空间向量的数量积运算 课件

例2(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
b
B
数量积a • b等于 a 的长度 | a |与 b 在 a
的方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3：空间向量数量积运算的分配律 问题5：这三个向量一定共面吗？如果不 是，这条运算律还成立吗？ 结合学习任务单，试作出b c, b, c在方向
a 上的投影.
3：空间向量数量积运算的分配律
3：空间向量数量积运算的分配律
证明：在直线l上取向量 a ,只要证 a PA 0
a PO 0 , a OA 0,
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA
O A a l
0.
a PA,即l PA. 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
问题6：在理清了空间向量数量积的运算律之后， 请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题.
若 a 、b 、c 都不为0
数量积运算误区
判断
可约吗？
数
a b =a c b =c
量
积 运 算
可除吗？
若a
b =k,
则
a
=
k
b
可结合吗？
（a b ）c = a（b c ）
4：应用举例
例 1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
共面向量定理,有了!
证: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方
P
向向量如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
空间向量的数量积运算
1．熟悉背景
探究：
，
2．空间向量数量积
回顾平面向量中投影的概念及作法？
1、平移转化 2、直接作垂线
2：空间向量数量积
问题4:类比平面向量投影的得到过程，在空间中一 个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？
，
2：空间向量数量积
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则 a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
2：空间向量数量积
a b 的几何意义
A
a A1
B1