山东省德州市第一中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题

山东省德州市第一中学2020-2021学年高二上学期12月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤
D ．2,2n n N n ∃∈=
2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．方程22
111x y k k
+=+-表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）.
A ．11k -<<
B ．0k >或1k <-
C ．k 0<
D ．1k <-或1k >
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．2+
D ．5
5．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，
,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )
A B ．C ．
132
D ．6．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2
2
321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-
或53
B ．
35或32
C ．23-
或23
D ．43-
或34
-
7．抛物线()2
0y ax
a =≠的焦点坐标是（ ）
A ．,04a ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．10,4a ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
D ．10,
4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．设x 、y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
，则z ＝2x －y 的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
9．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）
A ．2
B
．1+C
．1+
D
．1+10．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A
． B ．3(0,]4
C
． D ．3[,1)4
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，为双曲线
右支上的一个动点．若点到直线
的距离大于c 恒成立，则是实数c
的最大值为
12．已知直线1:(2)310l m x my +++=与2:(2)(2)30l m x m y -++-=相互垂直，则实数m =_______.
13．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
12
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与椭圆E 的两个交点，则AB =___________.
14．圆锥的体积为
3
，底面积为π，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为________． 15．设α.β.γ是三个不同的平面，l .m .n 是三条不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为________．
①,,l m l αβαβ⊥=⊥； ②,,n n m αβα⊥⊥⊥；
③,,m αγαβγβ⋂=⊥⊥； ④,,m ααγβγ⊥⊥⊥.
三、解答题
16．已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0 （1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 为棱AB 的中点.
（1）求四棱锥1B BCDE -的体积 （2）求证：1//BC 面1B DE （3）求证：面1B DC ⊥面1B DE
18．有一椭圆形溜冰场，长轴长100米，短轴长为60米，现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？并求出此矩形的周长.
19．已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)-，动点P 满足AP 平行于x 轴，且OA OP ⊥. （1）求出P 点的轨迹方程.
（2）设点(1,0)M ，(6,3)N ，求PM PN +的最小值，并写出此时P 点的坐标. （3）过点(4,0)C 的直线与P 点的轨迹交于G .H 两点，求证G .H 两点的横坐标乘积为定值.
20．已知椭圆的中心是坐标原点O ，它的短轴长为一个焦点为(,0)(0)F c c >，
一个定点210(,0)c A c
-，且2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于两点P .Q .
（1）求椭圆的方程及离心率.
（2）如果以P Q 为直径的圆过原点，求直线PQ 的方程.
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(2,2)A -，(1,1)B 两点，且圆心在直线
220x y --=上．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）过圆C 内一点(1,1)P -作两条相互垂直的弦,EF GH ，当EF GH =时，求四边形
EGFH 的面积．
（3）设直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，4PQ =，且POQ ∆的面积为2
5
，求直线l 的方程．
参考答案
1．C 【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2
,2n
n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 2．B 【解析】 试题分析：，
得不到，因为
可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴和没有公共点，∴
，即能得到
；∴“
”是“”的必
要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能
得到，这样即可找出正确选项.
3．D 【分析】
根据方程表示双曲线的条件列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】
由于方程22
111x y k k
+=+-表示双曲线，所以()()110k k +-<，解得1k <-或1k >.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查二元二次方程表示双曲线的条件，属于基础题. 4．C 【分析】
根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，
利用三视图中的数据即可得结果.
【详解】
该几何体是棱长分别为2,2,1的长方体中的三棱锥：P ABM
-，
其中：
5
2,,5 ABM PMA PMB PAB
S S S S
====，
该几何体的表面积为：222
+=+ .
故选C.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
.
