第1课 实数及其运算
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B．1个 C．2个 D．3个
B (
)
A．0个
解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．
知能迁移1
1 －1 ( 2 ) .其中正数的和为
A．3 B． 5
(1)下列五个实数： 3
－8
，0，tan 45°，－|－3|，
( A )
C． 6
D． 4
1 －1 解析： tan45°＋ ( ) ＝1＋2＝3，这三个正数的和等于4，选A. 2
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫
做这个数的绝对值．
a |a|＝ 0 －a (a>0) (a=0) (a<0)
|a|是一个非负数，即|a|________ . ≥0
±a³10n(1≤a＜10,n是整数) (5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的 数字都叫做这个近似数的有效数字． 的
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是 (
2 A. 3
)
B
B. 3 C．π D．－1
解析：0< 3 < 9 ，只有 3 是0到3之间的无理数，选B.
知能迁移2
(1)近似数2.5万精确到____ 千 位；有效数字分是 2，5 ．
解析：2.5万＝2万5千，精确到千位，有效数字分别是2，5. (2)0.5796保留三个有效数字的近似数是_______ 0.580 ；由四舍五入法得 百万 位，有_______ 到的近似数2.30亿精确到_______ 个有效数字． 3 解析：0.5796≈0.580，保留三位有效数字的近似数是0.580；
试题 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2)_____(3)_____(4)_____(5)_____(6)_____(7)_____． 正解 (1)1和－1；(2)正数和0(或非负数)；(3)1和0；(4)－1、0和1； (5)0；(6)0和1；(7)－1、0和1. 批阅笔记 本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝 对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误．
探究提高 (1)两个互为相反数的和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 知能迁移4 (1)(2011²镇江)计算：
1 － 2
1 1 －(－ )＝________ ； 2 2
1 0 1 ； ＝________ － 2
ab |a| |b| － |ab| ＝(－1)＋(－1)－1＝－3. 或 ＋ a b ab
a
b
题型五 【例 5】
与数轴联系 (1)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于
a，－a,1的大小关系，表示正确的是
( A )
A．a<1<－a
C．1<－a<a
B．a<－a<1
D．－a<a<1
解析：如图，在数轴上找出－a所对应的位置， 易知a<1<－a，选A.
1 的相反数的倒数是 2
1 3 的倒数是 2
2 7 。
2
题型三
实数的运算
【例 3】
0 －4 (1)计算： ＋ 2＋1 － 12 ；
(2)计算：(－2)2＋2³(－3)＋( 1)－1.
3
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)|－4|＋( 2 ＋1)0－ 12 ＝4＋1－2 3 ＝ 5－ 2 3 (2)(－2)2＋2³(－3)＋( ＝1 [3分]
1 ＝________ ； 2
1－1 －2 ＝________. － 2
(2)若ab>0，则 |a|＋|b| －|ab| 的值等于________ 1或－3 ．
a
b
ab
解析：由ab>0，得a>0且b>0或a<0且b<0，
于是 |a| ＋ |b| － |ab| ＝1＋1－1＝1
(2)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值 的和． 解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2， 又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b<0， 可知a＝－4，b＝±2， 所以a－b＝－4－2＝－6， 或a－b＝－4－(－2)＝－2， －6＋(－2)＝－8， a－b所有值的和是－8.
(1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线
叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． 绝对值 相同的两个数称 符号 不同，而_______ (2)相反数：只有______ 0 . 为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝_____ 商 ，叫做 (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的_____ 1 . 这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝_____
(2)观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A、B、C所对应
的数，则
1、 1 、 1 的大小关系是 ab b－a c
( C )
A. 1 < 1
ab b－a c 1 < 1 <1 C. c b－a ab
<1
B.
1 < 1 <1 b－a ab c 1 1 < 1 D. < c ab b－a
∴①<②<③.∴选C.
数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的 位置，及其相反数的位置．再根据数轴上右边的数大于左边的数，
确定各数的大小． 知能迁移5
A. a < b
(1)(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数
B．a＝b
a、 b，则下列结论正确的是 ( C )
C. a > b
D．ab > 0
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
1 －1 ) ＝ 4 － 6＋ 3 3
[4分]
[3分] [4分]
探究提高
实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意 符号和顺序是非常重要的.
