数字信号处理第四章附加题

第四章附加题

1. 由三阶巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数推到其系统函数，设

1/c rad s Ω=。

2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率

6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最

小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。

3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰

减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。

4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理限带模拟信号。 (1)

如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？

(2)

设120kHz =，重复(1)。

()

()

()

()

()

()

()

T T a x

t x n y n y t a

h n −−−→

−−−→

−−−→

−−−→模-数变换器

数-模变换器

采样周期采样周期

5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述

()()()()10.51y n x n x n y n =----

(1) 系统函数()H Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性（低通、高通等）。

(2) 若输入()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，求系统输出信号达到稳态后的最大幅度値。

6. 设()a h t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，

()0.9,0

0,0

t a e t h t t -⎧≥=⎨<⎩

用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（()h n 表示单位取样响应，即()()a h n Th nT =）。确定系统函数()H z ，并把T 作为参数，T 为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。

7. 用冲激响应不变法将以下

变换为

,抽样周期为T 。

（1） 。

（2）

，n 为任意正整数。

8. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器

的幅度平方函数为

()()

2

21

1/a N

c H j j j Ω=

-ΩΩ

滤波器的技术指标为

()11

0j p p H e ωδωω-≤≤≤≤

()j s

s H e ωδωωπ≤≤≤

假设没有混叠，问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影响，并说明理由。

9. 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其传输函数()a H s ，并选用一种合适

的转换方法，将()a H s 转化成数字滤波器()H z ，最后画出网络结构图。

10. 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足技术指标如下： (1) 通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且没有起伏； (2) 频率在0.5π处的衰减为 3.01dB -；

(3) 频率在0.75π处的衰减至少为15dB 。

11. 设计一个数字滤波器，要求3dB 截止频率为π2.0，频率在π5.0到π之间的

阻带衰减至少为15dB ，系统取样频率为500Hz ，用双线性变换法设计满足指标的最低阶巴特沃思滤波器的传递函数，并用正准型结构实现。

12. 设计一个数字低通滤波器，要求其截止频率 f c = 50Hz ，在 fc 处的衰减为α

c = 3dB 。系统的取样频率为

500Hz ，要求从二阶 Butterworth 模拟低通滤波

器中用双线性变换法导出数字滤波器的 H(z)。

13. 冲激响应不变法和双线性变换法是两种滤波器设计方法。这两种方法将s 左

半平面的极点映射到z 平面单位圆内部，从而保持模拟滤波器的稳定性。如果一个模拟滤波器的所有极点和零点都在s 左半平面内，那么这个滤波器具有最小相位。

（1）确定冲激响应不变法是否可以将最小相位模拟滤波器映射为最小相位

离散时间系统。

（2）对于双线性变换法重复（1）。

14. 阶数2N ≥时，连续时间滤波器()a H s 的系统函数可以用两个低阶系统的级

联来表示

()()()12a a a H s H s H s =

所以，一个数字滤波器可以通过将变换直接应用到()a H s 来设计，也可以通过分别将()1a H s 、()2a H s 变换为()1H z 、()2H z 来设计，然后以级联方式实现

()()()12H z H z H z =

（1） 如果()1H z 、()2H z 用冲激响应不变法由()1a H s 、()2a H s 设计，与用冲激响应不变法由()a H s 直接设计的滤波器()H z ，式()()()12H z H z H z =是否成立。

（2） 对双线性变换法重复（1）。

15. 假设某模拟滤波器()a H s 是一个低通滤波器，又知()()1

1

a z s z H z H s +=

-=，数字

滤波器()H z 的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。

（1） 0ω=（低通）。 （2） ωπ=（高通）。

（3） 除0或π以外的某一频率（带通）。

16. 设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率0.8p ωπ=rad ，通

带衰减不大于3dB ，阻带截止频率0.5s ωπ=rad ，阻带衰减不小于18dB ，采样间隔为2s 。

17. 证明u z =-（旋转变换）是一个低通→高通的稳定变换。

18. 把模拟低通滤波器传递函数中的s 用1/s 代替，就得到模拟高通滤波器。即

若)(s G a 是低通滤波器的传递函数，)(s H a 是高通滤波器的传递函数，则

)/1()(s G s H a a =。另外，数字滤波器还可以借助双线性变换1

1

+-=

z z s 从模拟滤波器映射得到（为方便起见，设2=T ）。在这种映射下，虽然频率刻度有

了畸变，但保留了幅度特性的特征。下图的网格表示一个截止频率为

2/

πω=L

的低通滤波器。常数A 、B 、C 、D 都是实数。试问为了得到截止频

率为2/πω=H 的高通滤波器，应如何修改这些系数？

19. 利用双线性变换法设计一个满足下面指标要求的数字带通巴特沃思滤波器：

通带上下边缘频率各为 200Hz 和300Hz ，通带波动3dB ，阻带上下边缘频率分别为 50Hz 和450Hz ，阻带衰减20dB ，取样频率为1kHz 。请用模拟滤

ω