数学反证法中的哲学思想
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一、反证法体现着辨证的联系论 关于 反证法, 法国数学 阿达玛 给出了 精辟的 概 括: 这种方法在于表明, 若肯定定理的假设而否定 其 结论, 就会导致矛盾。这种体现了辨证法的联系论。 联系的观点是辨证法的两大基本特 征之一。辨 证法认为, 世界上的一切事物都不能孤立地存在, 而 与周围其它事物相互联系、相互影响、相互制约和 相 互作 用, 从而 使整个世 界构成一个 相互联 系的统 一 整体。正因为如此, 每一事物或现象的存 在都是有条 件的。一定的事物只是在一定条件下才能产生, 在一 定的条件下才能发展, 又在一定条件下趋于灭亡。随 着条 件的改变, 事物之 间或事物内 部各因 素之间 联 系的性质和方式也要发生改变。从这个意义上讲, 唯 物辨证法的普遍联系观也就是条件论。因此, 一定的 条件 必然导致一 定的结果, 如果我 们在不 改变条 件 的情况下硬要得出相反的结果就必然要 出问题—— 也就是我们说的“出现矛盾”或“导致矛盾”。 辨 证的 联系 观不 仅体 现在 反证 法的 基本 思 想 上, 还体现在证明中。
矛盾结果的推理过程中, 往往用的都 是直接证法。
由此看出, 直接 证法与间 接证法 这一对 矛盾双 方的相互依存, 相互贯通, 相互渗透的高度统一。
三、反证法体现了否定之否定规 律
事物的发展总是由肯定阶段走向否定阶段。一
般地说, 在事物发展总的过程中经过 两次否定: 先由
肯定阶段 到否定阶段, 再由 否定到第 二次否 定即否
矛盾。则原命题成立, 即方程 x 2+ mx + n= 0 无相等 实根。
从整体来看, 用的是反证法 —— 先否定题断, 以
否定的题 断为条件进 行推理得 出矛盾, 继而 肯定题
断—— 这种间接证法在此题中所满足的推理形式为
p
wk.baidu.com
q ≡p-
q-
显然为证明原命题的逆否命题的正确性来间接证明
原命题。
从 局 部 来看, 证 明 中 ( 1) —— ( 2) —— ( 3) —— ( 4) 的过程是直接证明的过程。一般情况下, 在得出
利用反证法, 为了达到肯定题断的目的, 首先 否 定题断, 以此为依据推出矛盾, 从而再否定前面否 定 的题断, 即肯定了题断。其过程可简化为:
肯 定题断—否 定题断—推 翻否定 的题断 ( 肯 定 题断) 显然它符合 肯定 —— 否定 —— 否定之否定( 肯定)
的形式; 再分析它的内容: 否定之否定阶段实质上是 肯定题断, 与肯定 阶段的肯 定题断尽 管内容 一致但 有着本质上的差别。肯定阶 段的肯定题断是未知的, 是有待于 证明的; 而否定之 否定阶段 的肯定 题断是 明确的, 是经过严格论证得出的已经 认可的结论。经 过一个周期的运动回到了起点, 又高 于起点。总之, 反证法的证明过程是符合否定之否定规律的。
立。
反证法是利用等效命题的正确性来判定原命题
正确性的间接证明方法。但是运用反证法证题的过
程中却将 这一对矛盾 有机地结 合到一起, 形 成了对
立中的同一。
例 2 设 m, n 为奇 数, 则方 程 x 2+ mx + n= 0 无相等实根。
证明 假设 方程 x 2 + mx + n= 0 有 相 等实 根 ( 1) , 则 有 = m2- 4n( 2) , 即 m2= 4n( 3) , 考虑 n 为 奇数, 故 m 必为偶 数( 4) , 与已知条件“m 为奇数 ”相
同 时 为 整 数, 与 已 知条 件 c 为 整 点 相矛 盾。 从 而
△A BC 不是正三角形。
证 法二 设 A , B, C 三点 坐标 分别为 ( x 1, y 1 ) ,
( x 2, y 2) , ( x 3, y 3) , 其中 x i, y i∈ ( i= 1, 2, 3) 。 假 定△A BC 为正 三 角形, 则 △A B C 中 至 少 有
