概率论与数理统计期末习题

2 2
)

2E(
X1)

3E(
X
2 2
)

5 8
(2)因为 X1, X 2 相互独立，
1

E(X1X2) E(X1)E(X2) 8
17.设X为随机变量，C为常数，证明 D(X ) E[( X C)2 ] ,对于 C E( X ) .（由于
D( X ) E[[ X E( X )]2 ] ,上式表明 E[( X C)2 ] 当C=E(X)时取到最小值。）

1
dx
x
12
xy
3dy

1
00
2
E( X 2 Y 2 ) (x2 y2 ) •12y2dxdy
G

1
dx
x
12(
x
2
y
2

y4
)dy

16
00
15

(2)
E(X )
0
0
xe( yx / y)dxdy y
0
e

y

0, v 0
FV (v) 1 (1 v)n ,0 v 1

1, v 1

V的概率密度为
n(1 v)n1,0 v 1
fV (v)
0, 其他
E(V )

vfV (v)dv
1v • n(1 v)n1dv 1
0
n 1
(2)因 X ~ (),故 P{X k} ke
k!
E(
1

)
1 P{X k}
1 k e k e
X 1 k0 k 1
k0 k 1 k! k0 (k 1)!
e
k 1
e j e j
的概率密度分别为
2e2x , x 0
f1(x)
0, x 0
4e4x , x 0
f2(x)
Fra Baidu bibliotek
0, x 0

(1)求
E(
X1

X
2
),
E(2
X1

3X
2 2
)
(2)又设 X1, X 2 相互独立，求 E( X1X 2 )

解:若X服从以
为参数的指数分布，其概率密度为
5
E(Y ) E(X i ) 200 240 180 260 320 1200 i 1 5
D(Y ) D( Xi ) 225 240 225 265 270 1225 i 1
(2)设仓库应至少储存n kg该产品，才能使该产品不脱销的概率大于0.99，按 题意，n应满足条件
相互独立。
(1)求五家商店两周的总销售量的均值和方差。
(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问 商店的仓库应至少储存多少千克该产品？
解：以Y记为五家商店该种产品的总销售量，即 Y X1 X 2 X 3 X 4 X 5
(1)按题设 Xi (i 1,2,3,4,5) 相互独立且均服从正态分布，即有
1 •1 k 1 k

若E(X)存在，则它等于 kP(X k) ，但 k 1


kP( X k) k •
1
•1
1
k 1
k1 k 1 k k1 k 1
故X的数学期望不存在。
6.(1)设随机变量X的分布律为 X
1

(2)设
X
~
(),求 E(
0,u 0 FU (u) un ,0 u 1
1,u 1

U的概率密度为
nun1,0 u 1
fU (u)
0, 其他
E(U )

ufU (u)du
1
u
•
nu n 1du

n
0
n 1
V min{ X1, X 2,..., X n}的分布函数为
12y2,0 y x 1
9.(1)设随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y)
0, 其他
求E(X),E(Y),E(XY),

E(X 2 Y 2 )

(2)设随机变量X,Y的联合密度为
f
(
x,
y)


1 y
e(
yx
/
y)
,
x

0,
y

0
求E(X),E(Y),E(XY)
j 1
j
j


(1) j1 3 j *
2

2
(1) j1
j 1
j 3j
j1 j
不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在。
(2)以 Ak 记事件“第k次摸球摸到黑球”，以Ak 记事件“第k次摸球摸到白 球”，以 Ck 表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k=1,2,...依题意得
Ck A1A2...Ak1 Ak P(Ck ) P(Ak A1A2...Ak1)P(Ak1 A1A2...Ak2 )...P(A2 A1)P(A1)

0, 其他

解：(1)

E(X )
xf (x, y)dxdy
x •12y2dxdy

G

1
dx
x
12
xy
2
dy

4
00
5
E(Y ) y •12y2dxdy
G

1
dx
x
12
y
3dy

3
00
5
E( XY) xy •12y2dxdy
G
n1
p)n1


p n(1
n1
p)n1

p
1
[1 (1
p)]2

1 p
E(X (X
1))


n(n 1)P{X
n1

n} p n(n 1)(1
n1
p)n1

p
2
[1 (1
p)]3

2 p2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 E[ X ( X 1) X ] [E( X )]2
X=k时，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故
P( X k) P( A1...Ak1 Ak )
P( Ak A1A2...Ak1)P( Ak1 A1A2...Ak2 )...P( A2 A1)P( A1)
1 • k 1 • k 2 •...• 2 • 1 k 1 k k 1 3 2
0
0
e
y

0
xex/ ydxdy
y2eydy (3) 2 0
注：( ) x 1exdx, 0, 0 ( 1) ( ), (1) 1, (1) 2 (n 1) n(n) n!