知能迁移3
(1)(2011· 温州)计算：(－2)2＋(－2011)0－ 12 .
解：(－2)2＋(－2011)0－ 12 ＝4＋Fra Baidu bibliotek－2 ＝5－2 3. (2)(2011· 舟山)计算：22－ 9 ＋(－3)0－(－2).
2 1 3 1 1 1 3 c>1∴0< <1，……①， <b－a<1，∴1< <3……②， c 3 1 1 2 1 1 b－a <|a|<1,0<|b|< ，∴0<|ab|< ， >3， >3……③. 3 3 |ab| ab 3
解析：由所给的数轴表示，可以表示－1<a<－ ，－ <b<0，
探究提高
)
2
A
解析：
－2
2＝
＝2. － 2
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类
【例 1】
A． 0
(1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
B． 1 C．－2 D．－3.5
( C )
解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．
(2)在实数0 , 1 ,
2 ,0.1235中，无理数的个数为
a－b＞0⇔a＞b
a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
基础自测
1．(2011· 金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数
(450克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作 负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近 标准克数的是 A．＋2 (
A)
B．－3
C．＋3
D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点 是一一对应的． 2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混
淆．
3．可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系， 根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．
失误与防范
引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数 的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：
(2)有理数a、b满足a<0，b>0，且|a|>|b|，试用“<”号把a、b，－ a、－b连接起来： . a________________ <－b<b<－a 解析：据题意，把有理数a、b表示在数轴上，并把－a、－b也 表示在同一条数轴上，如图，易得a<－b<b<－a.
易错警示
1．实数概念中的常见错误 试题 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2) (3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____． 学生答案展示 (1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0； (7)1和－1. 剖析 实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错 误．上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错 误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应．
3.零指数幂，负整数指数幂：
任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，
即
a － p＝
1 p(a≠0，p为正整数) a
．
4.实数的大小比较： ______ 正数 大于零，______ 负数 小于零，______ 正数 大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比______ 左边 的 点所表示的数_____ 大 ． 差值法比较：
2014 中考总复习
第一章
实数
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类
按实数的定义分类：
整数 有理数 分数 实数
P1
自然数
正整数 零 负整数 正分数 负分数
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
正实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 零 负实数
2．实数的有关概念
解：原式＝4－3＋1＋2＝4.
题型四 【例 4】
与实数相关的概念 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c，那么a
＋b－c＝________. 2 或0 解析：由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3， 得a＝±1，b＝±2，c＝±3. 又a>b>c.可以a＝±1，b＝－2，c＝－3， 所以a＋b－c＝1＋(－2)－(－3)＝2， 或a＋b－c＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.
2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．
有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2 3 a 4 ( 4 b 3 ) 0, 求 ab的值。 例、若
解：由｜3a+4｜+ (4b-3)2 = 0 得 ｜3a+4｜= 0 且 (4b-3)２＝０ ∴ 3a+4 = 0 且 4b-3 ＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab=(-4/3)³(3/4)=-1
A．－1 B. 2 C．0.5 D.
B)
2
解析：选项中只有2既是正数，又是整数． 5．(2011· 陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为 ( A．1.37³109 C．1.37³108 B．1.37³107 D．1.37³1010
1、 3 的绝对值等于 3 ， （黄冈2011年中考题） 2 4 的平方根等于 3 ， 9
2.(海淀区2011) 2的相反数是（ C） A． 1 B． 1 C．-2 D． 2 2 2 3.(重庆市北碚区 2011 ) 2 的相反数是（ A ） A. 2 B. 2 C. -2 D. 2 4 .(青海省湟中县实验区2011 ) _ .
A)
解析：1370536875＝1.370536875³109≈1.37³109.
6.(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是 ( A. a < b C. a > b B． a ＝ b D．ab > 0 )
C
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
7．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A. 2 B．±2 C．－2 D.
2．(2011· 衢州)数－2的相反数为 1 1 A． 2 B. C．－2 D．－ 2 2
A
(
)
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－” 号．
1 3．(2011· 义乌)－3的绝对值是 3 A． 3 B．－3 C．－
1 3 D.
