高三数学n次独立重复试验及概率综合例题解析人教版.

高三数学n 次独立重复试验及概率综合例题解析

一. 本周教学内容

n 次独立重复试验及概率综合 二. 重点、难点

1. 在一次试验中某事件发生的概率为P ，在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为

)(k P n 。

k n k k

n n P P C k P --=)1()(

2. )()2()1()0(n P P P P ++++ 11])1[(==+-=n

n P P

【典型例题】

[例1] 甲、乙两人投篮投中的概率分别为0.6、0.7两个各投三次，求得分相同的概率

)()()()()(33221100B A P B A P B A P B A P D P +++=

223213213336.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01()6.01(C C C +-⋅-+--=

321.07.06.0)7.01(7.0)6.01(33223=⋅+-⋅-C

[例2] 在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为81

80

，求事件A 在一次试验中发生的概率。

设x A P =)(

31

42224334444)1()1()1(81

80x x C x x C x x C x C -+-+-+=404

)1(1x C --= 811)1(4=-x 3

2

=x

[例3] 同时抛掷15枚均匀的硬币。

（1）求至多有一枚正面向上的概率；

（2）判断正面向上为奇数枚的概率与正面向上为偶数枚的概率是否相等。

（1）)1()0(P P P +=11141

1515

15)21()21()21()

2

1(=⋅⋅+=C C

（2）12331514115)21()21()21)(21()(⋅+=C C P 奇1515

152131315)2

1()21()21(⋅+++C C

15

1515515315115)2

1)((C C C C ++++=

2

1)21(21514

=⋅=

∴ )(奇P 2

1

)(==偶P

[例4] 在某次测验中共10道判断题，每题10分。用“√”和“×”作答，某学生不加思索地任意画“√”和“×”求（1）全错的概率；（2）全对的概率；（3）对8道的概率；（4）及格的概率)60(≥

解：

（1）101000

10)2

1

()

21()21()0(==C P

（2）100

101010)2

1()21()21()10(==C P

（3）1028

810)2

1(45)21()21()8(⋅=⋅=C P

（4）)10()9()8()7()6()(P P P P P A P ++++=

1010

10910810710610)2

1]([C C C C C ++++=

10)2

1(386=

[例5] 甲独立破译密码的概率为41，为使破译率不小于100

99，至少需要多少个与甲同等水平的人去工作。

解：设n 个人均译不出的概率为n

)4

1

1(- ∴ 10099)4

11(1≥

--n

1001

)43(≤n 1001log 4

3≥n

3.163

lg 4lg 2

1001

log 11001

log 11001

log 4

3

4

3

4

3

≈-=

=

=

∴ 至少有17个人

[例6] 一次掷m 枚骰子，共掷n 次，求至少出现一次全6的概率。

解：掷m 枚骰子

全6的概率为m

)6

1

(，非全6的概率为m

)6

1(1- 掷n 次，均非全6的概率为n

m

)611(- ∴ n

m P )6

11(1--=

[例7] 1000件产品中有m )10(>m 件次品，已知抽取10件产品中恰含3个次品的概率为)3(P ，m 为何值时)3(P 最大。

设10

1000710003)(C C C m f m

m -= 101000

7100131)1(C C

C m f m m --=-

)

1001)(3(1030031)1001)(3()994()1()(m m m

m m m m m f m f ---+=---=-

∵ 03>-m 01001>-m

)3.300,10(∈m 时，

1)

1()

(>-m f m f

∴ )300()13()12()11(f f f f <<<<

)1000,3.300(∈m 时，

1)

1()

(<-m f m f

)1000()302()301()300(f f f f >>>>

∴ 300=m 时，)3(P 最大

[例8] A 掷两颗骰子，B 掷三颗骰子，所得最大点数分别记为M 、N ，若N M ≥则A 获胜，试判断A 、B 两人哪一个易于获胜。

掷k 枚骰子，点数小于等于m )62,1( =m 的概率为k m )6

(

)(A P 表示A 获胜

6=M k k )65

()66(-

5=M 22)64

()65(-

1=M 2)6

1

(

∴

1]36253636[

)(⋅-=A P 3)65(]36163625[⋅-+33)6

3(]364369[)64(]3693616[⋅-+⋅-+3)62(]361364[⋅-+32)6

1()61(-+ 7776

12413544811252376+++++=

2

177764109>=