游戏的公平与不公平习题(B卷)

游戏的公平与不公平习题(B卷)
一、七彩题
1．（一题多解题）用两种方法求：连续掷一枚硬币两次，出现一正一反的可能性．
2．（一题多变题）游戏者同时转动图中的两个转盘进行“配紫色”游戏，•求游戏者获胜的可能性大小．（注：红色和蓝色合在一起成紫色）
（1）一变：游戏者同时转动图中的两个转盘进行“配紫色”游戏，求游戏者获胜的可能性大小．
（2）二变：游戏者同时转盘图11-2-7中的两个转盘进行“配紫色”游戏，•若要使游戏者获胜的可能性为时，第一个转盘不变，第二个转盘如何设计？
二、知识交叉题
3．（当堂交叉题）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：
张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转
盘，转动停止后，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否
则，王华得到入场券；
王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1，2，3后，放
入一个不透明的袋子中．摇匀后，从中随机取出一个小球，记下小球上的数，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球，记下小球上的数．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，•王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．
请你运用所学的知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平．
4．（科内交叉题）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机．其中甲品牌的有A，B两种型号，乙品牌的有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、•乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．
（1）写出所有选购方案；
（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C•型号的打印机被选购的可能性是多少？
（3）各种型号的打印机的价格如下表：
甲品牌乙品牌
型号 A B C D E
价格（元）2000 1700 1300 1200 1000
朝阳中学购买了两种品牌的打印机共30台，其中乙品牌的选购了E型号，•共用去资金5万元，问E型号的打印机购买了多少台？
三、实际应用题
5．将A，B，C，D四人随机分成甲，乙两组参加羽毛球比赛，每组两人，列出所有可能出现的结果．
（1）A在甲组的可能性是多少？
（2）A，B都在甲组的可能性是多少？
四、经典中考题
6．（2008，南宁，2分）在一个不透明的摇奖箱内装有20个形状，大小，•质地等完全相同的小球，其中只有5个球标有中奖标志，•那么随机抽取一个小球中奖的可能性是_______．
7．（2008，北京（有改动），4分）如图，有5张形状、大小、•质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽，吉祥物（福娃），火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，•抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的可能性是（）
A．1
5
B．
2
5
C．
1
2
D．
3
5
8．（2008，天津（有改动），3分）掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的可能性等于（）
A．1 B．1
2
C．
1
4
D．0
五、探究学习
1．（结论开放题）甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1，2，3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，•记住球上标注的数字，然后记乙同学抛掷一枚质地均匀的、各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，记住掷得的点数，又得到另一个数字，再把两个数字相加．若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜．
（1）请把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；
（2）这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，•请你加以改进，使游戏变得公平．
2．阅读以下材料，并解答以下问题．“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m （种）不同的方法．在第二类方案中有n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不贩方法，那么完成这件事共有N=mn（种）不同的方法，这就是分步乘法的计数原理．”如完成沿图1所示的街道从A点出发向B•点行进这件事（规定必须向北走或向东走），会有多少种不同的走法，其中从A•点出发到某些交叉点的走法数已在图2中填出．
图1 图2
（1）根据以上原理和图2的提示，算出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？
（2）运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C•的走法有多少种？
（3）现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求如任选一种走法，从A点出发能顺利开开到达B点（无返回）的可能性是多少？
3．（统计方案设计题）设计一个两步摸球游戏，使两次摸到红球的可能性为3
8
．
四、说理题
4．在一个不透明的盒子中装着分别标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球．•现在甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：“甲先从盒子中随机摸出一个小球，记下小球的数字后放回，摇匀后，乙再从盒子中随机摸出一个小球，也记下小球的数字后放回，则游戏结束，若记下的数字甲比乙大，则甲获胜；若记下的数字甲不比乙大，则乙获胜”．
（1）请你分析此游戏可能出现的结果有多少种；
（2）该游戏对甲、乙双方公平吗？说明理由．
参考答案
一、1．分析：求某事件发生可能性的方法有两种：一是树状图法，二是列表法．
