第三章静力学平衡问题解析

MA
FAx
B
Q
由
F
i 1
0
FAy Q 0
l MA Q 0 2
Q ql (↑) FAy
1 2 1 M A Ql ql () 2 2
20
由 M A ( Fi ) 0
例 题 3
起重机的配重问题 已知轨距b＝3m，机重 G＝500kN，e ＝1.5m, 最大起重量P＝250kN， l =10m, a =6m。求起 重机满载与空载时均不 翻倒的配重Q值。
——仅有5个独 立的平衡方程
各力对 l 轴之矩恒为零
5
重点
如果是平面问题（设为xy平面），则 3？ 个 平面任意力系独立平衡方程个数为
F
x
0,
F
y
0,
M F 0
O
上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为：
Fx 0 或 Fy 0 MA F 0 MB F 0
平衡方程仅有 FR Fi 0
即

F2
O
Fi
F1 M2
F
ix
0, Fiy 0, Fiz 0
F3
FR Fi 0 平衡方程仅有 MO Mi 0
即
（2）空间力偶系 ——3个独立方程
Mi
M1
4
M
第三章
力系的平衡条件与 平衡方程
1
本章内容是静力学部分的核心，包括： （1）力系的平衡条件。 （2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。 （3）带有摩擦的平衡问题。 关于“平衡”的概念 （1）物体或物体系统的平衡——相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。 （2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩 均为零。
2
3.1 力系的平衡方程
一、力系平衡的充要条件：
n n n FR Fi 0 , M O M O ( Fi ) (ri Fi ) 0 i 1 i 1 i 1
如果是空间问题，展开式为：
F
i 1 n i 1
n
ix
0,
F
i 1
F1
F2
F1
F2
7
特殊的平面力系及独立平衡方程个数： （1）平面汇交力系： 设汇交点为A
y
C A
F
i 1
n
ix
0
ix
F
i 1
n
B x
iy
0
两个独立方程！
或
F
n
i 1
n
0
（AB连线不 M ( F ) 0 B i
n i 1
i 1
n 或 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0 (A、B、C
A
F
r
r
l
B
由 M A ( Fi ) 0
n
a
Q

FNB cos l Fa 2Qr 0
FNB
i 1
A Fa 2Qr (方向如图) l cos
F FAy
2Qr FNB
B
18
FAx
由 Fix 0
i 1
n
FAx FNB sin 0
a) 坐标轴的建立尽量与较多的力平行或垂直
b) 力矩中心应尽量选在多个未知力的汇交点
（3）解方程，求出未知量 。
三、例题解析
已知支架受力如图，其中 Q Q 求A、B处的约束力。 解：取梁AB为分离体，画受力图。 Q
（平面任意力系，只有3个独立方程）
例 题 1
列出该梁的平衡方程。 选矩心为A点：
FAy l F (l a) 2Qr 0 该式不再独立，可作为校核。
19
例 题 2
求一端固支、一端自由的梁(悬臂 A 梁)固支端的约束力。
均布载荷（同向平行力系）合力为 Q
q
B
解：取AB为分离体，画出受力图。
l
A
FAy
由
n
F
i 1
i 1 n iy
n
ix
0
0 FAx
ix
0, Miy 0, Miz 0
M3
O
（3）空间平行力系 —3个独立方程
设各力平行于z 轴，则有
z
F2
O
Fi
F1
Fix 0, Fiy 0, Miz 0
平衡方程仅有
x
F3
F
iz
0, Mix 0, Miy 0
y
（4）其他 例如：空间各力与某轴 l 相交 l
M A F 0 M B F 0 M C F 0
条件是：A、B、C 三点不能共线
6
条件是：A、B 两点的连线不 能与x 轴（或y 轴）垂直
上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为 3， 若找到第四个方程，则必是前3个方程的线性组合， 并且不是独立的。 因此，对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡 问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未 知量；当未知量超过3个时，就属于静不定问题。 例如：
Fa 2Qr A tg (→) FAx FAx l n FAy FNB cos F 0 由 Fiy 0
i 1
F FAy
2Qr
NB
B
FAy F (l a) 2Qr
l
(↑)
若取矩心为B点，则有：
M B ( Fi ) 0
n i 1
n i 1
M B ( Fi ) 0
n i 1
其中 AB 与各 Fi 不平行。 两个独立方程！
9
小结
各种力系平衡方程的基本形式
补充：平行力系中心及分布载荷
11
12
13
14
15
小结
16
二、力系平衡问题的解决方法
（1）确定研究对象，取分离体作受力图；
（2）建立坐标系，列出平衡方程（选择技巧）；
n
iy
0,
n
F
i 1
n
iz
0 M Oz ( Fi ) 0
n i 1
M Ox ( Fi ) 0 ,
M Oy ( Fi ) 0 ,
i 1
以上6式称为空间任意力系的平衡方程，有6个独立的 3 平衡方程，可求得6个未知量。
特殊的空间力系及独立平衡方程个数：
3个独立方程 Leabharlann Baidu1）空间汇交力系 —— ∵各力交于O点 M O ( Fi ) 0
垂直于x轴） 三点不共线)
i 1
（2）平面力偶系： （各力偶Mi作用面相互平行即可）
M
i 1
n
i
0
一个独立方程！
8
（3）平面平行力系： 设各力与 y 轴平行
y
F1
A
O
Fi
B
Fn
F
i 1
n
iy
0
M A ( Fi ) 0
n i 1
x
或
M A ( Fi ) 0