证法一 适当平移 坐标轴, 使新 坐标系 的原点 合于点 A , 则 A 点的 新坐标为( 0, 0) 。因为 B , C 两点 旧坐标为 整数, 由 平移变换 公式知其 新坐标 仍为整 数。设 B 的新坐标为( a, b) , 其中 a, b∈ , 且至少有 一个不为零。不失一般性, 设点 C 在 A B 的上方( 图 1) , 坐标为( x 0, y0) , 其中 x 0, y0∈
反证法作 为一种重 要的证 明方法, 是中 学数学 教学内容的重要组成部分。教师除了正确传授方法 以外, 还应明确这 种方法中 所蕴含的 丰富的 哲学思 想, 确定 它的 巨大 的教 育功 能, 从而 充分 发挥 其作 用, 使这部分内容的教学不仅具有方 法论的意义, 更 具有认识论的意义。
[ 参 考 文 献]
相矛盾的结果。从不同的角度导致了不同的逻辑 矛
盾, 从而增强了解题的灵活性。
二、反证法体现了对立统一规律
唯物 辨证 法认 为矛 盾是 事物 发展 的源 泉 和动
力, 发展就是对立面的统一和斗争, 一切矛盾着的对
立面既相依赖又相排斥, 既相统一又 相斗争。矛盾双 方的关系是对立中的统一, 同一下的 对立。这就是作
2000年2月 第 6 卷第 1 期
安庆师范学院学报( 自然科学版)
Journal of Anqing Teachers College ( Nat ural Science)
Feb. 2 0 0 0 Vol. 6 NO. 1
数学反证法中的哲学思想
马 平
( 上海曹扬中学, 上海 260063)
摘 要: 反证法在数学中有着广泛的应用。反证法中闪烁着辨证思维, 蕴含着深刻地哲 学思想。
数, 则 t anA 必 为 有理 数。但 由 假 设 知 A = 3 , 有 tanA = 3 , 故而 得出 “ 3 是 有理 数”的 结果 与
已 知性 质“ 3 是有 理数”相矛 盾。由此原 命题 成
立。
证法 三 假定 △A BC 为正三角 形。设 A , B, C
三点坐标同证法二, 则
x 1 y 1 1
为唯物辨证法的实质和核心的对立统一规律。反证
法中也体现了这个规律。
数学命题的证明方法, 可以直接 从原题入手, 也
可间接地从它的负命题或等效命题着眼。因此, 证明 方法可分为直接证法和间接证法两种。
从证明思 路及方法 上看, 这是两 种截然 不同的
证明方法, 由这层意义可认为它们是 矛盾的, 是数学 证题方法这个同一下的一对矛盾 —— 是同一下的对
选人的各类得票情况, 所有回收选票的相关信息也根据用户需要导出其它的输出结果。 ( 5) 各种辅助功能 用户可以根据需要决定是否播放背景音乐, 可以查看版本及作者信息。 4 CBM S 的系统特 点 ( 1) 系统的通用性强。用户可以在选举规则对话框中按照本次选举要求录入选举规则, 系统对等额选举
与差额选举及普选都适用, 也允许选举除候选人外的其他人。 ( 2) 系统的可靠性好。本系统具有一定的容错能力和较强的维护功能, 对于选票的有效性提供了多种校
关键词: 反证法; 联系论; 对立统一律; 否定之否定律 分类号: O 1- 0 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260( 2000) 01- 0043- 44
反证法是一种重要的数学证明方法 。无论是 它 的基 本思想, 还是用它 证题的过程 都体现 着辨证 法 的思想。具体地说, 它体现着辨正法的联系论、对 立 统一律、否定之否定律。
不断开发之中。
[ 参 考 文 献]
[ 1] 陈禹, 方美琪. 软件开发工具〔M 〕. 北京: 经济科学出版社, 1996. [ 2] 宜晨. V isual Bas ic 5. 0 中文版编程技术〔M 〕. 北京: 人民邮电出版社, 1998.