14.设随机变量 X1, X 2
f
(x)

1
e x /
,
x

0
0,其他

E(X ) , D(X ) 2 E(X 2 ) 2 2

故
E(X1)

1 2
,
E(X2)

1 4
,
E
(
X
2 2
)

2( 1 )2 4

1 8

(1)
E(
X1

X
2)

E(
X1)

E(X
2)

3 4
E(2
X1

3X
等号仅当C=E(X)时成立。
20.设随机变量X服从几何分布，其分布律为 P{X k} p(1 p)n1, k 1,2,..., 其中
0<p<1是常数，求E(X),D(X).
解：因为： 1 1 x x2 ... xk ..., x 1
1 x


3

(2)因 X i ~ U (0,1), i 1,2,..., n, X i 的分布函数为
0, x 0 F (x) x,0 x 1
1, x 1
因 X1, X 2,..., X n 相互独立，故 U max{ X1, X 2,..., X n} 的分布函数为
P{Y n} 0.99
由于 Y ~ N (1200 ,352 ), 故有 P{Y n} P{Y 1200 n 1200} (n 1200)
35
35
35
因而上述不等式即为 n 1200
(
) 0.99 (2.33)
从而 n 1200 2.33
（2）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸
一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再从盒中
随机地摸一只球，试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。
解：(1)因级数
(1) j1 3 j P{X (1) j1 3 j }
35
35
n 1281.55
即需取n=1282 kg.
24.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X服从N (50,2.52 ) ,问至多装多少袋水泥使总重量
超过2000的概率不大于0.05.
解：设至多能装运n袋水泥，各袋水泥的重量分别为 X1, X 2,..., X n ，则
X i ~ N (50,2.52 ), i 1,2,..., n

U max{ X1, X 2,..., X n}和 V min{ X1, X 2,..., X n}的数学期望
解：(1)由关于随机变量函数的数学期望的定理，知

E(Y ) E(2X ) 2xf (x)dx 2
E(Y ) E(e2x ) e2x f (x)dx 1
证： E[( X C)2 ] E( X 2 2CX C 2 ) E( X 2 ) 2CE( X ) C 2
E( X 2 ) [E( X )]2 {[ E( X )]2 2CE( X ) C 2} D(X ) (E(X ) C)2 D(X )
X
) 1
P
-2 0
2
求E(X),E(X)2, E(3X 2 5 )
0.4 0.3 0.3
解：(1)
E( X ) (2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2
E( X 2 ) (2)2 0.4 02 0.3 22 0.3 2.8
E(3X 2 5) 3E( X 2 ) 5 13.4
故卡车所装运水泥的总重量为 W X1 X 2 ... X n
按题意n需满足 P{W 2000} 0.05
对于像这样的实际问题，认为 X1, X 2,..., X n 相互独立是适宜的，此时
E(W ) 50n, D(W ) 2.52 n 于是，W ~ N (50n,2.52 n) 从而，P{W 2000 } 1 ( 2000 50n) 0.05 1 (1.645)
两边对x求导得： 1
(1 x)2
1 2x 3x2
... kxk1 ...,
x
1

两边对x求导得： 2
(1 x)3
1• 2 2 • 3x ... (k
1) • kxk2
...,
x
1
E(X )

nP{X
n1

n} np(1

( ) ( 1)
k0 (k 1)! j1 j! j0 j!
e (e 1) 1 (1 e )



7.(1)设随机变量X的概率密度为
e x f (x)
x 0 求Y=2X;Y= e2x 的数学期望。
0 x0

(2)设随机变量 X1, X 2,..., X n 相互独立，且都服从（0,1）上的均匀分布，求
0
xex /
y d (
x y
)dy
eydy 1 0
E(Y )
0
0
e( yx / y)dxdy
0
e
y

0
e

x
/
y
dxdy
eydy 1 0
E(XY)
0
xe( yx / y)dxdy

E[ X
(X
1)]
E(X
)
[E(X
)]2

1 p p2
23.五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量分别为 X1, X 2, X3, X 4, X5 已知 X 1~ N (200,225), X 2~ N (240,240 ), X 3~ N (180,225), X 4~ N (260,265), X 5~ N (320,270 ), X1, X 2, X 3, X 4, X 5
概率论与数理统计期末习题
2015.06.01
1 第四章 随机变量的数字特征
目录
2 第五章 大数定律集中心极限定理 3 第六章 样本及抽样分布
4 第七章 参数估计
第四章 随机变量的数字特征

4.（1）设随机变量X的分布律为P{X

(1) j1
3j }
j

2 3j
,
j
1,2,...,
说明X的数学期望不存在。