级 上海交通大学高数期中考试试卷解答答案

解 2 y3(1) y2(1) 1 ( y(1) 1)(2 y2(1) y(1) 1) 0 y(1) 1，
（2 分）
2x 2 yy ' 2 y3 6xy2 y ' y '(1) 0 ,
（5 分）
1 ( y ')2 yy '' 3y2 y ' 3y2 y ' 6xy( y ')2 3xy2 y '' y ''(1) 1 。
解答 第 4 页
(a,b) 内没有最值点。
(2)
由(1)，不妨设
f (a) min a xb
f (x) ，则对于任意的 x2 : a x2 b ，有
f (x2 )
f (a) 。
因为
f
(x) 在[a, x2 ] 上连续且存在反函数，再次由（1）得到
f
(x2 )
min
a x x2
f
(x) ，
（10 分）
解答 第 3 页
六、（本题 12 分）
17. 全面讨论函数 y ex 的性态，并作出它的图形。 x
（ y (x 1)ex ， y (x2 2x 2)ex ）
x2
x3
解 定义域为 R \ {0} ，非奇非偶，非周期；
y 0 x 1； y 0 ；
lim y(x) 垂直渐近线： x 0 ；
2
（8 分）
14. 长度为 50 米的绳子通过一个定滑轮 P 将货车 A 和 B（货车高度忽略不计）连
接在一起。滑轮到地面的垂足是点 Q ， PQ 的长度等于12 米。在某个时刻 t0 ，货
车 A 在距离 Q 点 5 米处以 2 米/秒的速度远离 Q 点，此时货车 B 的运动速度等于多
少？
P
解 设 s(t) AQ ， l(t) BQ ，则
lim
x0
x
ln(1 x2
x)
lim
x0
1 x2 2 x2
1 1 3 . 22
（2 分） （5 分）
（8 分）
14. 同 A 类 14 题。 15. 已知函数 y y(x) 是由方程 ey cos x (x 1)y ln(x e) 0所确定的可导函
数，求 y(0) 。
解 e y(0) y(0) 1 0 y(0) 0 ，
反函数。证明： (1) f (x) 仅在区间[a,b] 的端点处取到最值；
(2) 若函数 g( f (x)) 在 (a,b) 内不存在极大值，则 g(u) 在 (c, d) 内也不存在极大值。
证明 (1) 若 f (a) 既非最大值又非最小值，则存在 x1, x2 (a,b] ，使得
f (x1) f (a) f (x2 ) 。
（2 分）
ye y cos x e y sin x y (x 1) y 1 0 ， xe
（5 分）
y(0) y(0) 1 0 ， y(0) 1 。
e
2e
（8 分）
16.
已知 a,b,c 是常数，且 a 1，求函数
f
(
x)
x
a
sin
1 x
bx,
x0 的导函数 f (x) ，
15. 已知函数 f (x) x a cos x（ a 1）在区间 (0,2) 中存在极小值 0 ，问： f (x) 在
(0,2) 中是否存在极大值？若有，求该极大值。
解
f (x) 1 a sin x 0
x x0
arcsin
1 a
(0,
2
)
，
x
x0
( 2
,
)
；
f (x) a cos x ， f (x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ，
s2(t) 122 l2(t) 122 50 （3 分）
12m
由 s(t0) 5, 得到 l(t0) 35,
A
B
5m Q
解答 第 2 页
等式关于 t 求导，并令 t t0 ，得到 s(t0 )s(t0) s2 (t0 ) 122
l(t0)l(t0) 0, l2 (t0 ) 122
x0
x
2
2ln(1 x) 2
e2 lim e x0
x
x
1
1 e2 2
2e2
lim
x0
ln(1 x) x2
x
1 e2 2
3 e2 。
2
（3 分） （6 分） （8 分）
四、（每小题 8 分，共 16 分）
13. 已知 y y(x) 是由方程 x2 y2 2xy3 所确定的二阶可导函数，求 y(1) 。
7.