A
( )
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
2
4．(2011· 宁波)下列各数中，是正整数的是(
B (
)
A．0个
解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．
知能迁移1
1 －1 ( 2 ) .其中正数的和为
A．3 B． 5
(1)下列五个实数： 3
－8
，0，tan 45°，－|－3|，
( A )
C． 6
D． 4
1 －1 解析： tan45°＋ ( ) ＝1＋2＝3，这三个正数的和等于4，选A. 2
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫
做这个数的绝对值．
a |a|＝ 0 －a (a>0) (a=0) (a<0)
|a|是一个非负数，即|a|________ . ≥0
±a³10n(1≤a＜10,n是整数) (5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的 数字都叫做这个近似数的有效数字． 的
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是 (
2 A. 3
)
B
B. 3 C．π D．－1
解析：0< 3 < 9 ，只有 3 是0到3之间的无理数，选B.
知能迁移2
(1)近似数2.5万精确到____ 千 位；有效数字分是 2，5 ．
解析：2.5万＝2万5千，精确到千位，有效数字分别是2，5. (2)0.5796保留三个有效数字的近似数是_______ 0.580 ；由四舍五入法得 百万 位，有_______ 到的近似数2.30亿精确到_______ 个有效数字． 3 解析：0.5796≈0.580，保留三位有效数字的近似数是0.580；
试题 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2)_____(3)_____(4)_____(5)_____(6)_____(7)_____． 正解 (1)1和－1；(2)正数和0(或非负数)；(3)1和0；(4)－1、0和1； (5)0；(6)0和1；(7)－1、0和1. 批阅笔记 本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝 对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误．
探究提高 (1)两个互为相反数的和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 知能迁移4 (1)(2011²镇江)计算：
1 － 2
1 1 －(－ )＝________ ； 2 2
1 0 1 ； ＝________ － 2
ab |a| |b| － |ab| ＝(－1)＋(－1)－1＝－3. 或 ＋ a b ab
a
b
题型五 【例 5】
与数轴联系 (1)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于
a，－a,1的大小关系，表示正确的是
( A )
A．a<1<－a
C．1<－a<a
B．a<－a<1
D．－a<a<1
解析：如图，在数轴上找出－a所对应的位置， 易知a<1<－a，选A.
1 的相反数的倒数是 2
1 3 的倒数是 2
2 7 。
2
题型三
实数的运算
【例 3】
0 －4 (1)计算： ＋ 2＋1 － 12 ；
(2)计算：(－2)2＋2³(－3)＋( 1)－1.
3
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)|－4|＋( 2 ＋1)0－ 12 ＝4＋1－2 3 ＝ 5－ 2 3 (2)(－2)2＋2³(－3)＋( ＝1 [3分]
1 ＝________ ； 2
1－1 －2 ＝________. － 2
(2)若ab>0，则 |a|＋|b| －|ab| 的值等于________ 1或－3 ．
a
b
ab
解析：由ab>0，得a>0且b>0或a<0且b<0，
于是 |a| ＋ |b| － |ab| ＝1＋1－1＝1
(2)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值 的和． 解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2， 又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b<0， 可知a＝－4，b＝±2， 所以a－b＝－4－2＝－6， 或a－b＝－4－(－2)＝－2， －6＋(－2)＝－8， a－b所有值的和是－8.
(1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线
叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． 绝对值 相同的两个数称 符号 不同，而_______ (2)相反数：只有______ 0 . 为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝_____ 商 ，叫做 (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的_____ 1 . 这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝_____
(2)观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A、B、C所对应
的数，则
1、 1 、 1 的大小关系是 ab b－a c
( C )
A. 1 < 1
ab b－a c 1 < 1 <1 C. c b－a ab
<1
B.
1 < 1 <1 b－a ab c 1 1 < 1 D. < c ab b－a
∴①<②<③.∴选C.
数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的 位置，及其相反数的位置．再根据数轴上右边的数大于左边的数，
确定各数的大小． 知能迁移5
A. a < b
(1)(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数
B．a＝b
a、 b，则下列结论正确的是 ( C )
C. a > b
D．ab > 0
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
1 －1 ) ＝ 4 － 6＋ 3 3
[4分]
[3分] [4分]
探究提高
实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意 符号和顺序是非常重要的.
