高一数学对数运算及对数函数试题

高一数学对数运算及对数函数试题

一：选择题

1．若lo ｇ7[l ｏg 3(lo ｇ2ｘ）]=０,则为( ）

Ａ．

B.

Ｃ.

D.

解:∵ｌog ７[log ３(log 2ｘ）]=0， ∴ｌog 3（l ｏg 2x ）=1, ∴log 2x=3， ∴x=８， ∴

＝

＝

=

.

故选D ．

２．23(log 9)(log 4)?=（ ） （A ）

14 （B)1

2

（C) 2 (D)4 【答案】D

3.的值是（ C )

A ． 12 B.

C ． ﹣１2

D.

解：=log 6（4×９）+2﹣１６＝﹣12，

故选C ． 4．实数﹣

?

+ｌg4+２ｌｇ5的值为（ D )

A ． ２5

B ． 2８

Ｃ. 32

Ｄ． ３3

解：

﹣?+ｌg4+２ｌg5＝﹣２×（﹣2)+l ｇ（4×25）=27+４+2=3

３，

故选D ．

5．已知lg2=ａ,10b =3,则l ｏg 1２5可表示为( ) Ａ． B.

C ．

D ．

解:∵lｇ2=ａ,1０b=3,

∴ｌg３=b，

∴ｌｏｇ12５＝

=

=.

故选C．

6.lgｘ+lｇy＝2ｌg（x﹣２y）,则的值的集合是（）

A. {１}

B. {２} C．｛1，0｝Ｄ. {2，0｝

解:∵lｇｘ+lgｙ＝2ｌｇ（ｘ﹣２y),∴lg（x﹣2y)2＝lgｘy,

∴(x﹣2y)2＝xy,∴x2﹣５xy+4y2=0，

∴﹣5?＋4=0，∴=1（舍去)或=4,

故＝loｇ24=２，

故选B.

7．已知f(ｅx）＝x，则f（5)等于（Ｄ）

A．e5 B. 5e C. ｌｏg5e D．l n5 解:∵ｆ(eｘ)=x，令eｘ＝t，解得x=lnt,

∴f（ｔ）=lｎｔ（t>0)，

∴f（5）＝ln5,

故选D．

８．设,则a,b,c的大小顺序为（)

Ａ. a>b＞ｃB．a>c＞b C. b＞a＞ｃ D. ｃ

解:因为,

又1．8>1．5>1．44，

函数y=２x是增函数，所以a>c＞ｂ．

故选B.

９．已知幂函数y=ｆ(x)的图象过点,则log2f(２）的值为( A ）A. Ｂ．

C．２D．﹣２

﹣

解:设log2f（2）＝n，则f（２)=2n

∴f（ｘ）=ｘn

又∵由幂函数y=f(x）的图象过点

∴，

故选A．

10．若非零实数ａ、b、c满足，则的值等于( )

Ａ．1Ｂ. 2 C. ３Ｄ. 4

解：∵,

∴设=ｍ,

ａ＝ｌｏg5m,b=log２m,c=2lgm,

∴=

=2ｌgm（ｌog m5+log m2)

＝2lgm?log m10

=２.

故选Ｂ.

11．已知ｆ(ｘ）=,则ｆ(log2３）的值是（A）

Ａ. Ｂ．Ｃ. ２4 D. 1２解:∵1

∴f（ｌｏg23）=ｆ（1+log２3）＝f(log26）＝

=

故选:Ａ．

12.已知函数f（x）满足：x≥4，则ｆ（x）=；当x＜4时f（x）＝f（x+１），则f （2＋loｇ２3)＝( A ）

Ａ.

Ｂ.

C ．

Ｄ.

解：∵３<２+log 23＜4,所以f （2+l ｏｇ23)=f （3+l ｏg ２3）

且3+log 23＞4

∴f （2+log ２3)=f(3＋ｌog 2３) =

故选A.