( 上接第 44 页) 一个 周期。这就 是否定 之否定 规律: 肯定—— 否 定 —— 否定之否定 否定之否定阶段是事物发展两次向对立 面转化的结 果, 这使它在外表上会重复肯定阶段的某些特征、特 性, 用列宁 的话来说: “仿佛是向 旧东西 的回复”, 但 是在 本质上和旧 的东西根 本不同, 是更高 级的新 东 西, 如恩 格斯所言: 是在“更高的阶 段上”“重新达 到 原来 出发点”这即为 否定之否定 规律所揭 示的事 物 自身发展的深刻内容 —— 回到了起点, 但高于起点。 反证法证明过程生动地再现了这一内容 。
S△ AB C =
1 2
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1
可知, △A BC 的面积是有理数, 但由
S△ AB C =
3 4
AB 2=
3 4
[( x2-
x1)2+
( y2 -
y 1) 2 ]
可知, △A BC 的 面积是无理数。
这样便得到两个相互矛盾的结果。故而原命 题
正确。
证法 一推出与已 知条件 相矛盾 的结果; 证法 二 推出 与已知性质 相矛盾的 结果; 证 法三得 出两个 互
假定 △A BC 为正 三角形 , 令 A B = r , ∠BA X = Q, 则 ∠CA X = Q+ 3 , 且 x 0 = A C co s∠CA X = r co s( Q + 3 )
收稿日期: 1998- 06- 03
·44·
安庆师范学院学报( 自然科学版)
2000 年
=
1 2
r
co
反证法的 关键在于 导出矛 盾, 而 各种矛 盾结果 亦是相互 联系的, 对于同一 个命题从 不同的 角度进 行推论常 常可以导致 不同性质 的逻辑矛 盾, 从而得 出不同的证明方法。
例 1 设 A , B , C 是平 面上任意三个整点 ( 坐标 都是整数的点) , 求证: △A BC 必不是正三角形。
两 边不 平行 于 y 轴, 不 妨设 A B 与 A C。于是 直 线
A B, A C 的斜率为
kA B=
y 2x 2-
y x
1 1
;
kA C=
y 3x 3-
y1。 x1
又依两直线交角公式, 有
tanA =
kA C- kA B 1+ kA C ·k A B
由 x i, yi ( i= 1, 2, 3) 均为 整 数, 故 k AB , k AC 均为 有 理
验方案, 对操作错误除给出提示外也有两种纠错方式供用户选择。 ( 3) 界面友好, 操作简便。本系统根据认知原则设计用户界面, 一切为方便用户操作着想, 使用户操作感
到轻松自如。录入时, 对选票上的规定的特殊标记在系统内部也作了一些必要转换。 5 结束语 CBM S 是利用 V B6. 0 在 W IN 98 环境下开发而成, 性能较好, 能大 大提高选举工作的 效率。其高版本在
s
Q-
3 2
r sinQ
y 0 = A C sin∠CA x = r sin( Q + 3 )
=
1 2
rsinQ +
3 2
rco sQ
注意到 a= rco sQ, b= r sinQ, 有
x 0=
1 2
a-
3 2b
y 0=
1 2
b+
3 2
a
由于 a, b∈ , 且至少有一个不为零, 故 x 0, y 0 均不能
[ 1] 艾 思奇. 辨证唯 物主 义. 历 史唯 物主义 〔M 〕. 北 京: 人民出版社.
[ 2] 赵振威. 数学发现导论〔M 〕. 合肥: 安徽教育出版 社.
定之否定阶段, 事物的运动表现为( 下转第 49 页)
第1期
罗永龙, 殷治国: CBM S 的性能及设计与开发
·4 9·
进行输出, 以便工作人员核对, 同时可以通过 T V 端口输出到会场的电视屏幕。 ( 4) 选举结果与输 出 选票录入结束 后, 系统按照 预先输入的选举规 则自动产生本次选 举结果, 输出当
矛盾结果的推理过程中, 往往用的都 是直接证法。
由此看出, 直接 证法与间 接证法 这一对 矛盾双 方的相互依存, 相互贯通, 相互渗透的高度统一。
三、反证法体现了否定之否定规 律
事物的发展总是由肯定阶段走向否定阶段。一
般地说, 在事物发展总的过程中经过 两次否定: 先由
肯定阶段 到否定阶段, 再由 否定到第 二次否 定即否
矛盾。则原命题成立, 即方程 x 2+ mx + n= 0 无相等 实根。
从整体来看, 用的是反证法 —— 先否定题断, 以
否定的题 断为条件进 行推理得 出矛盾, 继而 肯定题
断—— 这种间接证法在此题中所满足的推理形式为
p
wk.baidu.com
q ≡p-
q-
显然为证明原命题的逆否命题的正确性来间接证明
原命题。
从 局 部 来看, 证 明 中 ( 1) —— ( 2) —— ( 3) —— ( 4) 的过程是直接证明的过程。一般情况下, 在得出
利用反证法, 为了达到肯定题断的目的, 首先 否 定题断, 以此为依据推出矛盾, 从而再否定前面否 定 的题断, 即肯定了题断。其过程可简化为:
肯 定题断—否 定题断—推 翻否定 的题断 ( 肯 定 题断) 显然它符合 肯定 —— 否定 —— 否定之否定( 肯定)
