§1.4 静电势,泊松方程与拉普拉斯方程
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俎栋林
计算穿过此高斯面的电通量：
EdsSE2nSE1n侧 面 通
＝ S/0
令S一阶无穷小，侧面高度趋于高阶无穷小。
则有
n(E 2 E 1)/0
(1.2.8)
或
电动力学
E2nE1n/0
(1.2.8a)
俎栋林
再研究界面两边电场切向分量满足什么规律？ 跨界面作矩形环路：
E d l lE 1 E 2 l 两短 边 0
F ri n1410 qr iq rr i 3 r i
▪这里须注意两点：①电荷必须静止；
(1.1.2) (1.1.3)
②电荷必须是点电荷。
▪点电荷概念：区别于数学上的点，电荷线度与距离相比很小， 但不是零；电磁学中的点电荷可看成是一个小圆球；在介质内 是宏观无穷小，微观无穷大。
▪若电荷连续分布在一个体积内，可引进电荷密度。
P d s P d v Q p p dv
(S )
(V )
(V )
由于高斯面是任意取的，由上面方程可以得到体极化
电荷和极化矢量场之间的关系：
p P
(1.3.3)
在介质分界面上，极化矢量可能不连续，作高斯柱面：
P d s S P p 2 n n (S P P 2 1 n P 1 )侧
电动力学
俎栋林
场-源关系：
散度和电荷密度点-点对应。
回忆散度的 定E 义(r :)(r )/0
E
lim
E ds
v0 v
根据此方程可以断言：在散度不为零的空间点一 定存在电荷；或者说，有电荷的地方，其电场一 定有散度。反过来说，凡是电场无散的地方一定 不存在电荷。
电动力学
俎栋林
2.静电场的无旋性
α1,α2,α3,(α1+α2+α3=2π) 。 每 个 二 面 角 内 充 满 一 种均匀介质,其介电常数分别为ε1,ε2,ε3。试分析空 间的极化电荷分布，并求电场强度和电感应强度分布。
电动力学
俎栋林
电动力学
俎栋林
电动力学总目录
第一章 静电场 第二章 稳恒电、磁场和静磁场 第三章 时变电磁场的普遍规律 第四章 时谐辐射电磁场 第五章 电磁波的传播 第六章 狭义相对论 第七章 运动电荷的辐射 第八章 电磁场(波)与电子(物质)相互作用
电动力学
俎栋林
第一章 静电场 目录
§1.1 真空中的静电场 §1.2 静电场的散度和旋度 §1.3 介质中的静电场 §1.4 静电势,泊松方程和拉普拉斯方程 §1.5 静电问题的唯一性定理 §1.6 分离变量法 §1.7 镜像法 §1.8 静电问题的格林函数法＃ §1.9 静电场的能量 §1.10 电多极矩及其与外场的相互作用
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.1 真空中的静电场
§1.1 真空中的静电场
1.库仑定律 2.真空中的电场和场强迭加原理
电动力学
俎栋林
1.库仑定律
1785年发表，精度4×10-2，数学 表述：
F12410q1qr22(r2r13r1) (1.1.1)
电动力学
俎栋林
wk.baidu.com
F21F12
▪如果点电荷q受到多个点电荷qi的作用
小结
❖ 从库仑实验定律出发得到普遍形式的库仑定律 （1.1.10）式
❖ 利用矢量场论中高斯定理和Stokes定理得到真空 静电场的规律(1.2.7)和(1.2.10)
❖ 研究介质中极化矢量和极化电荷的关系，引进辅
助量D,得到场的规律(1.3.11)和(1.3.13)
电动力学
俎栋林
作业：习题一
1.1 在半径为R，体电荷密度为ρ的均匀带电球体内部，挖 掉一个半径为R1的球形空腔，空腔的中心O1与带电体球 心O的距离为a(R1+a<R)。求空腔内的电场强度.
