素数有无穷多个的几个证明

关于素数有无穷多个的几个证明
构造法：
1.欧几里得证法：
证：假设素数只有有限个，设为q 1,q 2,...q n ，考虑p=q 1q 2...q n +1。

显然，p 不能被q 1,q 2,...q n 整除。

故存在两种情况：p 为素数，或p 有除q 1,q 2,...q n 以外的其它素因子。

无论何种情况，都说明素数不止有限个。

假设错误，所以素数有无穷多个5.|
2.
设p 1,...,p n 是n 个两两不同的素数。

再设A r 是其中任意取定的r 个素数的乘积。

证明：任一p j (1≤j ≤n)都不能整除 p 1...p n /A r +A r ;
由此推出素数有无穷多个。

证：因为p j 若不是A r 的因子，必然是p 1...p n /A r 的因子；或者，p j 若是A r 的因子，必然不是p 1...p n /A r 的因子。

因此，p 1...p n /A r +A r 或者是素数，或者除p 1,...,p n 之外有其它素因子。

无论何种情况，都说明素数不止有限个。

假设错误，所以素数有无穷多个。

3.级数法：
假若素数只有有限个p 1,...,p s .证明：对任意正整数N 必有 1111)11...()11(n 1--=--<∑s N
n p p 。

由此推出素数有无穷多个。

证：
1111)11...()11(n 1--=--<∑s N
n p p )1)...(111--=s s p p p p （
)111)...(1-111s p p -=（ )1...11)...(1...111(1211∞+∞++++++++
=s s p p p p p
∑+∞==1
1n n (因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积） 故上式成立。

因为级数∑+∞
=11n n 递增，趋于正无穷大，由上式1111)11...()11(n 1--=--<∑s N
n p p 可知：素数有无穷多个。

（否则，上式右侧为常值）
4.Fermat 数法：
设n ≥0,F n =n
22+1.再设m ≠n.证明：若d>1,且d|F n ,则d 不整除F m .由此推出素数有无穷多个。

证：设2m /2n =r,2n =p 则
当m>n 时，必有F n |m 22-1=(n
22+1)(p r-1-p r-2+...-1) =(n 22+1)∑=-+-r
k k r k p 1
1)1(=(n 22+1)q=F m -2. 由条件可得：d|F m -2,又d>1,且d|F n ,故d ≥3.则d 不整除F m. 当m<n 时，假设d|F m ,推出d 不整除F n .
由以上命题：假设d i 均为素数且ni 递增，则
d 1|F n1→d 1不整除F n2;
d2|F n2→d1,d2不整除F n3;
……
由以上论证过程，可以证明素数有无穷多个。

5.
设A1=2，A n+1=A n2-A n+1(n≥1).再设n≠m.证明：若d|A n,d>1,d 不整除A m.由此推出素数有无穷多个。

证：当m>n时必有A n|A m-1.方法同上。

综上所述：以上证明可以分为两类：
第一类：1.2.3.同样用到了反证法，构造法。

首先假设素数有有限个，通过构造数列，论证矛盾。

第二类：4.5.用到了构造法，直接证明法。

通过构造数列，证明素数有无穷多个。