研究生数值分析-第5章 数值积分与数值微分

第五章数值积分和数值微分§5.1 引言

§5.2 牛顿—柯特斯公式

§5.3 复化求积公式

§5.4 龙贝格求积公式

5.1 引言

我们知道,若函数f (x )在区间[a,b ]上连续且其原函数为F (x ),则可用Newton-Leibnitz 公式

b a a F b F dx x f )

()()(求得定积分

求定积分的值, Newton-Leibnitz 公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：

(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数

关系由表格或图形表示。

对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算定积分有它的局

限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。

将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函

数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。

0 ()d n

b k k a k f x x w f 回顾我们高等数学所学定积分的求取

二、代数精度的概念

.

,1, m次代数精度定义1则称该求积公式具有立成次的多项式等式不准确而对于某一个都准确成立的多项式对于所有次数不超过若一个求积公式 m

m

即满足

b

a dx

1

b a x dx

三、插值型求积公式

)( )( ,,

,

10

1010k n

k k n n n f x l x L f f f b x x x a n 项式

，就有拉格朗日插值多上已知函数值个互异节点在

,

d )(d )(d )( 0

n

k k

b

a

k b a

n b a

f x x l x x L x x f 得到0

()d , ()d .

n

b

b

k k k k a

a

k f x x w f w l x x 即得求积公式

其中.

称为插值型求积公式

四、求积公式的收敛性和稳定性

, 定义2 在求积公式中若有

0lim ()()d ,

n

b

k k a

n k h w f x f x x

11max(),.

i i i n

h x x 其中则称求积公式是收敛的

Cotes系数表

当n = 8时，出现了负系数

由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。

§5.3 复化求积公式

.

问题的提出和解决办法

复化求积公式可以克服高次Newton-Cotes 公式计算不稳定的问题, 运算简单且易于在计算机上实现。

把积分区间[a , b ]平均分成若干小区间[x k , x k +1]

复化求积法的基本思想

第一步，在每个小区间上采用次数不高的Newton-Cotes 求积公式，如梯形公式或Simpson 公式；

第二步，对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。

如此得到的求积公式称为复化求积公式。

一、梯形法的递推化——逐次分半法

上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．

实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．

设将求积区间[a ，b ]分成n 等分，则一共有n +1个分点，按梯形公式计算积分值T n ，需要提供n +1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n +1个，我们来考察二分前后两个积分值之间的联系．

§5.4 龙贝格求积公式

逐次分半计算方案的实现:

0.93979330.94608310.0062898 0.94451350.94608310.0015696 0.94569090.94608310.0003922 0.94598500.94608310.0000981 0.94605960.94608310.0000235 0.94607690.94608310.0000062 0.94608150.94608310.0000016 0.94608270.94608310.0000004 0.94608300.94608310.0000001 0.9460831

0.9460831

0.0000000

1T 2T 4T 8T 16T 32T 64T 128T 256T 512

T ,

,21 k 二分次数

区间个数数

1

2

k