知能迁移3
(1)(2011· 温州)计算：(－2)2＋(－2011)0－ 12 .
解：(－2)2＋(－2011)0－ 12 ＝4＋Fra Baidu bibliotek－2 ＝5－2 3. (2)(2011· 舟山)计算：22－ 9 ＋(－3)0－(－2).
2 1 3 1 1 1 3 c>1∴0< <1，……①， <b－a<1，∴1< <3……②， c 3 1 1 2 1 1 b－a <|a|<1,0<|b|< ，∴0<|ab|< ， >3， >3……③. 3 3 |ab| ab 3
解析：由所给的数轴表示，可以表示－1<a<－ ，－ <b<0，
探究提高
)
2
A
解析：
－2
2＝
＝2. － 2
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类
【例 1】
A． 0
(1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
B． 1 C．－2 D．－3.5
( C )
解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．
(2)在实数0 , 1 ,
2 ,0.1235中，无理数的个数为
a－b＞0⇔a＞b
a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
基础自测
1．(2011· 金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数
(450克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作 负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近 标准克数的是 A．＋2 (
A)
B．－3
C．＋3
D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点 是一一对应的． 2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混
淆．
3．可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系， 根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．
失误与防范
引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数 的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：
(2)有理数a、b满足a<0，b>0，且|a|>|b|，试用“<”号把a、b，－ a、－b连接起来： . a________________ <－b<b<－a 解析：据题意，把有理数a、b表示在数轴上，并把－a、－b也 表示在同一条数轴上，如图，易得a<－b<b<－a.
易错警示
1．实数概念中的常见错误 试题 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2) (3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____． 学生答案展示 (1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0； (7)1和－1. 剖析 实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错 误．上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错 误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应．
3.零指数幂，负整数指数幂：
任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，
即
a － p＝
1 p(a≠0，p为正整数) a
．
4.实数的大小比较： ______ 正数 大于零，______ 负数 小于零，______ 正数 大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比______ 左边 的 点所表示的数_____ 大 ． 差值法比较：
2014 中考总复习
第一章
实数
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类
按实数的定义分类：
整数 有理数 分数 实数
P1
自然数
正整数 零 负整数 正分数 负分数
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
正实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 零 负实数
2．实数的有关概念
解：原式＝4－3＋1＋2＝4.
题型四 【例 4】
与实数相关的概念 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c，那么a
＋b－c＝________. 2 或0 解析：由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3， 得a＝±1，b＝±2，c＝±3. 又a>b>c.可以a＝±1，b＝－2，c＝－3， 所以a＋b－c＝1＋(－2)－(－3)＝2， 或a＋b－c＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.
2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．
有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2 3 a 4 ( 4 b 3 ) 0, 求 ab的值。 例、若
解：由｜3a+4｜+ (4b-3)2 = 0 得 ｜3a+4｜= 0 且 (4b-3)２＝０ ∴ 3a+4 = 0 且 4b-3 ＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab=(-4/3)³(3/4)=-1
A．－1 B. 2 C．0.5 D.
B)
2
解析：选项中只有2既是正数，又是整数． 5．(2011· 陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为 ( A．1.37³109 C．1.37³108 B．1.37³107 D．1.37³1010
1、 3 的绝对值等于 3 ， （黄冈2011年中考题） 2 4 的平方根等于 3 ， 9
2.(海淀区2011) 2的相反数是（ C） A． 1 B． 1 C．-2 D． 2 2 2 3.(重庆市北碚区 2011 ) 2 的相反数是（ A ） A. 2 B. 2 C. -2 D. 2 4 .(青海省湟中县实验区2011 ) _ .
A)
解析：1370536875＝1.370536875³109≈1.37³109.
6.(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是 ( A. a < b C. a > b B． a ＝ b D．ab > 0 )
C
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
7．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A. 2 B．±2 C．－2 D.
2．(2011· 衢州)数－2的相反数为 1 1 A． 2 B. C．－2 D．－ 2 2
A
(
)
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－” 号．
1 3．(2011· 义乌)－3的绝对值是 3 A． 3 B．－3 C．－
1 3 D.
A
( )
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
2
4．(2011· 宁波)下列各数中，是正整数的是(