(1.3.7)
于是(1.3.6)式可写为 D 0
(1.3.8)
电动力学
俎栋林
在介质中电位移也形成一个矢量场：
其源是自由电荷
Ddsq0
(1.3.9)
在介质分界面上，作高斯柱面，利用(1.3.9)式可
得到边值关系之一为
n (D 2-D 1)0
(1.3.10)
介质中电场切向分量仍遵守(1.2.9)
电动力学
(1.2.9)
俎栋林
总 结：
体电荷分布：
E/0
E0
(1.2.7)
面电荷分布：
nn((EE22EE11))0/0 (1.2.10)
这就是真空中静电场的规律。
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.3 介质中的静电场
§1.3 介质中的静电场
1.介质极化与极化强度矢量 2.电介质中的电场与电位移矢量 3.导电介质(或导体)内、外的静电场
静电场的规律：场方程的
积分形式：
(
Eds
S)
(V
Edl 0
)
/
0dv
微分形式：
E
/
0
E 0
有源场 无旋场,保守场
电动力学
俎栋林
3.静电场的边值关系
❖界面两边的场可能 连续或不连续、不 可微；
❖场方程微分形式不 能用；
❖ 积分形式永远成立； ❖ 跨界面作高斯柱面：
电动力学
法线由1指向2
电动力学
俎栋林
1.介质极化与极化强度矢量 物质按其电磁性质可分为电介质(绝缘、导电)和磁介质
❖绝缘电介质可分两类 ：有极分子和无极分子
•定义：
Plim
p分子
(1.3.1)
v0 v
•对极化矢量场，研究其场-源关系(由电磁学)：
Pds Qp
(1.3.2)
(S)
电动力学
俎栋林
利用数学上高斯定理，把面积分化为体积分
1.3 有一介电常数为ε的空心介质球壳，其内，外半径分别 为r1和r2 ,球壳中均匀带电，体电荷密度为ρ。求：（i） 全空间的电场分布；（ii）球壳内体束缚电荷密度；（iii） 球壳内、外表面上的面束缚电荷密度。
1.4 有一点电荷q位于某一直线上，从该直线幅向地展开
三个半无限大平面，这三个面形成的三个二面角分别为
电动力学
俎栋林
E (r)410(r r )r r(3r)dv (1.1.10)
(1.1.10)式是静电学的核心问题。问题是：
1.积分很难：电荷对称分布可积，可求普遍解。 2.一般电荷分布不知道，由于场-电荷相互作用，场和电荷都
不知道。这需要研究场本身的规律。
电动力学
俎栋林
1.静电场的高斯定理
q
对任一闭合回路 c ，电场的环路积分：
cE dl4 10cV (r )(r r r r '3 )dl dv 410V (r)dvcr 1rdl
因为
1 R
R R3
410V (r')cd(R 1)0
电动力学
证毕
俎栋林
附注：
R 1R 1 2 R R 1 2R ˆR R 3
f(r)d(f
r')
0
(r' r)
(
r
r)
(r
r )d v
1
0
f
( r )
(r
r )d v
0
f (r)
r d v qir r id vqi (1.1.7)
vi
vi i
电动力学
俎栋林
2. 真空中的电场和场强迭加原理
Fq0E(r)
(1.1.8)
❖
试探电荷必须是点电荷，电荷量要小。电场 客观存在，称 为E(电r) 场强度。
电动力学
俎栋林
体电荷密度ρ: ρdv是点电荷
面电荷密度σ : σds是点电荷
lim
q
V0 V
lim
q
s0 S
(1.1.4) (1.1.5)
若点电荷不是连续分布，是分立分布的，可引进一个
特殊的密度函数：
(r) N qi(rri)
(1.1.6)
i1
电动力学
俎栋林
δ函数有三条性质：
(r
P e 0E (1.3.14)
•代入(1.3.7)式, 得
D 0 E P 0 (1 e)E
电动力学
俎栋林
定义相对介电常数:
r 1e
则
D0rEE
庆幸，常用电介质是线性、各向同性的。
(1.3.15) (1.3.16)
