理论力学11—达朗贝尔原理2

M
P FI ? g a
M IB
?
J Ba
?
1 2
G g
r2
a r
?
Gr 2g
a
C
由质点系的达朗贝尔原理
α
F By MIB
? MB (F ) ? 0 M ? MIB ? r (P ? FI ) ? 0
代入MIB 和FI得
a ? 2(M ? Pr ) g r (G ? 2P )
FBx B M
G Ca
FI P
FAx ?OA? FBx ?OB ? M y
由上述5个方程解得轴承的全约束力为
FAx ? ? A1B??(My ? FRx ?OB) ? (MIy ? FIx ?OB)?? ? 0
FAx ? mra
FAy
?
mg ?
l 2
ma
MA
?
1 mgl ? 2
1 ml2a
3
[例6] 均质杆AB长l，重W，B端与重G、半径为
r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为 M的力
偶，借助于细绳提升重为 P的重物C。试求固定
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端A的约束力。
l
解：先以 轮和重物 为研究对象 , A
B
受力如图。假想地加上惯性力
速度a 绕其中心 O转动。求圆盘 刚开始转动 时，
杆AB上焊接点A处的约束力。
l
解: 以杆为研究对象 , 受力
A
如图。
ra
B
O
aC
?
a
t C
?
OC
?a
? r 2 ? ( l )2 ?a
2
将惯性力系向 转轴简化， 惯性力的大小为
y
MA FAy C
B
FAx A j
x
F IR
a aC
O mg
MIO
FIR ? maC ? m
F
mAg
C mg
FN Fs
F IC B
F
?
FIA
?
FIC
?
Fs
?
( 3mA 2
?
m)
3g
AFA?My IAF FA?x mAg
IA
FN Fs
由此，地面摩擦系数
fs
?
Fs FN
?
3mA 2(mA ? m)
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
如图，以 O为简化中心， 所有主动力和 惯性力系都向 该点简化，形 成一空间任意 力系，列平衡 方程
FN FS
B
为求摩擦力，可以圆轮为研究对象
AFA?My IAF FA?x mAg
IA
FN Fs
由方程 ? MA(F ) ? 0 ，得
1
Fsr ? MIA ? 2 mAra
解得
1
3
Fs ? 2 mAa ? 2 mAg
1
3
Fs ? 2 mAa ? 2 mAg
MIA
再以整个系统为研究对象，由
? A FIA 方程 Fx ? 0 ，得
则由质点系的达朗贝尔原理 B
y
? MA(F ) ? 0
D
x
a
F IR
mg l cos30 2
l
l
? FD 2 ? FIR 2 sin 30
?0
FD
mg FAx
A FAy
于是得 FD ? m( g cos30 ? a sin 30 )
? Fx ? 0 FAx ? FIR ? FD sin 30 ? 0
再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力
由质点系的达朗贝尔原理
FAy α
MIB
? Fx ? 0 FAx ? 0
FAx AMA
? Fy ? 0 FAy ? W ? G ? P ? FI ? 0
BM W
G
Ca
? MA(F ) ? 0 l
M A ? W 2 ? Gl ? M ? MIB ? (P ? FI )(l ? r ) ? 0
例4 如图所示，均质杆AB的质量m＝40 kg，长l
＝4 m，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，
当小车以加速度a＝15 m/s2向左运动时，求D处
和铰A处的约束力(此时杆AB与D处接触)。
解：以杆为研究对象， 受
B
力如图，建立如图坐标。
D
1m
杆作平移 , 惯性力的大小为 a
30° A
FIR＝ma。假想地加上惯性力,
? Fy ? 0 FAy ? FD cos30 ? mg ? 0
代入数据, 解之得：
F Ax ? ? 617.9N F Ay ? 357.82N
B
y
a
D
x F IR
mg A
FD
FAx
FAy
F D ? 39.47N
例5 质量为m, 长为l的均质直杆AB的一端A焊接
于半径为r的圆盘边缘上 , 如图。今圆盘以角加
FI P
代入MIB 和FI解得
2(M ? rP ) FAy ? W ? G ? P ? r (G ? 2P) P
MA
?
l (W 2
?
G)
?
M
?
(M ? rP ) (G ? 2P)
G
?
(l
?
r)
rG ? 2M r (G ? 2P)
P
[例7] 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆 长l=2r，质量为 m。杆端点 A与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在 A处加一水平拉力 F，使 轮沿水平面纯滚动。问力 F多大能使杆的 B端
r 2 ? ( l )2 ?a
2
A
l
ra
B
MIO ? J Oa ? (J C ? m?OC 2 )a
O
?
?1 ??12
ml2
?
m(r 2
?
l2 4
)??a
?
? (1 ml2 ? mr2 )a
3
y
MA FAy C
B
FAx A j
x
F IR
a aC
O mg
MIO
由质点系的达朗贝尔原理
y
? Fx ? 0 FAx ? FIR sin j ? 0
MA FAy C
FAx A j
B
x
? Fy ? 0
FAy ? FIR cosj ? mg ? 0 FIR O
a aC
mg
MIO
? M A(F ) ? 0
MA
?
M IO
?
mg
l 2
?
FIR
sin j ?r
?
0
sinj ?
r r2 ? l2
4
cosj ? l
2 r2 ? l2 4
将已知数值代入以上三式，解之得
刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦系数应为多大？
A
F
C
mAg mg
B
解： 细杆刚离地面时仍为平移，地
面支持力变为零，设其加速度
为a。以杆为研究对象，杆承受
A
的力并加上惯性力如图所示，
F
mAg
C mg
其中FIC =maC=ma 。
B
按达朗贝尔原理列出方程
FAy A FAx
C FIC a mg 30?
B
? MA( F ) ? 0
mar?sin 30? ? mgr?cos 30? ? 0 解出 a ? 3g
整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中
MIA
FIA ? mAa A,
MIA ?
1 2
mAr
2
a r
A FIA 由方程 ? Fy ? 0, 得
F
mAg
C mg
F IC
FN ? (mA ? m)g
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
? Fx ? 0 ? Fy ? 0 ? Fz ? 0 ? Mx ? 0 ? MIx ? 0 ? My ? 0 ? MIy ? 0
FAx ? FBx ? FRx ? FIx ? 0 FAy ? FBy ? FRy ? FIy ? 0 FAz ? FBz ? FRz ? FIz ? 0 FBy ?OB ? FAy ?OA? Mz