第7讲正态分布

2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示
Hale Waihona Puke (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
六条性质 正态曲线的性质
三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲 线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件， 这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【示例】已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)， 则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )． D A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15%
D
考向一正态曲线的性质
[审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析 式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决 定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有 关．
【反思与悟】 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式 与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对 曲线的影响．
专题十二 概率、随机变量及其分布
第7讲 正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义． 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含 义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
(2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是 正态分布的两个特征数．
[审题视点]将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线 的对称性求解．
【反思与悟】 求服从正态分布的随机变量在某个区间 取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转 化为已知概率的三个区间上．
【变式2-1】 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ 0.7 ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________. 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称， 所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.
A
解析 根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布 曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大 值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较 平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭， 故选A.
考向二
服从正态分布的概率计算
【例2】设X～N(1,22)，试求 (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
∴不属于区间(3,5]的概率为 P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5) ＝1－P(4－1＜X≤4＋1) ＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)， 即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
正态分布中概率计算错误 【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的 分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标 高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生 往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算 错误． 【防范措施】 对正态分布N(μ，σ2)中两个参数对应的数值 及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为 σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
考向三 正态分布的应用 【例3】2013年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对 汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采 用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽 车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽 车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分 布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大 于9升的汽车大约有________辆． [审题视点] 根据正态密度曲线的对称性求解． 解 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对 称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7， 所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15， 故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
【反思与悟】 服从正态分布的随机变量在一个区间上的概 率就是这个区间上，正态密度曲线和 x 轴之间的曲边梯形 的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ＞x1)＝P(ξ＜ x2)时必然有 ＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重 要结论．
【变式3-1】 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布 N(4,1/9)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时， 不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？