对于各向异性介质，例如晶体，其极化率是一个二
阶张量，介电常数也是二阶张量。其极化方向与电
场单强独迭存加在原时理在： rN点个产点生电的荷电在场 r的点矢产量生和的。电场等于每个点电荷
迭加原理类似于几何上的公理，用逻辑学无法证明。
从数学上说线性问题都满足迭加原理。
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.2 静电场的散度和旋度
§1.2 静电场的散度和旋度
1. 静电场的高斯定理 2. 静电场的无旋性 3 .静电场的边值关系
E ds
(S)
0
(1.2.1)
电动力学
俎栋林
证明：把库仑定律（1.1.10）式代入
令 R (Sr )E r 'ds441100V(S)(Vr)d(vr(r)S()rRrRrd33s)ndvds
410V(r)dv d
电动力学
俎栋林
因为
(S)d40
当r在S面 内 时 ； 当r不S 在 面 外 时 。
E(r)
不依赖于q0，
❖ 若电场由n个电荷激发，由(1.1.3)式
E ( r)410 i n1qi r( r ri r3i)
(1.1.9)
❖电荷连续分布，则：
E (r)410(r r)rr(3r)dv
(1.1.10)
电动力学
俎栋林
r是场点坐标，
r 是源点坐标。
(1.1.10)式是从库仑定律和迭加原理直接导出的一 个结果，是静电学的核心问题。
if
jf
k)(dixdjydkz)
x y x
f dxf dyf dzdf(r) x y x
电动力学
俎栋林
这就证明了静电场满足
Edl 0
利用Stokes定理
Edl Eds0
(c)
(S)
得
E0
写在一起：
E
/0
E 0
电动力学
(1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7)
俎栋林
场可以不一致。
3
Di jEj j1
(i1,2,3)
(1.3.17)
电动力学
俎栋林
对各向同性、线性介质,场规律为：
场方程：
D
0
E 0
边值关系：
n n ((D E 22 D E 11)) 00或 E D 2 2tn E D 1t1n00
对于真空情况 e= 0, r = 1, 以上规律也适合。因
所以有
Eds
1
(r)dv
(S)
0(Vs)
积分体积只限于S面所包围的体积，证毕。
电动力学
俎栋林
根据矢量场论中的高斯定理
E d s E d v /0 dv( 1 .2 .2 )
(S )
( V )
( V )
由于高斯面是任意取的，所以有
E /0
( 1 .2 .3 )
(1.2.1)是高斯定理的积分形式； (1.2.3)高斯定理的微分形式。
电动力学
俎栋林
令长边趋于一阶无穷小，短边趋于高阶无穷小，得
l(E 1E 2)0
令n为界 面l 法 线 、l ( nn 0 为 矩n 形0 ) 环 路 右 手l ( 法n 0 线 ，n 则)
于是，前式可改写为
(E 2 E 1)n 0 n 0
即
n0n(E 2E 1)0
因为小环路是n 任 意(E 取2的 ，E 于1)是 有0
此，上面方程也包括真空情况。
电动力学
俎栋林
3.导电介质(或导体)内、外的静电场
静电平衡条件： E导体内= 0
(1.3.18)
在导体表面外侧电场满足
nr r
r E
r
0
n D σ e
(3.1.19)
这表明静电平衡时，导体表面外侧电场切向分
量 Et 0 ，法向分量 En e/0 。
电动力学
俎栋林
面 P 通 S
(1.3.4)
电动力学
俎栋林
2.电介质中的电场与电位移矢量
极化电荷也是真实的电荷，也像自由电荷一样会激发电场。
故电场的散度方程右端应该补充一项极化电荷密度
E(0p)/0
(1.3.5)
把(1.3.3)式代入，得
E(0P)/0 移项整理，得
(0EP)0
(1.3.6)
定义电位移
D0EP
n (E 2 E 1) 0
电动力学
(1.2.9)
俎栋林
