【武汉大学】量子力学第四章xin
量子力学第四章习题new
第四章 态和力学量的表象4.1 求在动量表象角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
解: 动量为p 的本征函数为()3212ieψπ⋅==p r p p在连续情况下，按矩阵元的定义，x L 的矩阵元为()()()()()()()*333331ˆˆˆ2112222i ix x zy pp iiii i ii i yz yzL L d e ypzpe d e y e d ez e d i z i y p p e e d ee d i p i p ψψττπττππττππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞==-⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''∂∂=-''∂∂⎰⎰⎰⎰⎰p r p r p pp r p rp r p r p r p r p r p r ()()()()()()()331122iiz yyzz y yz z y z y y z y z p ed p ed i p i p p p i p p i p p i p p p p p p ττππδδδ∞∞∞''-⋅-⋅-∞-∞∂∂''=-''∂∂⎛⎫∂∂'''=-- ⎪ ⎪''∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰p p r p p r p p p p p p2x L 的矩阵元:()()()()()()22*23*3*31ˆˆˆ21ˆˆ212p r p r p pp r p r p r p ri ixx zy pp i i z y zy yz i i z yz y y z yzL L d e ypzpe d p p e ypzpe d i p p i p p p p e e d p p i p p ψψττπτππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞'⋅⋅-∞'⋅⋅==-⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()()32212r p p p p iz yz y y z y z z yy z i p p i p p ed p p p p p p p p ττπδ∞-∞∞'⋅--∞⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂'=--- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰4.2 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
量子力学第四章
( px )mn ih (En Em )xmn
证明 在能量表象中的矩阵元为
dx dt
mn
1 ih
m (xHˆ Hˆx) n
1 ih
(En
Em
)
m
xn
( px )mn ih (En Em )xmn
例题4：
有一量子体系，态矢为空间三维，选择基矢 1 , 2 , 3
(1) 给出它们的本征值与本征态矢 (2) 写出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的变换矩阵S，并通过S矩阵
求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩阵表示
解： (1) Lx的本征方程
Lx lx
即
2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 lx a2 0 a3 a3
1
1 2
1
2
同理可得
1
1
lx 0, 0
2 2
0 ; 1
lx
,
1
2
2 ; 1
（2） 由Lx的三个本征矢量得到从(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象变换 矩阵S
S
1
1 2
2 1 0 2
0
1
得本征矢和本征值分别为
E1 0
E2 E3 20
(0)
2
1 2
1
1 2
2
1 2
3
1 2
1 1
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
量子力学第四章 - 2
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
量子力学第四章
m 0,1,2,,l
能级与l,m无关,一般中心力场 能级为2l+1兼并
(1)能级简并度为n2
2l 1 n 2
l 0
(2)能级随n的增大而增大,相邻能级差为
1 2 1 En Zc 2 2 n
氢原子基态能级为 E
1
1 2 H c 13.6eV .当 2
2 2
(1)径向几率分布
wnl r dr
第四章 中心力场中的粒子
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 中心力场中粒子运动的一般性质 无限深球方势阱 氢原子及类氢离子 海尔曼-费曼定理 三维各向同性谐振子
§6.1 中心力场中粒子运动的一般性质
在大自然中,广泛 存在在中心力场中 运动的物体的问题. 如右图的太阳系,各 个行星就是在太阳 的引力场中运动.而 下图则是带电粒子 之间的相互作用. 例如,在 原子中核外的电子就是在原子 核的库仑势中运动.这些运动的突出特 点就是物体之间的相互作用只与它们之 间的相对距离有关.
2 1 Zc 3 n
n 时,能量为
1
E 0 ,电子可脱离原子核而电离,电离能为 E E 13.6eV .
(3)解释光谱线规律 ~ c 1 En Em 1 2 1 Z R 2 2 hc m n
n m
jl
l 1 2 2 u u 1 u 0 2 1
l 1 J l 1 2 , nl 1 J l 1 2 2 2
0 jl l 2l 1!!, nl 2l 1!! l 1
两体问题化为单体问题 其实,中心力场中的运动,在一般坐标系中,是个两体问题.