5．C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1
的对角线长即为球直径，所以2R＝13，即R＝13 2
6．D 【详解】
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()2
2
321x y ++-=
1=,
整理：21225120k k ++=，解得：43
k =-
，或3
4k =-,故选D ．
考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 7．D 【解析】
抛物线方程的标准方程即：2
1
x y a
=
， 据此可得，抛物线的焦点位于y 轴上，其焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 本题选择D 选项. 8．B 【分析】
作出可行域，将z ＝2x －y 变形成关于y 的一次函数，得2y x z =-，再根据z -为截距，结合可行域求最值即可 【详解】
作出可行域如图，z ＝2x －y 变形得2y x z =-，作直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，当经过可行域内的点A 时，－z 取最小值，z 取最大值，
由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩
∴A (5，2)，∴z max ＝2×5－2＝8， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由可行域求目标函数的最值，正确作图是解题关键，属于基础题 9．B 【分析】
先求得圆心到直线2x y -=的距离为d =再结合圆的性质，即可得到最大距离为1d +，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，圆2
2
2210x y x y +--+=，可得圆心坐标(1,1)O ，半径为1r =，
则圆心(1,1)O 到直线2x y -=的距离为d =
=
所以圆2
22210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是11d +=.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所
以0c <≤0c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利
用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
11 【解析】
设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点到直线
的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值
为直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，为2.2= 考点：双曲线渐近线，恒成立转化
12．2m =-或12
【分析】
根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得m 的值. 【详解】
由于两条直线垂直，故()()()22320m m m m +⋅-+⋅+=，即22320m m +-=，解得
2m =-或1
2
.
故答案为：2m =-或12
【点睛】
本小题主要考查两条直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题. 13．6 【解析】
抛物线的焦点为()2,0,准线方程为2x =-,故椭圆2c =,由于
1
2
c a =,所以24,12a b ==,椭圆方程为22
11612
x y +=,将2x =-代入椭圆方程求得3y =±,故6AB =.
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程的求法,考查抛物线的定义与基本性质.由于
抛物线的表达式是题目已经给出来的,故根据抛物线的定义可先求得抛物线的焦点和准线方
程,抛物线2
2y px =的焦点为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
,准线方程为2p x =-.再结合离心率即可求得椭圆的标
准方程. 14．
23
π
【分析】
设出圆锥的高和底面半径，利用体积和底面积求得圆锥的底面半径和高，求得母线长，由此求得圆锥侧面展开图的圆心角大小. 【详解】
设圆锥的高为h ，底面半径为r
，依题意221π3ππr h r ⎧⋅=
⎪⎨⎪=⎩
，解得1h r ==，所以圆
锥母线3l ==.所以圆锥侧面展开图的圆心角大小为2π2π
3
r l =. 故答案为：23
π
【点睛】
本小题主要考查圆锥的体积和底面积有关计算，考查圆锥侧面展开图圆心角的求法，属于基础题. 15．②③ 【分析】
对四个条件逐一分析，由此确定能够推导出m β⊥的条件的序号. 【详解】 对于①，,,l m l αβαβ⊥=⊥，此时m 可能在平面β内，不能推出m β⊥，故①不符
合.
对于②，由于,n n αβ⊥⊥，所以//αβ；由于m α⊥，所以m β⊥成立，故②符合. 对于③，两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们相交的交线与第三个平面垂直，故③符合.证明如下：,,m αγαβγβ⋂=⊥⊥，设,a b αβγβ⋂=⋂=，P β∈，在平面β内，过P 分别作,a b 的垂线，垂足分别为,A B ，如图所示.根据面面垂直的性质定理可知
,PA PB αγ⊥⊥，所以,PA m PB m ⊥⊥，而PA PB P =，所以m β⊥.
对于④，,,m ααγβγ⊥⊥⊥，当αβ⊥时，m 可能在平面β内，不能推出m β⊥，故④不符合. 故答案为：②③
【点睛】
本小题主要考查线面垂直关系的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查充分条件的判断，属于基础题. 16．（1）；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）先解出p ，q 下的不等式，从而得到p ：，q ：a≤x≤a+1，所以a=时，
p ：
．由p ∧q 为真知p ，q 都为真，所以求p ，q 下x 取值范围的交集即得实数x
的取值范围；
（2）由p 是q 的充分不必要条件便可得到
，解该不等式组即得实数a 的取值范围．
解：p ：，q ：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q ：
；
∵p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；
∴，∴；
∴实数x 的取值范围为；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，即由p 能得到q ，而由q 得不到p ； ∴
，∴
；
∴实数a 的取值范围为．
考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 17．（1）1
3
4
B BCDE
a V -=；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】
（1）由于1BB ⊥平面BCED ，所以是四棱锥1B BCDE -的高，由此利用
111
3
B BCDE BCDE V S BB -=⋅计算出四棱锥1B BCDE -的体积.