总结有介质时场的规律：场方程
微分形式
D
0
E 0
(1.3.11)
积分形式
D
ds
q0
Edl 0
(1.3.12)
电动力学
俎栋林
•边值关系： n(D2 D1)0
n(E2 E1)0
•辅助方程：
D0EP
(1.3.13)
(1.3.7)
•介质的极化规律：对于线性、各向同性介质，有
计算穿过此高斯面的电通量：
EdsSE2nSE1n侧 面 通
＝ S/0
令S一阶无穷小，侧面高度趋于高阶无穷小。
则有
n(E 2 E 1)/0
(1.2.8)
或
电动力学
E2nE1n/0
(1.2.8a)
俎栋林
再研究界面两边电场切向分量满足什么规律？ 跨界面作矩形环路：
E d l lE 1 E 2 l 两短 边 0
F ri n1410 qr iq rr i 3 r i
▪这里须注意两点：①电荷必须静止；
(1.1.2) (1.1.3)
②电荷必须是点电荷。
▪点电荷概念：区别于数学上的点，电荷线度与距离相比很小， 但不是零；电磁学中的点电荷可看成是一个小圆球；在介质内 是宏观无穷小，微观无穷大。
▪若电荷连续分布在一个体积内，可引进电荷密度。
P d s P d v Q p p dv
(S )
(V )
(V )
由于高斯面是任意取的，由上面方程可以得到体极化
电荷和极化矢量场之间的关系：
p P
(1.3.3)
在介质分界面上，极化矢量可能不连续，作高斯柱面：
P d s S P p 2 n n (S P P 2 1 n P 1 )侧
电动力学
俎栋林
场-源关系：
散度和电荷密度点-点对应。
回忆散度的 定E 义(r :)(r )/0
E
lim
E ds
v0 v
根据此方程可以断言：在散度不为零的空间点一 定存在电荷；或者说，有电荷的地方，其电场一 定有散度。反过来说，凡是电场无散的地方一定 不存在电荷。
电动力学
俎栋林
2.静电场的无旋性
α1,α2,α3,(α1+α2+α3=2π) 。 每 个 二 面 角 内 充 满 一 种均匀介质,其介电常数分别为ε1,ε2,ε3。试分析空 间的极化电荷分布，并求电场强度和电感应强度分布。
电动力学
俎栋林
电动力学
俎栋林
电动力学总目录
第一章 静电场 第二章 稳恒电、磁场和静磁场 第三章 时变电磁场的普遍规律 第四章 时谐辐射电磁场 第五章 电磁波的传播 第六章 狭义相对论 第七章 运动电荷的辐射 第八章 电磁场(波)与电子(物质)相互作用
电动力学
俎栋林
第一章 静电场 目录
§1.1 真空中的静电场 §1.2 静电场的散度和旋度 §1.3 介质中的静电场 §1.4 静电势,泊松方程和拉普拉斯方程 §1.5 静电问题的唯一性定理 §1.6 分离变量法 §1.7 镜像法 §1.8 静电问题的格林函数法＃ §1.9 静电场的能量 §1.10 电多极矩及其与外场的相互作用
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.1 真空中的静电场
§1.1 真空中的静电场
1.库仑定律 2.真空中的电场和场强迭加原理
电动力学
俎栋林
1.库仑定律
1785年发表，精度4×10-2，数学 表述：
F12410q1qr22(r2r13r1) (1.1.1)
电动力学
俎栋林
wk.baidu.com
F21F12
▪如果点电荷q受到多个点电荷qi的作用
小结
❖ 从库仑实验定律出发得到普遍形式的库仑定律 （1.1.10）式
❖ 利用矢量场论中高斯定理和Stokes定理得到真空 静电场的规律(1.2.7)和(1.2.10)
❖ 研究介质中极化矢量和极化电荷的关系，引进辅
助量D,得到场的规律(1.3.11)和(1.3.13)
电动力学
俎栋林
作业：习题一
1.1 在半径为R，体电荷密度为ρ的均匀带电球体内部，挖 掉一个半径为R1的球形空腔，空腔的中心O1与带电体球 心O的距离为a(R1+a<R)。求空腔内的电场强度.
