斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列与黄金分割

摘要：斐波纳契数列（FibonFcci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下

被以递归的方法定义：F

0=0，F

1

=1，F

n

=F

(n-1)

+F

(n-2)

（n≥2，n∈N*），由意大利数学

家列昂纳多·斐波那契发明，在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。黄金分割这一数学概念是二千多年前由希腊数学家欧多克斯发现的。它不仅仅是平面几何中的概念, 与日常生活的联系也非常密切, 在美术、音乐、建筑等领域通过运用黄金分割原理, 给我们带来了美的享受。斐波那契数列的前一位数除以后一位数无限接近于黄金分割率，所以斐波那契数列又被称为黄金数列。

关键词：斐波那契数列黄金分割比值关联

斐波那契数列最初是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契在研究小兔问题的时候发现并提出的。小兔问题如下：兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问一年后共有多少对兔子（如果生下的小兔都不死）？将每个月的兔子数量都列出来就可以得到这样的一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……。如果我们我们将表中的兔子数用{Fn}表示，下标n表示月份数，则{Fn}称为斐波那契数列。观察{Fn}不难发现，第n+1个月时的兔子可分为两类：一类是第n 个月时的兔子；另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔数恰好是第n-1个月时的兔子数（它们到第n+1个月时均可生殖）.因此{Fn}之间有如下递推关系：

由此可推出：

求此通项的方法有很多，在此就不一一介绍了。主要可以利用特征方程（线性代数解法）或者待定系数法构造等比数列（初等代数解法）

仔细观察这个通项式，我们不难发现一个有趣的事实，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项

与后一项的比值越来越逼近0.618。证明过程简要如下：F

[n+2]=F

[n+1]

+F

[n]

。两

边同时除以F

[n+1]得到：F

[n+2]

÷F

[n+1]

=1+F

[n]

÷F

[n+1]

。若F

[n+1]

÷F

[n]

的极限存在，设其

极限为x，则lim[n→∞](F

[n+2]÷F

[n+1]

)=lim[n→∞](F

[n+1]

÷F

[n]

)=x。所以x=1+1/x。

即x²=x+1。从而：

当看到0.618这个数字的时候相信很多人都会觉得很熟悉，没错，这就是我们日常生活中经常能够看到听到的黄金分割比！黄金分割是二千多年前由希腊数学家欧多克斯发现的，蕴含着客观的视觉美和数学的奇异之美，这是包含数学爱好者、诗人、美术家、建筑师、健美教练、生物学家在内的许多人的共识。我们可以举出太多的例子：埃及的金字塔、印度的泰姬陵、法国的埃菲尔铁塔上都可

以发现它的影子。而又因为斐波那契数列中暗含着黄金分割比，所以在生活中的很多事物都能联系上斐波那契数列。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。看看松果和菠萝的螺旋，你不得不赞叹大自然的奇妙！

杨辉三角是另一个能体现斐波那契数列和黄金分割比密切关系的数学例子。

将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

F⑴=C(0,0)=1。

F⑵=C(1,0)=1。

F⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。

F⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。

F⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。

F⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。

F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。

……

F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

看着这杨辉三角暗含的斐波那契数列和黄金分割比的完美的对称美，你不得不赞叹数学的神奇与非凡的魅力！

后记：关于斐波那契数列和黄金分割的关系到这里就告一个段落，通过本次的学习思考，让我对斐波那契数列以及数列的极限有了更加深刻的了解，也让我体会到了数学的魅力，明白了其实数学蕴含在生活的每个角落，用心去观察体会思考生活，也可以发现许多数学的道理。同时还增强了我的数学思维和探究解决问题的能力，让我获益匪浅。

参考文献：百度百科、生小兔问题——斐波那契数列（Kinsong）、黄金分割

与Fibonacci数列（叶军）

理科基础班王文涛

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