量子力学教程第四章课件 CH4-2011
诸算符对易的定理
诸算符对易的定理-II
逆定理及推广到一组算符
共同本征态和力学量的同时确定
力学量完全集
量子体系的状态由一组力学量完全集的共同本征 函数完全描述
不确定关系（测不准关系）
量子态及其统计解释
量子力学的基本原理---II
力学量与算符
表
量子力学的基本原理---II
量子力学的基本原理---III
力学量的测量
量子力学的基本原理---IV
量子态的波动方程
2. 算符与力学量的表示
算符及其运算 算符的对易及对易式的计算 力学量算符是线性、厄密算符
线性算符 厄密算符
量子力学教程，Page 73
力学量
波函数的展开
( x ) cnn ( x ) 求展开式系数cn
n
分立谱展开系数满足
波函数的展开---II
当F 的本征值谱是连续的，或者部分本征值n组成分立 谱，部分本征值组成连续谱时（量子力学教程，Page 85）
4. 位置，动量、和角动量算符 及其本征函数
* x0
位置算符本征函数的归一化，连续谱本征函数归一为函数
ˆ x x0 ( x ) x0 x0 ( x ) x 0 ( x ) ( x x0 )
利用 f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) Homework：请用位置算符的本征函数将任意波函数(x)展 开，求展开式系数
5. 力学量的统计分布
力学量F 的测量问题（量子力学教程 Page 74-75）
量子力学(第四章)
b. 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时 取确定值。例如中心力场中的粒子，Lˆ 的 三分量都守恒( Lˆi , Hˆ 0, i x, y, z)，但由 于 Lˆx, Lˆy , Lˆz不对易，一般说来它们并不能同 时取确定值（角动量 l 0 的态除外）。
---
c. 定态和守恒量的区别 定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征 态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量， 它与体系的Hamilton量对易。在定态下，一 切力学量(不显含t ，不管是否守恒量)的平 均值及测量值几率分布都不随时间改变，这 正是称之为定态的理由。而守恒量则是在一 切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值 几率分布都不随时间改变，这正是称之为量 子体系守恒量的理由。
---
2. 能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
---
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F 和G ，
即F, H 0,G, H ，0 但 F,G ，0 则体系能
第四章 力学量随时 间的演化与对称性
本章所讲的主要内容
力学量随时间的演化(4.1) 波包的运动，Ehrenfest定理(4.2)
Schrodinger图像与Heisenberg图像(4.3)
守恒量与对称性的关系(4.4)
全同粒子体系与波函数的交换对称性(4.5)
-
---
§4.1 力学量随时间的演化
c.c.
(t
t
)
,
k
k
,
(t
)
c.c.
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
量子力学教程 第四章
§4. 1 算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示
（二）Q 表象中力学量算符F的性质
（三）Q 有连续本征值的情况
量子力学 12
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i ) ( x , t ) F
在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。 同样， x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x)。这可由本征值方程看出：
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
a1 (t ) *
a2 (t ) *
an (t ) *
aq (t ) *
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
9
（三）讨论
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程 Ψ p ' (x,t)=[1/(2 π )]
1/2
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，
波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