的形式; 再分析它的内容: 否定之否定阶段实质上是 肯定题断, 与肯定 阶段的肯 定题断尽 管内容 一致但 有着本质上的差别。肯定阶 段的肯定题断是未知的, 是有待于 证明的; 而否定之 否定阶段 的肯定 题断是 明确的, 是经过严格论证得出的已经 认可的结论。经 过一个周期的运动回到了起点, 又高 于起点。总之, 反证法的证明过程是符合否定之否定规律的。
立。
反证法是利用等效命题的正确性来判定原命题
正确性的间接证明方法。但是运用反证法证题的过
程中却将 这一对矛盾 有机地结 合到一起, 形 成了对
立中的同一。
例 2 设 m, n 为奇 数, 则方 程 x 2+ mx + n= 0 无相等实根。
证明 假设 方程 x 2 + mx + n= 0 有 相 等实 根 ( 1) , 则 有 = m2- 4n( 2) , 即 m2= 4n( 3) , 考虑 n 为 奇数, 故 m 必为偶 数( 4) , 与已知条件“m 为奇数 ”相
同 时 为 整 数, 与 已 知条 件 c 为 整 点 相矛 盾。 从 而
△A BC 不是正三角形。
证 法二 设 A , B, C 三点 坐标 分别为 ( x 1, y 1 ) ,
( x 2, y 2) , ( x 3, y 3) , 其中 x i, y i∈ ( i= 1, 2, 3) 。 假 定△A BC 为正 三 角形, 则 △A B C 中 至 少 有
证法一 适当平移 坐标轴, 使新 坐标系 的原点 合于点 A , 则 A 点的 新坐标为( 0, 0) 。因为 B , C 两点 旧坐标为 整数, 由 平移变换 公式知其 新坐标 仍为整 数。设 B 的新坐标为( a, b) , 其中 a, b∈ , 且至少有 一个不为零。不失一般性, 设点 C 在 A B 的上方( 图 1) , 坐标为( x 0, y0) , 其中 x 0, y0∈
反证法作 为一种重 要的证 明方法, 是中 学数学 教学内容的重要组成部分。教师除了正确传授方法 以外, 还应明确这 种方法中 所蕴含的 丰富的 哲学思 想, 确定 它的 巨大 的教 育功 能, 从而 充分 发挥 其作 用, 使这部分内容的教学不仅具有方 法论的意义, 更 具有认识论的意义。
[ 参 考 文 献]
相矛盾的结果。从不同的角度导致了不同的逻辑 矛
盾, 从而增强了解题的灵活性。
二、反证法体现了对立统一规律
唯物 辨证 法认 为矛 盾是 事物 发展 的源 泉 和动
力, 发展就是对立面的统一和斗争, 一切矛盾着的对
立面既相依赖又相排斥, 既相统一又 相斗争。矛盾双 方的关系是对立中的统一, 同一下的 对立。这就是作
2000年2月 第 6 卷第 1 期
安庆师范学院学报( 自然科学版)
Journal of Anqing Teachers College ( Nat ural Science)
Feb. 2 0 0 0 Vol. 6 NO. 1
数学反证法中的哲学思想
马 平
( 上海曹扬中学, 上海 260063)
摘 要: 反证法在数学中有着广泛的应用。反证法中闪烁着辨证思维, 蕴含着深刻地哲 学思想。
数, 则 t anA 必 为 有理 数。但 由 假 设 知 A = 3 , 有 tanA = 3 , 故而 得出 “ 3 是 有理 数”的 结果 与
已 知性 质“ 3 是有 理数”相矛 盾。由此原 命题 成
立。
证法 三 假定 △A BC 为正三角 形。设 A , B, C
三点坐标同证法二, 则
x 1 y 1 1
为唯物辨证法的实质和核心的对立统一规律。反证
法中也体现了这个规律。
数学命题的证明方法, 可以直接 从原题入手, 也
可间接地从它的负命题或等效命题着眼。因此, 证明 方法可分为直接证法和间接证法两种。
从证明思 路及方法 上看, 这是两 种截然 不同的
证明方法, 由这层意义可认为它们是 矛盾的, 是数学 证题方法这个同一下的一对矛盾 —— 是同一下的对
选人的各类得票情况, 所有回收选票的相关信息也根据用户需要导出其它的输出结果。 ( 5) 各种辅助功能 用户可以根据需要决定是否播放背景音乐, 可以查看版本及作者信息。 4 CBM S 的系统特 点 ( 1) 系统的通用性强。用户可以在选举规则对话框中按照本次选举要求录入选举规则, 系统对等额选举
与差额选举及普选都适用, 也允许选举除候选人外的其他人。 ( 2) 系统的可靠性好。本系统具有一定的容错能力和较强的维护功能, 对于选票的有效性提供了多种校
关键词: 反证法; 联系论; 对立统一律; 否定之否定律 分类号: O 1- 0 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260( 2000) 01- 0043- 44
反证法是一种重要的数学证明方法 。无论是 它 的基 本思想, 还是用它 证题的过程 都体现 着辨证 法 的思想。具体地说, 它体现着辨正法的联系论、对 立 统一律、否定之否定律。
不断开发之中。
[ 参 考 文 献]
[ 1] 陈禹, 方美琪. 软件开发工具〔M 〕. 北京: 经济科学出版社, 1996. [ 2] 宜晨. V isual Bas ic 5. 0 中文版编程技术〔M 〕. 北京: 人民邮电出版社, 1998.