（2）设O 是1B D 中点，F 为1B C 中点，通过证明四边形OFBE 是平行四边形证得
//OE BF ，即1//OE BC ，由此证得1//BC 面1B DE .
（3）通过证明OE ⊥平面1B DC 来证得面1B DC ⊥面1B DE . 【详解】
（1）由题意得：111
3B BCDE BCDE V S BB -=⋅ 而 2
2213224
BCDE DAE
a S a S a a a ∆=-=-⋅⋅=
13
211133344
B BCDE
BCDE a V S BB a a -=⋅=⋅⋅=
. （2）设1B D 的中点为O ，连接OE ，设11BC B C F ⋂=，连接OF .
在正方体中，E 为棱AB 的中点，F 为1B C 中点，所以////BE CD OF ，且
11
,22
OF CD BE CD ==，所以OF BE =,所以四边形OFBE 是平行四边形，
所以//OE BF ，即1//OE BC ，由于OE ⊂平面1B DE ，1BC ⊂平面1B DE ， 所以1//BC 面1B DE .
（3）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，所以1DE B E =， 所以1OE B D ⊥，
又因为1//OE BC ，11B C BC ⊥， 所以1OE B C ⊥，
11111OE B C
OE B D B C B D B ⊥⎫
⎪
⊥⇒⎬⎪⋂=⎭
OE ⊥平面1B DC ， 又 OE ⊂平面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE .
【点睛】
本小题主要考查四棱锥体积计算，
考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，考查空间想
象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条
直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，矩形的周长为. 【分析】
分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为x 轴和y 轴建立坐标系，根据长轴长和短轴长求得椭圆方程.设矩形ABCD 的顶点()00,A x y ，且A 在第一象限，将A 点坐标代入椭圆方程，求
得00,x y 的关系式.求得矩形ABCD 的面积004S x y =，利用配方法求得22
00x y 的最大值，也
即求得矩形ABCD 的面积S 的最大值，并求得此时对应点A 的坐标，从而求得此时矩形的周长，以及矩形ABCD 四个顶点的位置. 【详解】
分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为x 轴和y 轴建立坐标系，设矩形的各个顶点都在椭圆
上，由题意2100a =，260b =，则椭圆方程为22
2215030x y +=，
设顶点00(,)A x y ，00x >，00y >，则22
002215030x y +=，
所以2222
0230(50)50
y x =-，
矩形ABCD 的面积004S x y =，
又因为2
20
x y =2222
0230(50)50x x ⋅-=242200230(50)50
x x -+，
=2
242202305050[()]5024
x --+. 因此当2
2
0502
x =时，2200x y 达到最大值，同时004S x y =也达到最大值，
此时0x =0y =，矩形ABCD 的周长为004()x y +=，
所以在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条
直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形的周长为.
【点睛】
本小题主要考查根据长轴长和短轴长求椭圆方程，考查椭圆中矩形面积的最值有关计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）P 点的轨迹方程为24y x =；（2）最小值为7，P 点坐标为9(,3)4
；（3）证明见解
析 【分析】
（1）设出P 点坐标，由此求出A 点坐标，利用OA OP ⊥则0OA OP ⋅=列方程，化简后求得P 点的轨迹方程.
（2）由于M 是抛物线2
4y x =的焦点，根据抛物线的定义可知P 、M 、N 三点共线时
PM PN +的值最小，由N 点坐标和准线方程，求得最小值以及P 点的坐标.
（3）设出过C 点的直线方程，与2
4y x =联立，利用韦达定理证得两点的横坐标乘积为定
值16. 【详解】
（1）设动点(,)P x y ，则由已知有(4,)A y -， 故OA =(4,)y -，(,)OP x y =， 因为OA OP ⊥，所以0OA OP ⋅=，
所以2
40x y -+=， 即：2
4y x =.
