排列组合归纳总结

排列、组合及二项式定理

一、计数

分类加法计数原理和分步乘法计数原理 → 1.分类加法计数原理定义

完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么，完成这件事情共有N ＝m 1+ m 2+…+m n 种不同的方法．

2．分步乘法计数原理定义

完成一件事情需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法,做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有m n 种方法,那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系

联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．

区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

4. 分类分步标准

分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。 分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。 → 排列与组合

1．排列

（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

（2）排列数公式：A m n ＝A C m

m m n =n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成

A m n ＝

n ！

(n －m )！

.特殊: A n n =n!=n(n-1)!

（3）特征：有序且不重复 2.组合

（1）组合定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

（2）组合数公式：C m n ＝m

m

m

n

A A =n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C m n ＝

n ！

m ！(n －m )！

.

(3)组合数的性质

①C m n ＝C n －m

n

； ②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1

n

. （4）特征：有序且不重复

3.排列与组合的区别与联系： 区别：排列有序，组合无序 联系：排列可视为先组合后全排

4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。 →排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法） 1.抽取问题：

（1）关键：特殊优先；

（2）题型：① 把n 个相同的小球，一次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？C m n ②把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？A m n ③把n 个相同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？m n

④把n 个不同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？A m n

⑤把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≥m ），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？C n-1m-1 隔板法

2.排序问题：特殊优先 （1）排队问题：

① 对n 个元素做不重复排序A n n ;

② 对n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定）排列m m

n

n A A

;

如果对n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定,k 个元素的位置

固定）排列K K

m m n

n A A A

;

③ 相邻问题—捆绑法(注意松绑);

④不相邻问题:(a)一方不相邻—先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的; (2)数字问题;

①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数; ②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数; ③组成n 为偶数(奇数)的数----特殊优先法; ④能被n 整除的数-----特殊优先法;

⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于; (3)着色问题:

①区域优先-----颜色就是分类点; ②颜色优先-----区域就是分类点.

(4)几何问题:①点、 线、 面的关系一般均为组合问题； ②图中有多少个矩形 C 62 C 42;从A 到B 的最短距离 C 8

3 (5)分组、分配问题：

①非均分不编号;n 个不同元素分成m 组，每组元

B

素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽---......

3

2

121

1

•---C

C

C m m m n m m n m n

②非均分编号;n 个不同元素分成m 组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽m

m

m m m n m m n m n A C

C

C ••--- (3)

2

121

1

③均分不编号;n 个不同元素分成m 组，其中有k 组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽k

k m m m n m m n m n A C

C

C ......

3

2

121

1

•---

④均分编号;n 个不同元素分成m 组，其中有k 组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽m

m

k k m m m n m m n m n A A C

C

C ) (3)

2

121

1

(•---

二、二项式定理

1.定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2

＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n a 0b n (r ＝0,1,2，…，n )． 2.二项展开式的通项

T r ＋1＝C r n a n －r b r ，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数． 3.二项式系数的性质

①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，

即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －k

n ，….

②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值．

③各二项式系数的和 a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n

；

b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1

n ＋…＝12

·2n ＝2n －1

.

→二项式定理的应用： 1.求通项; r r n r n r b a C T -+=1

2.含x r 的项：① 项的系数；②二项式系数。

3.常数项（含x r 的项中r=0）整数项（含x r 的项中r ∈N ）有理项（含

12

C n n -1

2

C n n

+2C n

n