第二章弹性力学的理论基础

同理：
PB2 PB v y PB y
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2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
xy
右图线段PA的转角: 线段PB的转角:
v v v dx v AA2 v x tg x u u x PA2 dx dx 1 x x
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2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
Fy 0
xy x

y y
Y 0
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2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程 3) 各力对单元体中心的力距代数和应等于零
xy yx dx dx dy dy d x t d y t d y d y t d x t d x 0 xy yx xy x yx y 2 2 2 2 除以 tdxdy ，并略去微量项，合并相同的项后得出
x B 0 y 0 y x
0 u B q y v x
几何矩阵
u 位移向量 q v
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F
x
0
yx x d x t d y t d y dy tdx yxtdx Xtdxdy 0 x x yx x y
化简后，两边除以 tdxdy x yx X 0 x y 2) 各力在y轴方向上的投影代数和应等于零
1）分析各点的位移
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2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小
的。
u u dx u dx u dx dx PA2 PA u x x 正应变的定义有： x PA dx dx x
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2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 3）应变 物体变形以后，这三个棱边(线段)的长度 及它们之间的角度改变，就作为该点的变形。 正应变(相对变形或线应变)：线段每单位长度的伸缩。 剪应变：线段之间直角的改变。
这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点 的形变状态。 已知这六个应变，就可以求得经过该点的任一线段的正 应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间的角度改变。
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2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 由材料力学的剪应力互等定理，六个剪应力是 两两相等的，即有
xy yx ,
yz zy ,
zx xz
3）应变 单元体受力之后，要发生形状的改变。 为了描述物体内某点的变形，就在该点取一 个平行于坐标轴的微元体。
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2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体 的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。 从取微元体入手，综合考虑静力(或运动)、几何、物理 三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用 边界(表面)条件确定解中的常数 将其中的一部份未知函数选为“基本未知函数”，先 将它们求出，然后再由此求出其他的未知函数，而得到问题 的全部解答。 以应力为“基本未知函数”的应力解法和以位移作为 “基本未知函数”的位移解法。 在一定边界条件下，按选取的解题方法(应力法或位移法)， 求出其相应微分方程组的解。
右面的剪应力将是 xy
xy x dx
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2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分 布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。 1) 各力在x轴方向上的投影代数和应等于零
x
xy yz zx
1 xy G 1 yz G 1 zx G
G—剪切模量，又可称为刚度模量； E—拉压弹性模量，也可简称为弹性模 量； u—侧向收缩系数，也可称为泊松比系 数。
G
E 2(1 )
根据弹性力学的基本假设，这些弹 性常数不随应力或应变的大小而变，不 随位置坐标而变，也不随方向而变。
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2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 1）外力 作用于物体上的外力，按其作用方式的不同，可以分为体积 力和表面力两类，两者也分别简称为体力和面力。 体力：是指分布在物体体积内部的力，如物体的自重、惯性 力、温度和磁吸力等。 一般在物体内部各点的体力是不相同的，若将任一点P处单 位体积内所作用的体力，沿着直角坐标轴x、y、z三个方向的投影， 分别记为X、Y、Z，则这三个量被称为物体在该点的体力分量。 面力：是指作用在物体表面上的力，如作用在墙梁上的均 布荷载、水坝上游表面的静水压力、挡土墙的土压力和温度的 对流等。作用在物体表面上各点力的大小和方向一般也是不相 同的。
tg
BB2 u PB2 y
xy
v u x y
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2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 综上所述，平面问题的几何方程 u x x v y 分别求二阶导数有 y v u xy x y
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2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程 思路是：从弹性体中任一点处取出一个微元体，考虑其 平衡，应用静力学的三个平衡条件，找出应力与体力的关系。
微小单元体上作用有内部的体积力和四个 侧面上的应力。
x 1 2 x 2 xdx x dx dx 2 x 2 x 略去二阶及二阶以上的微量后： x x dx x 同样设左面的剪应力是 xy
2 x 3u 2 y xy 2
2 y
3v 2 x yx 2
变形协调方程 或相容方程
2 2 2 x y 2 u v xy 2 2 y x xy y x xy
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2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 4）位移 物体在受力之后或其它原因(如温度改变)，其内部各点将 发生位移。
弹性体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量，应 变分量以及位移分量，都是随点的位置不同而不同，因而它们 都是点的位置坐标的连续函数。 （3）弹性力学问题求解的基本方法 在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。 考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
M
o
0
x yx X 0 x y xy y Y 0 x y
超静定问题
xy yx
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2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 平面内的变形状态的两类物理量：
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程
u x x v y y v u xy x y
u x x x v 0 ε y y xy u v y x y
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2.2 弹性力学的基本方程
（3）物理方程
在平面应力问题中
x
z zy zx 0
σ ——为应力向量
E x y 1 2 E y y x 1 2 E E 1 xy xy xy 21 1 2 2
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wk.baidu.com第二章
弹性力学理论基础
第一节 基本假设和基本概念 第二节 弹性力学的基本方程 第三节 轴对称问题的基本方程 第四节 有限元的理论基础
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2.1 基本假设和基本概念
（1）弹性力学的基本假设 基本假设： 1) 连续性假设，即物体内部都被组成该物体的介质所填满，没 有任何空隙。这样，物体中的应力、应变、位移等量都是连续的 ，可以用坐标的连续函数表示。 2) 均匀性和各向同性假设，即物体内所有各点和所有方向上有 相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随位置坐标和方向而变 化。 3) 线弹性假设，即物体在产生变形的外加因素(外力、温度变 化等)被除去以后，能完全恢复到原状而没有任何剩余变形。 满足上述条件的物体，则称为理想弹性体。 4) 无初应力假设，即物体在未受载荷或温度变化等作用之前， 其内部无应力，即物体处于自然状态。 5) 小变形假设，即在外加因素作用下，物体的变形或位移，与 物体原有尺寸相比是很微小的。 根据上述基本假设而建立的弹性力学，称为线性弹性力学。
2.2 弹性力学的基本方程
（3）物理方程 物理方程或弹性方程：表示应力分量与应变分量的关系式。 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的 关系可根据广义虎克定律(Hooke’s law)导出为：
1 x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
σ Dε
x σ y xy
x ε y xy
1 E D 1 2 0

1 0
0 0 1 2
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