已知
f
(x)
cos ln(1
x, x2 ),
x 0 ，则 f (x) x0
sin x,
2x 1 x2
,
x0 。
x0
8. 若 y x2x ，则 dy 2x2x (ln x 1)dx 。
9. 已知 y ex2 2x ，则 y(10) (1) 10! e1 ，或 25 9!! e1 。 5!
l(t0
)
s(t0 )s(t0 ) l(t0 ) s2
l2(t0 ) 122 (t0 ) 122
5 2 37 74 ， 35 13 91
所以货车 B 的运动速度是 74 米/秒，方向是 B 指向 Q 点的方向。 91
（6 分） （8 分）
五、（第 15 题 8 分，第 16 题 10 分，共 18 分）
x0
y() 0 水平渐近线： y 0 ；
无斜渐近线。
函数性态：
x
(, 0)
0
y
y
y
，
间断
极小值 y(1) e ，无拐点；
函数简图：
(0,1)
，
y
1
极小
(1,e)
（4 分）
(1, )
， （10 分）
O
x
（12 分）
七、（本题 8 分） 18. 已知函数 f (x) 和 g(u) 满足 Df [a,b]， Dg Rf [c, d] 。又 f (x) 连续且存在
（2 分）
不妨设 x1 x2 ，则 f C[x1, x2 ] ，故 x3 (x1, x2 ) ，使得 f (x3) f (a) ，
这与 f (x) 存在反函数(单射函数)矛盾，所以 f (a) 是 f (x) 的最值。
同理可证， f (b) 也是 f (x) 的最值。
（4 分）
由于 f (x) 是单射函数，故 f (a), f (b) 是最大、最小值 (或最小、最大值)，且
ln(2 x) c, x 0
并给出 f (x) 在 x 0 处连续的一个充分条件。
解
任何条件下，
f
( x)
axa1 sin
1
,
1 x
xa2
cos
1 x
b,
x 0, x 0,
x 2
（2 分）
f (0 0) ln 2 c, f (0 0) 0 ， 故当 c ln 2 时， f (x) 在 x 0 连续；（5 分）
2
2
2
4. 设 f (x) 在区间[a,b] 上具有连续的二阶导函数，且 x (a,b) ，满足
f (x) f (x) 0 ，则 f (x) 在区间 (a,b)上
（B）
（A）保号； （B）单调； （C）存在极值； （D）存在拐点。
5. 已知函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，对于两个命题 （I） f (x) 在点 x0 可导当且仅当 cos( f (x)) 在点 x0 可导； （II） f (x) 在点 x0 可导当且仅当 arctan( f (x)) 在点 x0 可导， 下列选项正确的是
解答 第 5 页
lim t(cost sin t) 1 .
t0 2 sin t
2
（8 分）
13. 计算极限 lim 1 xx 1 x2 。
x0 x arcsin x
解 原极限 lim (1 x)x 1 x2
x0
x2
lim
x0
e x ln(1 x ) x2
1
lim
x0
1 x2 1 x2
且 x U (x0,1) ， f (x) U (u0, ) ，从而 g( f (x)) g(u) g(u0) g( f (x0)) ，
即 g( f (x0 )) 是 g( f (x)) 的极大值，这矛盾。
（8 分）
B 类： 1~5：D，A，C，B，B.
6. a ,
sin x, x 0
7.
2x 1 x2 ,
10.
函数
f
(x)
max
x2 , x2
1 x(x
2)
在区间 (0,) 上的最小值等于
1 3
。
解答 第 1 页
三、（每小题 8 分，共 16 分）
11.
