超静定结构-位移法(平衡方程法)

例１：用位移法求解图示刚架
15kN/m 1 8kN
基本体系
原结构位移 =Δ1引起的位移 +荷载引起的位移 原结构内力 =Δ1引起的内力 +荷载引起的内力
基本方程:（外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。）
F1 F11 F1P 0
例１：用位移法求解图示刚架 基本方程:
FP
D
2FPL
A
B
E
L
L
L C
L
作业： 1、当考虑一个未知数时，分别用两种方法分析计算； 2、当考虑两个未知数时，如何计算？
MDB iB 4
(5)作内力图 :
53 67.5
29
21 12
8
4
M图(kN.m)
用平衡方程法求解超静定结构的步骤：
1. 确定基本未知量； 2. 建立各杆转角位移方程
用基本未知量和荷载表示杆端力； 3. 利用弯矩平衡或剪力平衡建立位移法方程； 4. 解方程求位移；
5. 回代求杆端弯矩； 6. 做内力图。
利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作 图示单位弯矩图
第 七 章 位移法
§7-5 位移法求解无侧移刚架
详见教学视频“7.7 荷载作用下的无侧移刚架计算”
例１：用位移法求解图示刚架
设：
i

6EI 6
A
则 iBA iBC i iBD 0.5i 6m
方法一：平衡方程法
基本未知量为 B
优点:很规范。 但:对于杆件很多的结构,容易出错或发生遗漏。
例１：用位移法求解图示刚架
方法二：典型方程法
15kN/m 1 8kN
A 6m
15kN/m
8kN
B
C
6EI
6EI
3EI
D
6m 3m 3m
基本结构 (加约束，使之形成无结点位移的超静定 结构。)
基本未知量
基本体系 (受外因和未知位移的基本结构。)
6m
3EI
D
M AB 2iB 45 MBA 4iB 45
MBC 3iB 9 MBD 2iB
M DB iB
6m 3m 3m
(2)建立位移法方程(平衡方程)
MBA MBC MBD 0
9iB 36 0
M BA
(3)解方程 :
B


4 i
B
M BC M BD
1
k11
4 i
M M1 M P M11 M P
4
M(kN.m)
用典型方程法求解超静定结构的步骤：
１．确定基本未知量，加约束，形成位移法基本结构； ２．分别作基本未知量和荷载引起的弯矩图；
３．求系数 ｋｉｉ＞０，ｋｉｊ＝ｋｊｉ，Fｉｐ；
n
4．建立方程
kij j Fip Fic Fit 真实值 ；
j 1
５．解方程，求位移；
6．求内力
？ n
M M i i M P i 1
优点:力法对偶。
例2：用位移法求解图示刚架 思考：判断动不定次数？选用分析方法并计算。
q=42kN/m
A
i=3
B
i=3 i=2
E
CD
i=3
i=2
5m
F
6m
6m
2m
例3：用位移法求解图示刚架 （各杆EI=常数） （判断基本未知量，列位移法方程，求系数）
集中力P ,力偶M .如何求解?
以A 点转角做基本未知量,设为1 .在A 施加
限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系(基本
结构的定义和力法相仿)。
M
D
P
q
Δ1
C
A
E
P
l/2 B
根据两图结点平衡
F1
F1 k111 F1P 0
可得附加约束反力
M
D
P
q
F1P
C A E
P
l/2
l/2
B
k11 Δ1=1
§7-4 位移法的基本方法
详见教学视频“7.5 位移法——平衡方程法”
第一种基本方法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力P ,力偶M .如何求解?
超静定次数为3,但独立位移未知数只有一个(A 点转角,设为 )。
M
D
q
C
P
Δ
A
E
P
l/2 B
M
D
利用转角位移
方程可得:
P
A
A
q
C
A
15kN/m 1 8kN
0 F1 F11 F1P k111 F1P
F
11
基本结构,

引起的
1
1
支座约束反力；
基本体系
F 1P 基本结构, 荷载引起的1 支座约束反力；
F1 原结构, 1 支座的真实结点荷载。
方程的物理意义:
基本体系沿约束方向的约束反力等于真实的结点荷载。
A
P
E
M AD
M AD M
M AC

3i ql2 8
M AC
B
M AE
A
M AB
4i Pl 8
M AB
M AE

i Pl 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
得位移法方程
详见教学视频“7.6 位移法——典型方程法”
第二种基本方法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
(1)列转角位移方程
15kN/m
8kN
B
C
6EI
6EI
3EI
D
6m 3m 3m
M BA 4iB 45
M AB 2iB 45
M BC 3iB 9
M BD 2iB
M DB iB
例１：用位移法求解图示刚架
15kN/m
8kN
基本未知量为 B
A
B
C
6EI
6EI
(1)列转角位移方程
例１：用位移法求解图示刚架
A
(3)解方程 :
B


4 i
6m
(4)回代求内力 :
15kN/m
8kN
B
C
6EI
6EI
3EI
D
6m 3m 3m
M AB 2iB 45 53 MBA 4iB 45 29
MBC 3iB 9 21 MBD 2iB 8
利用迭加原理: Fij kij j
kij j 1时引起的 i 支座约束反力
15kN/m 1 8kN
4i
k11
2i
2i
3i
i
M1
k11 9i
F1 k111 F1P 0
求系数：
45
45 F1P
9
MP
F1P 36
53 67.5
29
21
12
8
解方程： 求内力：
F1P