Ψ (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
量子力学 4
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数：
C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
Φ=FΨ
Fnm
量子力学第四章 态和力学量表象
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
共轭矩阵
a2(t)
a1(t)*
a2(t)* an(t)*
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
Cnlm (t)
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
C100(t)
C200 (t )
1 2
exp(
i
E1t )
0
C210 (t ) C211(t )
C211
（二）能量表象
选取能量算符的本征函数 n (x)作基底，则
(x,t) Cn (t) n (x)
n
其中
Cn (t)
n
(
x)
(x,
t
)dx
能量表象波函数
例如
在中心力场中，任意波函数
(r,,,t)
1 2
R10Y00
exp(
i
E1t)
1 2
R21Y11
exp(
i
E2t)
Cnlm (t) Rnl (r)Ylm ( ,) (r, ,,t)d
(t
)
0Leabharlann 1 2exp(i
E2t)
量子力学-第四章
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ ˆ ˆ O O*
(12)
1. 定义:
厄密算符
满足下列关系 的算符称为 厄密算符. 2. 性质
返回
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 Ô + = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô+Û)
ˆ ˆ zp x p x z 0 ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ pz p x p x pz 0
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
ˆ ˆ ˆ ˆ ( I ) p x 与p y 对易， p y 与x对易，但是 p x 与x不对易； ˆ ˆ ˆ ˆ ( II ) p x 与p y 对易， p y 与z对易，而 p x 与z对易。
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
返回
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
量子力学第四章 - 4 - 2
3.粒子数算符
由产生/湮灭算符的对易关系出发
[aˆ, aˆ]=[aˆ†, aˆ†] 0 [aˆ, aˆ†] 1
定义算符
Nˆ aˆ†aˆ 厄密算符
有对易关系 Nˆ , aˆ aˆ†a, aˆ aˆ
Nˆ , aˆ† aˆ†a, aˆ† aˆ†
设 Nˆ 的本征方程为 Nˆ n n n
n为本征值（不一定是整数），且假设不简并
6．占有数表象和算符矩阵
以粒子数算符 Nˆ的本征态矢 n（n=0,1,2,…）为基
矢构成的表象称为占有数表象。
aˆ 的矩阵元 n aˆ n n n n 1 n n, n1
0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0
a 0 0 0 3 0 0
同样有 Nˆaˆ† n (aˆ†Nˆ +aˆ†) n (n+1)aˆ† n
aˆ† n Cn n+1 归一化条件： n aˆaˆ† n n Nˆ +1 n n+1
2
2
Cn n+1 n+1 Cn
Cn n+1,
aˆ† n n+1 n+1
aˆ† 0 1
(aˆ†)n 0 n! n
n 1 (aˆ† )n 0 n!
Cn 2 n 1 n 1 Cn 2
n应为非负整数
Cn n, aˆ n n n 1
n=0态矢满足：aˆ 0 0 Nˆ 0 0 0 =0
6
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 9）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
研 究 内 容
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
量子力学(第四章)
2.
能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量 F 和 G ， 0 即 F , H 0, G, H 0 ，但 F , G ，则体系能 级一般是简并的。
讨论，在什么条件下可以做这种近似。
从物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，