(1.3.7)
于是(1.3.6)式可写为 D 0
(1.3.8)
电动力学
俎栋林
在介质中电位移也形成一个矢量场：
其源是自由电荷
Ddsq0
(1.3.9)
在介质分界面上，作高斯柱面，利用(1.3.9)式可
得到边值关系之一为
n (D 2-D 1)0
(1.3.10)
介质中电场切向分量仍遵守(1.2.9)
电动力学
(1.2.9)
俎栋林
总 结：
体电荷分布：
E/0
E0
(1.2.7)
面电荷分布：
nn((EE22EE11))0/0 (1.2.10)
这就是真空中静电场的规律。
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.3 介质中的静电场
§1.3 介质中的静电场
1.介质极化与极化强度矢量 2.电介质中的电场与电位移矢量 3.导电介质(或导体)内、外的静电场
静电场的规律：场方程的
积分形式：
(
Eds
S)
(V
Edl 0
)
/
0dv
微分形式：
E
/
0
E 0
有源场 无旋场,保守场
电动力学
俎栋林
3.静电场的边值关系
❖界面两边的场可能 连续或不连续、不 可微；
❖场方程微分形式不 能用；
❖ 积分形式永远成立； ❖ 跨界面作高斯柱面：
电动力学
法线由1指向2
电动力学
俎栋林
1.介质极化与极化强度矢量 物质按其电磁性质可分为电介质(绝缘、导电)和磁介质
❖绝缘电介质可分两类 ：有极分子和无极分子
•定义：
Plim
p分子
(1.3.1)
v0 v
•对极化矢量场，研究其场-源关系(由电磁学)：
Pds Qp
(1.3.2)
(S)
电动力学
俎栋林
利用数学上高斯定理，把面积分化为体积分
1.3 有一介电常数为ε的空心介质球壳，其内，外半径分别 为r1和r2 ,球壳中均匀带电，体电荷密度为ρ。求：（i） 全空间的电场分布；（ii）球壳内体束缚电荷密度；（iii） 球壳内、外表面上的面束缚电荷密度。
1.4 有一点电荷q位于某一直线上，从该直线幅向地展开
三个半无限大平面，这三个面形成的三个二面角分别为
电动力学
俎栋林
E (r)410(r r )r r(3r)dv (1.1.10)
(1.1.10)式是静电学的核心问题。问题是：
1.积分很难：电荷对称分布可积，可求普遍解。 2.一般电荷分布不知道，由于场-电荷相互作用，场和电荷都
不知道。这需要研究场本身的规律。
电动力学
俎栋林
1.静电场的高斯定理
q
对任一闭合回路 c ，电场的环路积分：
cE dl4 10cV (r )(r r r r '3 )dl dv 410V (r)dvcr 1rdl
因为
1 R
R R3
410V (r')cd(R 1)0
电动力学
证毕
俎栋林
附注：
R 1R 1 2 R R 1 2R ˆR R 3
f(r)d(f
r')
0
(r' r)
(
r
r)
(r
r )d v
1
0
f
( r )
(r
r )d v
0
f (r)
r d v qir r id vqi (1.1.7)
vi
vi i
电动力学
俎栋林
2. 真空中的电场和场强迭加原理
Fq0E(r)
(1.1.8)
❖
试探电荷必须是点电荷，电荷量要小。电场 客观存在，称 为E(电r) 场强度。
电动力学
俎栋林
体电荷密度ρ: ρdv是点电荷
面电荷密度σ : σds是点电荷
lim
q
V0 V
lim
q
s0 S
(1.1.4) (1.1.5)
若点电荷不是连续分布，是分立分布的，可引进一个
特殊的密度函数：
(r) N qi(rri)
(1.1.6)
i1
电动力学
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δ函数有三条性质：
(r
P e 0E (1.3.14)
•代入(1.3.7)式, 得
D 0 E P 0 (1 e)E
电动力学
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定义相对介电常数:
r 1e
则
D0rEE
庆幸，常用电介质是线性、各向同性的。
(1.3.15) (1.3.16)
对于各向异性介质，例如晶体，其极化率是一个二
阶张量，介电常数也是二阶张量。其极化方向与电
