n
n 0
f (0) z
k
f (T ) z
6．卷积和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 定义
g (iT ) f (kT iT ) g (kT iT ) f (iT ) g (kT )* f (kT )
i 0 i 0
k
k
则
Z g (kT )* f (kT ) G( z)F ( z)
( k 1)
f (2T ) z
( k 2)
1 2 z k f (0) f ( T ) z f (2 T ) z z k F ( z)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
Z f (t kT ) z k F ( z ) f (mT ) z k m
f ( kT ) (t kT ) e Ts d t
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F ( s) f (kT )e
* k 0
kTs
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1.2 常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号 f (t ) (t )
F ( z ) Z (t ) (kT ) z k 1
2．单位阶跃信号
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
f (t ) 1(t )
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
证明： 由于当i >k时
f (kT iT ) 0
k 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k
Z g (kT ) * f (kT )
g (kT ) f (iT )
i 0
k
则
F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
g ( kT ) f (iT )
i 0
k
g ( kT T ) f ( jT )
j 0
k 1
g ( kT ) g ( kT T ) f (kT ) G ( z ) z 1G ( z ) F ( z ) F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
4．指数信号
f (t ) e at
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
z z j T z e jT z e 1 e jT e jT 2 2 j z (e jT e jT ) z 1 z sin T 2 z 2 z cos T 1 1 2j
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
* k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
对上式取拉氏变换，得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z
k 0 1
k
1 az a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
1 z 1 z 2 1 1 z 1 z z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
f (t ) t
F ( z ) kTz k
k 0
T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) Tz ( z 1) 2 ( z 1)
k 0
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
k 0 i 0
k i 0
f [(k i )T ]z
( k i )
g (iT ) z
i 0
i
F ( z )G ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
7．求和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 有
F ( z ) Z f (t ) Z[ f * (t )] f (kT ) z k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f (t ) f (kT ) (t kT )
z 1
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim( z 1) F ( z )
z 1 z 1
z 1
lim(1 z 1 ) F ( z ) lim F ( z ) z 1 F ( z )
k k lim f (kT ) z f (kT T ) z z 1 k 0 k 0
对上式进行拉氏变换，则
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f (t )]
* *
f (t ) e
*
Ts
dt
Ts f ( kT ) (t kT ) e d t k 0
k 0
a （a为常数） 求F(Z) s( s a)
解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
z z F ( z) z 1 z e aT (1 e aT ) z 2 z (1 e aT ) z e aT
第2章 Z变换及Z传递函数
2.3 Z反变换
所谓 Z 反变换，是已知 Z变换表达式 F(z)，求相应离散 序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为
f (kT ) Z1 F ( z)
Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法
第2章 Z变换及Z传递函数
1．长除法 设
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) a0 z n a1 z n1 an
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成 部分分式的形式为
ai F ( s) i 1 s si
n
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
ai z F ( z) si t i 1 z e
n
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.2 已知 F ( s )
m0
n 0
k 1
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n f (kT ) f [(k 1)T ]z 1 f [(k 2)T ]z 2 z k f (kT ) z k f [(k 1)T ]z ( k 1) f [(k 2)T ]z ( k 2) z
aT k 0
k
F ( ze )
aT
第2章 Z变换及Z传递函数
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
证明：
d [ F ( z )] Z tf (t ) Tz dz
d [ F ( z )] d d k k f (kT ) z f (kT ) [ z ] dz d z k 0 dz k 0 1 k 1 f (kT )(k ) z f (kT )(kT ) z k Tz k 0 k 0 1 Z tf (t ) Tz
f (mT ) z
m
k 1 m z f (mT ) z f (mT ) z m m0 m0
z F ( z ) f (mT ) z k m
k m 0
k 1
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F ( z )
证明：
z
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
第2章 Z变换及Z传递函数
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函 数f *(t)具有相同的Z变换。即
第2章 Z变换及Z传递函数 Nhomakorabea2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)， 则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
证明：
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n
n 0
f (0) z
k
f (T ) z
6．卷积和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 定义
g (iT ) f (kT iT ) g (kT iT ) f (iT ) g (kT )* f (kT )
i 0 i 0
k
k
则
Z g (kT )* f (kT ) G( z)F ( z)
( k 1)
f (2T ) z
( k 2)
1 2 z k f (0) f ( T ) z f (2 T ) z z k F ( z)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
Z f (t kT ) z k F ( z ) f (mT ) z k m
f ( kT ) (t kT ) e Ts d t
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F ( s) f (kT )e
* k 0
kTs
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1.2 常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号 f (t ) (t )
F ( z ) Z (t ) (kT ) z k 1
2．单位阶跃信号
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
f (t ) 1(t )
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
证明： 由于当i >k时
f (kT iT ) 0
k 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k
Z g (kT ) * f (kT )
g (kT ) f (iT )
i 0
k
则
F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
g ( kT ) f (iT )
i 0
k
g ( kT T ) f ( jT )
j 0
k 1
g ( kT ) g ( kT T ) f (kT ) G ( z ) z 1G ( z ) F ( z ) F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
4．指数信号
f (t ) e at
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
z z j T z e jT z e 1 e jT e jT 2 2 j z (e jT e jT ) z 1 z sin T 2 z 2 z cos T 1 1 2j
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
* k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
对上式取拉氏变换，得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z
k 0 1
k
1 az a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
1 z 1 z 2 1 1 z 1 z z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
f (t ) t
F ( z ) kTz k
k 0
T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) Tz ( z 1) 2 ( z 1)
k 0
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
k 0 i 0
k i 0
f [(k i )T ]z
( k i )
g (iT ) z
i 0
i
F ( z )G ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
7．求和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 有
F ( z ) Z f (t ) Z[ f * (t )] f (kT ) z k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f (t ) f (kT ) (t kT )
z 1
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim( z 1) F ( z )
z 1 z 1
z 1
lim(1 z 1 ) F ( z ) lim F ( z ) z 1 F ( z )
k k lim f (kT ) z f (kT T ) z z 1 k 0 k 0
对上式进行拉氏变换，则
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f (t )]
* *
f (t ) e
*
Ts
dt
Ts f ( kT ) (t kT ) e d t k 0
k 0
a （a为常数） 求F(Z) s( s a)
解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
z z F ( z) z 1 z e aT (1 e aT ) z 2 z (1 e aT ) z e aT
第2章 Z变换及Z传递函数
2.3 Z反变换
所谓 Z 反变换，是已知 Z变换表达式 F(z)，求相应离散 序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为
f (kT ) Z1 F ( z)
Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法
第2章 Z变换及Z传递函数
1．长除法 设
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) a0 z n a1 z n1 an
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成 部分分式的形式为
ai F ( s) i 1 s si
n
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
ai z F ( z) si t i 1 z e
n
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.2 已知 F ( s )
m0
n 0
k 1
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n f (kT ) f [(k 1)T ]z 1 f [(k 2)T ]z 2 z k f (kT ) z k f [(k 1)T ]z ( k 1) f [(k 2)T ]z ( k 2) z
aT k 0
k
F ( ze )
aT
第2章 Z变换及Z传递函数
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
证明：
d [ F ( z )] Z tf (t ) Tz dz
d [ F ( z )] d d k k f (kT ) z f (kT ) [ z ] dz d z k 0 dz k 0 1 k 1 f (kT )(k ) z f (kT )(kT ) z k Tz k 0 k 0 1 Z tf (t ) Tz