解法一：画树状图，如答图11-2-1所示：
由树状图可知共有4种可能，出现“一正一反”的可能性是2
4
=
1
2
．
解法二：列表：
正反
正（正，正）（正，反）
反（反，正）（反，反）
由上表可知共有4种可能，出现“一正一反”的可能性为2
4
=
1
2
．点拨：无论用哪种
方法求解，要做到不重不漏，即要把所有可能的情况列出来．
2．分析：根据转盘各颜色区域的大小，列出所有可能出现的情况，•再找红色和蓝色在一起的数目．
解：列表：
红白
蓝（蓝，红）（蓝，白）
白（白，红）（白，白）
所以，游戏者获胜的可能性为
4
．
（1）把题图②中的白色区域平分为两部分，记为白1，白2，列表：
红白
蓝（蓝，红）（蓝，白）
白1 （白1，红）（白1，白）
白2 （白2，红）（白2，白）
所以，游戏者获胜的可能性为1
6
．
（2）如图所示（提供一种）．
点拨：红色加上蓝色是紫色，图中的白色区域可以平均分成四份，•每份和蓝色区域大小是相同的．
二、3．分析：要分析设计方案对双方是否公平，需求出每种方案双方获胜的可能性大小．
解：张彬的设计方案：张彬得到入场券的可能性为[360-（100+70）÷360=19
36
，王华
得到入场券的可能性为（100+70）÷360=17
36
，因为
19
36
>
17
36
，所以张彬的设计方案对双方
不公平．
王华的设计方案：可能出现的所有结果列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
所以王华得到入场券（即和为偶数）的可能性为5
9
，张彬得到入场券（即和不为偶数）
的可能性为4
9
，因为
5
9
>
4
9
，所以王华的设计方案对双方也不公平．
点拨：双方获胜的可能性若相等，则游戏对双方是公平的；若不相等，则是不公平的．4．分析：先列出所有选购方案，再求C型号打印机被选购的可能性的大小．解：（1）所有选购方案为：（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）（•括号中前一个表示从甲品牌中选购的，后一个表示从乙品牌中选购的），共6种情况．
（2）由（1）知C型号的打印机被选购的可能性大小为2
6
=
1
3
．
（3）设选购E型号的打印机x台（x为正整数），则选购甲品牌（A或B型号）的（30-x）•台，由题意，得当甲品牌选A型号时，1000x+（30-x）×2000=50000，解得x=10．当甲品牌选B型号时，1000x+（30-x）×1700=50000，
解得x=10
7
（不合题意），故E型号的打印机应选购
10台．
点拨：本题综合考查了列方程解应用题及确定随机事件的可能性等知识．
三、5．分析：将A，B，C，D四人随机分成甲，乙两组所有可能出现的结果列出，再求解．
解：所有可能出现的结果如下：
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
（1）所有的结果中，满足A在甲组的结果有3种，
所以A在甲组的可能性为
3
6
=
1
2
．
（2）所有的结果中，满足A，B都在甲组的结果只有1种，
所以A，B都在甲组的可能性为
1
6
．
点拨：用列表法列出所有分组的结果比较简便．
四、6．
1
4
点拨：
5
20
=
1
4
．
7．B 点拨：因为5张卡片中，印有吉祥物的卡片只有两张，
因此抽出卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的可能性为，故选B．
8．C 点拨：可能出现的结果为：正正，正反，反正，反反，•
所以全部正面朝上的可能性为
1
4
．
五、探究学习
1．分析：先用适当的方法将两人所得的数字之和的所有结果列举出来，再分别计算数字之和小于7，等于大于7的可能性，最后判断出游戏的公平性．
解：（1）如图所示．
（2）甲获胜的可能性为
12
18
=
2
3
，乙获胜的可能性为
6
18
=
1
3
，所以这个游戏对双方不公平．公平的游戏规则为：若两人所得的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．理由如下：•两人所得的数字之和小于6的可能性为
9
18
=
1
2
；数字之和大于且等于6的可能性也为，
甲组乙组
AB CD
AC BD
AD BC
BC AD
BD AC
CD AB
所以对于双方是公平的1
2
．
点拨：（1）也可用列法表；（2）答案不唯一，只要符合要求即可．
2．分析：通过阅读，弄懂题意是解答的关键．
解：（1）因为完成从A点到达B点必须向北走或向东走，所以到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边的交叉点和西边的交叉点的数之和，•故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．
图1 图2
故从A点出发到B点的走法共有35种．
（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B•点总的走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C 点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分步乘法计数原理，算出从A点到C点的走法有3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，•再动用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18（种），所以从A•点到B点不经过C点的走法有35-18=17（种）．
图3 图4
方法二：交叉点C可视为相邻道路不通，可删除与C点相连的线段，从A点到各交叉点
的走法数见图4．
所以从A点到B点并禁止经过C点的走法有17种．
（3）从A点出发能顺利开车到达B点的可能性为17 35
．
3．解：在不透明袋甲中放入1个红球，1个黑球，不透明袋乙中放入3个红球，1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，分别从甲，乙两袋中各摸出一球，两次都摸到红球的可能
性为1
2
×
3
4
=
3
8
．
点拨：本题的设计方案是开放的，只要符合题意即可．
4．分析：明确游戏规则是解答的关键．
解：（1）这个游戏可能出现的结果共有16种（括号中前一个表示甲，后一个表示乙），即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（2）该游戏对甲，乙双方不公平，理由如下：
因为记下的数字甲比乙大的有6种情况，分别是（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），
（4，2），（4，3）．所以甲获胜的可能性为6÷16=3
8
，乙获胜的可能性为（16-6）÷16=
5
8
，
•所以该游戏对甲，乙双方不公平．
点拨：先求出甲、乙分别获胜的可能性，再比较其大小，最后判断是否公平．。