13．若log a 2

<13

,则a 的取值范围是 ( ) A.a ＞１ Ｂ.a 20<<3?C.a 2<<13? Ｄ．a 2

0<<3

或a >1

【答案】D

14．函数2

()ln(43x )f x =＋－x 的单调递减区间是( ） A. 3(,]2-∞ Ｂ. 3[,)2+∞ C. 3(1,]2- D. 3[,4)2

【答案】Ｄ

15.已知函数()()x x f a

-=2log 1在其定义域上单调递减,则函数()()

2

1log x x g a -=的单调

减区间是( ）

A. (]0,∞- Ｂ. ()0,1- C ． [)+∞,0 D. [)1,0 【答案】B

1６.已知函数212

()log ()f x x ax a =--，在1

()2-∞-，上是增函数，则实数a 的取值范围是

( )

A ．[1)-+∞， ?Ｂ.1[1)2-， C ．1

[1]2

-，?D ．(1]-∞-，

【答案】C

17.已知函数x

a x f =)(0(>a 且1≠a ）与函数x x g a log )(=0(>a 且1≠a )的图象有交点，函数)()()(x g x f x +=?在区间]2,1[上的最大值为2

1

,则)(x ?在区间]2,1[上的最小值为（ ） A. 21-

; B ． 21; Ｃ. 45； D ． 4

3-． 【答案】D 18．当102

x <≤

时,4log x

a x <,则a 的取值范围是 ( ) A.(02 B.2，1) C ．(12) D.2,2)

【答案】Ｂ

二:填空题

19．若5a=2，b＝ｌｏg53，则5３a﹣２ｂ＝．

解:∵5a=２，b=ｌog53,

∴5b=3，

53a﹣2b=（５a)3÷(5ｂ)2

=23÷32

=，

故答案为：．

20.求值：=．

解：

=

=+2+2

=．

故答案为：.

21.设=．

解:∵2ａ=5ｂ＝t，

∴a=ｌｏg２t,b=log５t,

∴=

=

=log t2+logｔ5=logｔ10=３,

∴t3＝1０,

∴ｔ=．

故答案为：． 22．方程的解为

.

解：当ｘ≤0时,无解 当x>０时，

（2ｘ

)2﹣2?2x ﹣1＝0

解得:

即x=

故答案为：

２3．若函数23()log log 2f x a x b x =++,且1

()52012

f =,则(2012)f 的值为 _ ． 【答案】-１

2４.函数y=2

0.5(43)x x -㏒的定义域为＿____＿_＿．

【答案】31

{|10}44

x x x <≤-≤<或 25．已知函数21

()log ()2

a f x ax x =-+(01a a >≠且）在[1,2]上恒正,则实数a 的取值范

围为 ． 【答案】153

(,)(,)282

+∞ 三:解答题 2６．计算.

解: =

+

﹣102×10

ｌg2

=9﹣２﹣１0０×2 ＝193．

２7．若2()f x x x b =-+，且22(log )log [()]2(1)f a b f a a ==≠，

. (1)求2(log )f x 的最小值及对应的x 值;（2）若不等式2(log )(1)f x f >的解集记为A ，不等式2log [()](1)f x f <的解集记为Ｂ，求A

B .

解：(1） ∵ 2()f x x x b =-+

∴ 2

22

2(log )log log f a a a b b =-+=，∴ 22log 1log 0a a ==或 ∴ a ＝ ２或a = 1(舍）

又 ∵ 2222log [()]log ()log (2)2f a a a b b =-+=+= ∴ 24b += ∴ b = 2?

∴ 2()2f x x x =-+，22222217

(log )log log 2(log )24f x x x x =-+=-+

∴ 当21

log 2x x =，即2(log )f x 的最小值为74

（2) 由2222(log )(1)log log 22f x f x x >-+>得 ∴ 22log (log 1)0x x ->∴ 22log 0log 1x x <>或 ∴ 012x x <<>或,即{|012}A x x x =<<>或? 由222log [()](1)log (2)2f x f x x <-+<得 ∴ 202412x x x <-+<-<<解得

∴ {|12}B x x =-<< ∴ {|01}A B x x =<<

2８.设函数22()log (4)log (2)f x x x =?,1

44

x ≤≤, 若x t 2log =,求t 取值范围；

（2)求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值。 解：(1）44

1

,log 2≤≤=x x t 4log 4

1

log 22

≤≤∴t 即22≤≤-t

（2)()2log 3log 22

2++=x x x f

x t 2log =∴令,则,4123232

2-???