波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此
外，还要求势场
波包中心处的势场
在空间变化很缓慢，使得 V (r ) r) V (与粒子感受到的势 V (很 r)
接近。但一般说来，波包会随时间演化而扩散，
如果要求波包能描述经典粒子的运动，必须要
守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
ˆ 力学量 A的平均值为 ˆ A(t ) (t ), A (t )
(1)
所以
d ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
证：由于 F , H 0， F H可以有共同本征函 与 数
H E , F F
考虑到 G, H 0 ，故有
HG GH GE EG
即 G 也是H 的本征态，对应于本征值 E 。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到 F , G 0，一般说来，
它们与经典粒子运动满足的正则方程
d p r , dt m dp V dt
相似。
量子力学课件第四章
第4章三维空间中的量子力学4.1 球坐标系中的薛定谔方程向三维情况的推广是直截了当的。
薛定鄂方程为：;i H t∂ψ=ψ∂ [4.1] 由经典能量可以得出哈密顿算符H 1V p p p mV mv z y x +++=+)(21212222 通过标准方法（现在应用于y ，z 以及x ）：,x p i x ∂→∂ ,y p i y∂→∂ ,z p i z ∂→∂ [4.2] 或者简洁地写为[4.3]这样[4.4]其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ [4.5]是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
势能V 和波函数ψ现在是(,,)x y z =r 和t 的函数。
在无穷小体元3d dxdydz =r 内发现粒子的几率为23(,)t d ψr r ，归一化条件是231,d ⎰ψ=r [4.6]其中积分是对整个空间进行。
如果势不显含时间，将有一组完备的定态/(,)(),n iE t n n t e ψ-ψ=r r [4.7]其中空间波函数n ψ满足定态薛定谔方程： [4.8]1当可能出现混淆时,我将在算符顶部放一个∧来区分它们与对应的经典力学量。
本章中不会有很多场合会出现这种混淆，用∧很麻烦，所以从现在起我不再用它。
（含时）薛定谔方程的一般解是/(,)(),n iE t n n t c e ψ-ψ=∑r r [4.9]其中常数n c 由初始波函数(,0)ψr 用通常的方法确定。
（假如势允许连续态，那么4.9式中的求和变为积分。
）*习题4.1（a ） 求出算符r 和p 的各分量之间的正则对易关系：[,]x y ，[,]y x p ，[,]x x p ，[,]y z p p 等等。
答案：[,][,]i j i j ij r p p r i δ=-= ，[,][,]0i j i j r r p p ==， [4.10]这里指标表示,,x y z , , , x y z r x r y r z ===。
（b ） 证明三维情况下的Ehrenfest 定理：1,d dt m =p 和 .d V dt=-∇p [4.11] (当然，上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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|
(r1, r2 )
E总(r1, r2 )
引入
R
m1r1 m1
m2r2 m2
质心坐标
r r1 r2
相对坐标
M
m1＋m2
m1m2 m1＋m2
体系总质量 约化质量
2
2
2
2
2m1
12
2m2
2 2
2M
2 R
2
2 r
此时薛定谔方程形式可写为
2
2M
R2
2
2
2 r
1
4 0
e2 r
(R,r )
代入到定态薛定谔方程中，得
1 R
d dr
(r2
dR )
dr
2r 2
2
[E
V
(r )]
1 Y
[1
sin
(sin
Y
)
1
sin2
2Y
2 ]
可以化为两个方程中：角向方程，径向方程
1
sin
(sin
1
) sin2
2
2
Y
(
,
)
Y ( , )
角向方程
1 r2
d dr
(r2
dR )
dr
2
2
[E
波函数 nrlm (r ) Rnr ,l (r)Ylm ( , )
归一化条件
2
nrlm (r ) d
d r2 sindrdd
0
R2 nr
l
(
r
)r
2dr
0
2 0
Ylm (
, )
2
sin d d
1
径向归一化条件
0
R2 nr l
(r)r 2dr
1
§4.1-4 粒子坐标取值的几率密度 及几率流密度
2
2 V (r)
2
2
定态薛定谔方程为
2
2
2
V
(r )
E
(r
)
E
E
(r
)
采用球坐标系，拉氏算符为
2
1 r2
r
r
2
r