（2）由题意，点(1,0)M 为抛物线2
4y x =的焦点，故PM 即为点P 到准线1x =-的距离，
所以P 、M 、N 三点共线时PM PN +的值最小， 即为点(6,3)N 到准线1x =-的距离， 所以最小值为7，
此时点P 的纵坐标为点(6,3)N 的纵坐标3y =，代入2
4y x =，9
4
x =
， 所以所求最小值为7，此时点P 的坐标为9
(,3)4
.
（3）由题意可设点11(,)G x y .22(,)H x y 过点(4,0)C 的直线为4x my =+与2
4y x =联立
得：
24160y my --=，
所以1216y y =-，
所以 22
2
121212()164416
y y y y x x =⋅==，
所以G .H 两点的横坐标乘积为定值16. 【点睛】
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查抛物线中与焦点有关的距离最小值问题的求解，考查抛物线中的定值问题，属于中档题.
20．（1）22162x y +=；（2）30x --=或30x -= 【分析】
（1）根据短轴长求得b ，根据2OF FA =列方程，求得c ，由此求得a ，从而求得椭圆的方程以及离心率.
（2）当直线PQ 斜率不存在时，不合题意.当直线PQ 斜率存在时，设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，写出判别式和韦达定理.根据圆的直径有关的几何性质得到OP OQ ⊥，化为0OP OQ ⋅=，利用向量数量积的坐标运算进行化简，解方程求得直线PQ 的斜率，进而
求得直线PQ 的方程. 【详解】
（1）由题意得：2b =，
所以 b = (,0)F c O =，2
10(,0)c FA c c -=-
因为2OF FA =，即： 2
102()c c c c
-=-，
解得：2c =，所以a =
所以 c e a =
=
，
所以椭圆的方程为：22162x y +=. （2）由（1）可知(3,0)A ，设 11(,)P x y .22(,)Q x y 显然当直线的斜率不存在时不适合题意，设直线的斜率为k ，
则直线方程为：(3)y k x =-，与椭圆方程22
162
x y +=，
联立得：2
2
2
2
(31)182760k x k x k +-+-=，
4223244(31)(276)k k k ∆=-+-，
2122
1831
k x x k +=+，2122
276
31k x x k -⋅=+， 因为以P Q 为直径的圆过原点， 所以OP OQ ⊥，即0OP OQ ⋅=，
所以 12120x x y y ⋅+=，即 2
1212(3)(3)0x x k x x ⋅+--=，
2221212(1)3()90k x x k x x k +-++=，
即：2222
22
2(1)(276)183903131
k k k k k k k +--++⋅=+,
解得：2
15k =
，即k =，
所以直线PQ 的方程为30x --=或30x -=. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线、数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
21．（1）22
(1)5x y ++=；（2）9；（3）3410x y +-=或3410x y -+=.
【解析】
试题分析：（1）由圆的方程可采用待定系数法或利用圆的性质：弦的垂直平分线过圆心等来求解；（2）将四边形面积用弦长表示，利用直线与圆相交时弦长一半，圆的半径，圆心到直线的距离构成的直角三角形求解；（3）设出直线方程y kx b =+，将弦长和面积用,k b 表示，解方程可得到直线l 的方程
试题解析：（1）因为(2,2)A -，(1,1)B ，所以3AB k =-，AB 的中点为3
1(,)22
-， 故线段AB 的垂直平分线的方程为113
()232
y x +=-，即330x y --=， 由330
{
220
x y x y --=--=，解得圆心坐标为(0,1)-．
所以半径r 满足2
2
2
1(11)5r =+--=． 故圆C 的标准方程为2
2
(1)5x y ++=． （2）∵
∴C 到直线
的距离相等，设为
则
∴
∴四边形的面积
（3）设坐标原点O 到直线l 的距离为，因为
．
①当直线l 与x 轴垂直时，由坐标原点O 到直线l 的距离为
15
知，直线l 的方程为15x =
或1
5
x =-
，经验证，此时4PQ ≠，不适合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx b =+， 由坐标原点到直线l
的距离为11
5d =
=，得22125k b +=（*）， 又圆心到直线l
的距离为2d =
，所以4PQ ===，
即2
2
(1)1b k +=+（**），
由（*），（**）解得34
{14
k b =±
=
．
综上所述，直线l 的方程为3410x y +-=或3410x y -+=． 考点：1．圆的方程；2．直线与圆相交的有关问题。