??+=++=t t t y

23

22,23log 23-=-=-=∴x x t 即当时，()4

1

min -=x f

当()12,42max ===x f x t 时即

２9．已知函数f(x)=log a [(a 1-2)x+1]在区间［１,２］上恒为正,求实数a 的取值范围.

解:∵ｆ（x)＝log ａ[(a 1－2)x ＋1］在[1,2]上恒正,

(1)当a>1时,真数μ=(a 1－2)x+1＞1,

∴(a 1-2)x ＞0,∴a 1－2>0即ａ＜21 (舍) .

(2)当0＜ａ<1时，0＜μ＜1

∴??????

?<+->+-11)21(01)21

(x a

x a ?

要使①式当x ∈[1，2]恒成立，则

1

01,(2)110210,(2)2103a a a a

?<<-?+>????

???<???∴0

要使②式成立,则（a 1-2)ｘ＜0,只要a 1-2<0,∴a 1<2 ，∴a>21．

综上2

1

３0．已知函数)421(log )(5.0a x f x

x ?++=；

（1）若0=a ,求)(x f 的值域;（2）在(1)的条件下，判断)(x f 的单调性; （3)当]1,(-∞∈x 时)(x f 有意义求实a 的范围。

解:(1)若0=a ,)0,()(,121),)(21(log )(5.0-∞∈∴>+∈+=∴x f R x x f x

x 的值域； (2）,121),21(log )(5.0>+=+=x

x t x f 令

,21,log )(5.0单调递增单调递减x t t x f +== .)21(log )(5.0上单调递减在R x f x +=∴

或用定义法说明。

(3)]1,(-∞∈x 时，)421(log )(5.0a x f x

x ?++=有意义，

①

]1,(-∞∈∴x 时，0421>?++a x x

,

2

1

41)()1(,2

141)(,2141单调递增令x x x x x x x u x x u a --=≤--=--

>∴

)

,4

3

(,

43

)1()(max +∞-∈∴-==∴a u x u

31

(1）求实数m 的值；（２)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性,并给出证明； (3）当(,2)x n a ∈-时,函数()f x 的值域是(1,)+∞,求实数a 与n 的值 解：（1)由已知条件得

()()0f x f

x -+=对定义域中的x 均成立.

∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立. ∴21m =

(

∴当121x x >>时∴ 12t t <.

当1a >时，12log log a a t t <,即12()()f x f x <．

∴ 当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数.

∴ 同理当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是增函数．

∴ (3）函数()f x 的定义域为(1,)(,1)+∞?-∞-,

∴①21n a <-≤-,∴01a <<． ∴()f x 在(,2)n a

-为增函数，

要使值域为(1,)+∞,

) ②12n a ≤<-， ∴3a >．

∴()f x 在(,2)n a -为减函数,

要使()

f x 的值域为(1,)+∞,

32.已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的奇函数， 当0>x 时，x x f 2log )(=.

（Ⅰ)求当0

+≥k k 恒成立,求证:函数)(x f 的图象与直线

x y =没有交点．

解：（Ⅰ）当0

??

?<-->=0)(log )

0(log )(22x x x x x f ，

∴[]()[]()?

??-<+--->+=???<++-->++=+1)1(log )

1()1(log 01)1(log )01()1(log )1(2222x x x x x x x x x f

因为1)1(-<+x f ，∴??

?-<+->1)1(log 12x x 或[]???-<+---<1

)1(log 1

2x x

∴3-

1

1-

<<-x . （Ⅲ）根据对称性，只要证明函数)(x f 的图象与直线x y =在()+∞∈,0x 上无交点即可。 令()+∞∈,0x ,函数x y x y ==221log ，

当(]1,0∈x 时，212100y y y y <>≤，则， 当21211121)](22(y y k y k y N k x k k k <+≥>+≤∈∈+，则，时，，则在()+∞∈,0x 上直线x y =始终在x y 2log =的图象之上方.

综上所述，由于对称性可知，函数)(x f 的图象与直线x y =没有交点.