场单强独迭存加在原时理在： rN点个产点生电的荷电在场 r的点矢产量生和的。电场等于每个点电荷
迭加原理类似于几何上的公理，用逻辑学无法证明。
从数学上说线性问题都满足迭加原理。
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.2 静电场的散度和旋度
§1.2 静电场的散度和旋度
1. 静电场的高斯定理 2. 静电场的无旋性 3 .静电场的边值关系
E ds
(S)
0
(1.2.1)
电动力学
俎栋林
证明：把库仑定律（1.1.10）式代入
令 R (Sr )E r 'ds441100V(S)(Vr)d(vr(r)S()rRrRrd33s)ndvds
410V(r)dv d
电动力学
俎栋林
因为
(S)d40
当r在S面 内 时 ； 当r不S 在 面 外 时 。
E(r)
不依赖于q0，
❖ 若电场由n个电荷激发，由(1.1.3)式
E ( r)410 i n1qi r( r ri r3i)
(1.1.9)
❖电荷连续分布，则：
E (r)410(r r)rr(3r)dv
(1.1.10)
电动力学
俎栋林
r是场点坐标，
r 是源点坐标。
(1.1.10)式是从库仑定律和迭加原理直接导出的一 个结果，是静电学的核心问题。
if
jf
k)(dixdjydkz)
x y x
f dxf dyf dzdf(r) x y x
电动力学
俎栋林
这就证明了静电场满足
Edl 0
利用Stokes定理
Edl Eds0
(c)
(S)
得
E0
写在一起：
E
/0
E 0
电动力学
(1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7)
俎栋林
场可以不一致。
3
Di jEj j1
(i1,2,3)
(1.3.17)
电动力学
俎栋林
对各向同性、线性介质,场规律为：
场方程：
D
0
E 0
边值关系：
n n ((D E 22 D E 11)) 00或 E D 2 2tn E D 1t1n00
对于真空情况 e= 0, r = 1, 以上规律也适合。因
所以有
Eds
1
(r)dv
(S)
0(Vs)
积分体积只限于S面所包围的体积，证毕。
电动力学
俎栋林
根据矢量场论中的高斯定理
E d s E d v /0 dv( 1 .2 .2 )
(S )
( V )
( V )
由于高斯面是任意取的，所以有
E /0
( 1 .2 .3 )
(1.2.1)是高斯定理的积分形式； (1.2.3)高斯定理的微分形式。
电动力学
俎栋林
令长边趋于一阶无穷小，短边趋于高阶无穷小，得
l(E 1E 2)0
令n为界 面l 法 线 、l ( nn 0 为 矩n 形0 ) 环 路 右 手l ( 法n 0 线 ，n 则)
于是，前式可改写为
(E 2 E 1)n 0 n 0
即
n0n(E 2E 1)0
因为小环路是n 任 意(E 取2的 ，E 于1)是 有0
此，上面方程也包括真空情况。
电动力学
俎栋林
3.导电介质(或导体)内、外的静电场
静电平衡条件： E导体内= 0
(1.3.18)
在导体表面外侧电场满足
nr r
r E
r
0
n D σ e
(3.1.19)
这表明静电平衡时，导体表面外侧电场切向分
量 Et 0 ，法向分量 En e/0 。
电动力学
俎栋林
面 P 通 S
(1.3.4)
电动力学
俎栋林
2.电介质中的电场与电位移矢量
极化电荷也是真实的电荷，也像自由电荷一样会激发电场。
故电场的散度方程右端应该补充一项极化电荷密度
E(0p)/0
(1.3.5)
把(1.3.3)式代入，得
E(0P)/0 移项整理，得
(0EP)0
(1.3.6)
定义电位移
D0EP
n (E 2 E 1) 0
电动力学
(1.2.9)
俎栋林
总结有介质时场的规律：场方程
微分形式
D
0
E 0
(1.3.11)
积分形式
D
ds
q0
Edl 0
(1.3.12)
电动力学
俎栋林
•边值关系： n(D2 D1)0
n(E2 E1)0
•辅助方程：
D0EP
(1.3.13)
(1.3.7)
•介质的极化规律：对于线性、各向同性介质，有