用极限定义验证：
lim
x
x2
2x2 3x
4
2
。
证明
0 ， X
max
8,
14
0 ， x ：
x
X 时，
x2
2x2 3x 4
2
（A）
（A） 1； （B） 2 ； （C） 3 ； （D） 5 。
3. 已知曲线 C 由极坐标方程 r （ 0 2 ）所确定，P 是 C 上对应于 2
的点。那么 C 在 P 点处的切线方程为
（C）
（A） r ；（B） y x 1；（C） y 2 x ；（D） y x 1。
2x 1
原极限 lim x arctan 1
x
2x 1
（4 分）
lim x 1 . x 2x 1 2
（8 分）
解2
令 arctan x t,
4
x 1
则
tan
t
1 1
x
x
1 x
1, 2x 1
x 1 (cot t 1), 2
x 1
原极限 lim t (cot t 1) t0 2
（4 分）
6x 8 x2 3x 4
7x 1 x2
14 x
，
2
所以 lim 2x2 2 。 x x2 3x 5
（3 分） （8 分）
2
12. 计算极限 lim 1 xx e2 1 x 。
x0
x
2
2
解
1 xx e2
lim
1 x
1 xx e2 e2 (
lim
1 x 1)
x0
x
x0
x
2
lim 1 x x e2 1 e2
所以极小值为 f ( x0 ) ，极大值为 f (x0 ) 。
因为 0 f ( x0 ) x0 a cos( x0 ) x0 a cos x0 ，
所以， f (x0 ) x0 a cos x0 ，即 f (x) 在 (0, 2) 中存在极大值 。
（2 分） （5 分） （8 分）
且对于任意的 x1 : a x1 x2 成立 f (x1) f (x2 ) ，
所以 f (x) 在区间[a,b] 上严格单调增加。
（6 分）
设 g(u) 在 u0 (c, d) 处取到极大值，则存在U (u0, ) (c, d) ，当 u U(u0 , ) 时，
g(u) g(u0 )。记 x0 f 1(u0 ) ，则 ( f 1(u0 ), f 1(u0 )) 包含 x0 的邻域U (x0,1) ，
2016 级第一学期高等数学期中试卷解答及评分标准
A 类：
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 数列极限 lim n sin n n n sin n
（D）
（A）不存在； （B）等于 1； （C）等于 0 ； （D）等于1。
2. 当 x 0 时， x 与1 e2x cos x cos 2x 是同价无穷小，则
, x0
11. 同 A 类 11 题。
8. 2x2x (ln x 1)dx , 9. 4,
10. 2.
12.
计算极限
lim
x
x
4
arctan
x
x
1
。
解1
由于 tan( arctan
x
1 )
4
x 1 1
x
x 1 x
1, 2x 1
x 1
故 arctan x arctan 1 ,
4
x 1
16. （1）证明： n Z ， k Z ，使得
k 1 n!e k 1
3
；
n 1
n 1 (n 1)(n 2)
（2）求极限 lim[nsin(2 n!e)]。 n
证 （1） n Z ： ex n1 1 xk e x xn2 （ 0 1），
i0 i!
(n 2)!
x 1
（A）仅（I）正确；
（B）仅（II）正确；
（C）（I）和（II）都正确；
（D）（I）和（II）都错误。
（B）
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 严格单调增加， f Leabharlann Baidu(x) 是其反函数。若对于常数
a ，方程 f (x) x a 有解 x1 ， f 1(x) x a 有解 x2 ，则 x1 x2 a 。
n 1
n 1 (n 1)(n 2)
2
故 n sin ( 2 ) nsin(2 n!e) n sin( 2
6
)，
n 1
n 1 (n 1)(n 2)
（8 分）
由于 n sin ( 2 ), n sin( 2
6
) 2 , n ,
n 1
n 1 (n 1)(n 2)
所以 lim[nsin(2 n!e)] 2 。 n
（2 分）
n 1 1
n!e n!
e
。
i0 i! n 1 (n 1)(n 2)
n
取 k n!
1 Z ，则
k
1
n!e k
1
3
。
i0 i!
n 1
n 1 (n 1)(n 2)
（2）当 n 充分大时，
（5 分）
2 n!e (2k 2 , 2k 2
6
) (2k , 2k ) ,