结构力学—— 结构的稳定计算

第一解： θ 0
第二解： FP klcos
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16 结构的稳定计算
FP
II 不稳定
FPcr
I 稳定
θ0
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl
FP klcos
(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论
临界荷载：
FPcr kl
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16 结构的稳定计算
在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。
1、单自由度完善体系的分支点失稳
EI1= l
FP B
k
A
FR
FP
B
k
x
MO 0
FP lsinθ FR lcosθ 0
FR kΔ klsinθ
FP klcosθlsinθ 0
OAy
主要计算方法：
静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。
能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。
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16 结构的稳定计算
一、静力法
16 结构的稳定计算
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结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
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16 结构的稳定计算
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
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第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
II 不稳定
FPcr
0
缩变形。轻微侧扰，杆件微 弯；干扰撤消，状态复原 （平衡路径唯一）。
θ
ε
O
0.1 0.2 0.3
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(2) 小挠度理论
FP
kl 1
θ
ε
ε
kl
θ
ε
FP B
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为
不稳定平衡
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结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。
结构的失稳类型
第一类失稳（分支点失稳） 第二类失稳（极值点失稳）
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第二类失稳的基本特征
是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。
FP
FP
l
FPcr
O
非完善体系
初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，杆件便丧失原承载 能力。
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP
B
FR
k
k
x
MO 0
FP
B FPlsin( θ) FRl cos( θ) 0
l
l
FR kl sin θ ε sin ε
A
O
Ay
FP
klcos θ
ε
1
sinε
sin θ
ε
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(1) 大挠度理论
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§16.2 有限自由度体系的临界荷载
确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。
FP
FP
FP
EI= k
EI=
EI=
k
EI=
DOF = 1
DOF = 2
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DOF =
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所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为
稳定平衡
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为
随遇平衡
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FP kl
cosθ ε1
sinε
sinθ ε
求极值点处的临界荷载
FP/kl
d FP 0
d
1.00
0.695 0.536
ε＝0
1
sin( θ) sin3
FPcr
2
3
(1 sin 3 )2
kl
FP/kl
0.695 0.536 0.415
ε＝0
0.38 0.42 1.37 1.47 1.57
FP
FP
Δ
f
FPcr
O
l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
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稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
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发生第二类失稳的情况：
FP
FP
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
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扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征
当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。
l
I 稳定
0
FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可
进入弯曲平衡状态（平衡路
完善体系
O
径不唯一）。
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发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
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