1 r2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
定义
pˆ r i
r
1 r
可证
pˆ r2
2
2 r 2
2 r
r
2
1 r 2
r
r
2
r
2
pˆ r2
1/
2
(16)
作替换
REl (r)
nr lm
nr
lm
* nr
lm
]
球坐标中梯度算符的表达式为:
1
1
er r e r e r sin
因为径向波函数 Rnrl和(r) Plm都(co是s实)函数，
所以代入上式后必然有：
jr j 0 只有 j （0绕极轴的环几率流密度）
j
2i
1
r sin
* nr
lm
nr lm
nr lm
第四章 中心力场－氢原子
§4.1 粒子在中心力场中运动的 一般特点
§4.2 库仑场；氢原子 §4.3 类氢原子
§4.1 粒子在中心力场中运动的一般特点
三维运动;力场相对于力心是球对称。 设力场与时间无关，体系存在定态。
§4.1-1 定态薛定谔方程分离变量； 角向方程和角向函数
哈密顿算符为 Hˆ pˆ 2 V (r)
2
Lˆ2 2r2
哈密顿算符改写为
Hˆ
pˆ r2
2
Lˆ2
2r 2
V (r)
定态薛定谔方程改写为
pˆ r2
2
Lˆ2
2r 2
V (r)
E
(r
)
E
E (r
)
或
2
2
1 r2
r
(r2
) r
Lˆ2 2r 2
V
(r )
E
(r
)
E
E
(r
)
分量变量法 记波函数为径向函数和角向函数的乘积
(r ) R(r)Y ( , )
(r
)
2
2
E
V
(r
)
l(l 1)
2r 2
2
uE
,l
(r
)
0
相当于一维问题
Veff
(x) V(x)
l(l 1)
2 x2
2
§4.1-3 束缚定态的能级和波函数
能级 En用rl 径向量子数 和nr 来表l 示
nr 0,1, 2,3,
径向波函数用 n和r 表l 示为 Rnrl (r) 简并度 2l 1
2
2
2
1
4 0
e2 r
(r )
( E总
Ec )
(r )
E
(r )
电子相对核的运动, E E总是相E对c 运动能量.描述一个 折合质量为的电子在静电库仑势场中运动的定态薛定 谔方程.相对运动能量E就是电子的能级。
§4.2-2 氢原子束缚定态的径向方程:能级和波函数
定态薛定谔方程
2
2
2
1
4 0
V
(r)
r2
]R(r )
0
径向方程
角向方程是角动量平方算符的本征值方程
已知 l(l 1), l 0,1,2,3
本征值 l(l 1) 2
Y是球谐函数 Ylm ( , ) Nlm Plm (cos )eim
m 0,1,2, ,l
正交归一化
Y* l m
(
,
)Ylm
(
,
)d
0
2 0
Y* l m
1.几率分布
nrlm (r )d | ntlm (r, , ) |2 r 2 sin drd d
R2 nr l
(r)r 2dr
| Ylm
(
,
)
|2
d
(1)
R2 nr l
(r )r 2dr[Nlm
Plm
(cos
)]2 d
与r和有关,与无关,即相对于极轴是对称的
2.几率流密度
j
i
2
[ * nr lm
E总(R, r )
分离变量法 (R, r ) (R) (r )
记
2 r
2
2 x2
2 y2
2 z 2
2 R
2 X 2
2 Y 2
2 Z 2
得到
2
2M
1
2R
E总
21
2
2
1
4 0
e2 r
Ec
上式化为两个方程
2
2M R2(R) Ec( R)
原子质心运动方程描述能量为EC的 自由粒子的定态薛定谔方程
(
,
)Ylm
(
,
)
sin
d
d
ll mm
§4.1-2 径向方程,径向函数和体系的能量
径向方程
1 r2
d dr
(r2
dRE , l dr
)
2
[2
(E
V (r))
l(l 1) r 2 ]RE,l (r)
0
r :0
作替换
RE,l (r )
uE,l (r ) r
与 l有关，与m无关
代入上式得
d
2
uE ,l dr 2
Ze 2 r
(r )
E (r )
约化质量
Mme M＋me
me
径向方程为
1 r2
d dr
r
2
dRE ,l dr
2
2
E
1
4 0
Ze2 r
l(l 1)
r2
RE
,l
(r
)
0
(14)
讨论束缚定态 E ：0 记 (8 E )1/2 0
(15)
2 Ze2 40 2
Ze 2
4 0
2E
一个电子和一个质子通过静电库仑场相互作用
库仑势能为:
1 e2
V (| r1 r2 |) 40 | r1 r2 |
2
2
哈密顿算符为
Hˆ
2m1
12
2m2
2 2
V
(|
r1
r2
|)
2
2m1
12
2
2m2
2 2
1
4 0
|
e2 r1 r2
|
体系的定态S-eq为:
2
2m1
12
2
2m2
22
1
4 0
|
e2 r1 r2
* nr
lm
2i
1
r sin
2im
| nr lm
|2
eim imeim
m
1
r sin
| nr lm
|2
与无关
§4.2 库仑场：氢原子
库仑势场 一般写为
1 e2 V(r)
40 r
1 Ze2 V(r )
40 r
中心势场
氢原子 Z 1
§4.2-1 将两体问题归结为一个电子在库仑场中 运动问题