( 上接第 44 页) 一个 周期。这就 是否定 之否定 规律: 肯定—— 否 定 —— 否定之否定 否定之否定阶段是事物发展两次向对立 面转化的结 果, 这使它在外表上会重复肯定阶段的某些特征、特 性, 用列宁 的话来说: “仿佛是向 旧东西 的回复”, 但 是在 本质上和旧 的东西根 本不同, 是更高 级的新 东 西, 如恩 格斯所言: 是在“更高的阶 段上”“重新达 到 原来 出发点”这即为 否定之否定 规律所揭 示的事 物 自身发展的深刻内容 —— 回到了起点, 但高于起点。 反证法证明过程生动地再现了这一内容 。
S△ AB C =
1 2
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1
可知, △A BC 的面积是有理数, 但由
S△ AB C =
3 4
AB 2=
3 4
[( x2-
x1)2+
( y2 -
y 1) 2 ]
可知, △A BC 的 面积是无理数。
这样便得到两个相互矛盾的结果。故而原命 题
正确。
证法 一推出与已 知条件 相矛盾 的结果; 证法 二 推出 与已知性质 相矛盾的 结果; 证 法三得 出两个 互
假定 △A BC 为正 三角形 , 令 A B = r , ∠BA X = Q, 则 ∠CA X = Q+ 3 , 且 x 0 = A C co s∠CA X = r co s( Q + 3 )
收稿日期: 1998- 06- 03
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安庆师范学院学报( 自然科学版)
2000 年
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反证法的 关键在于 导出矛 盾, 而 各种矛 盾结果 亦是相互 联系的, 对于同一 个命题从 不同的 角度进 行推论常 常可以导致 不同性质 的逻辑矛 盾, 从而得 出不同的证明方法。
例 1 设 A , B , C 是平 面上任意三个整点 ( 坐标 都是整数的点) , 求证: △A BC 必不是正三角形。
两 边不 平行 于 y 轴, 不 妨设 A B 与 A C。于是 直 线
A B, A C 的斜率为
kA B=
y 2x 2-
y x
1 1
;
kA C=
y 3x 3-
y1。 x1
又依两直线交角公式, 有
tanA =
kA C- kA B 1+ kA C ·k A B
由 x i, yi ( i= 1, 2, 3) 均为 整 数, 故 k AB , k AC 均为 有 理
验方案, 对操作错误除给出提示外也有两种纠错方式供用户选择。 ( 3) 界面友好, 操作简便。本系统根据认知原则设计用户界面, 一切为方便用户操作着想, 使用户操作感
到轻松自如。录入时, 对选票上的规定的特殊标记在系统内部也作了一些必要转换。 5 结束语 CBM S 是利用 V B6. 0 在 W IN 98 环境下开发而成, 性能较好, 能大 大提高选举工作的 效率。其高版本在
s
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r sinQ
y 0 = A C sin∠CA x = r sin( Q + 3 )
=
1 2
rsinQ +
3 2
rco sQ
注意到 a= rco sQ, b= r sinQ, 有
x 0=
1 2
a-
3 2b
y 0=
1 2
b+
3 2
a
由于 a, b∈ , 且至少有一个不为零, 故 x 0, y 0 均不能
[ 1] 艾 思奇. 辨证唯 物主 义. 历 史唯 物主义 〔M 〕. 北 京: 人民出版社.
[ 2] 赵振威. 数学发现导论〔M 〕. 合肥: 安徽教育出版 社.
定之否定阶段, 事物的运动表现为( 下转第 49 页)
第1期
罗永龙, 殷治国: CBM S 的性能及设计与开发
·4 9·
进行输出, 以便工作人员核对, 同时可以通过 T V 端口输出到会场的电视屏幕。 ( 4) 选举结果与输 出 选票录入结束 后, 系统按照 预先输入的选举规 则自动产生本次选 举结果, 输出当