2019-2020学年度北京市第八十中学第一学期高一数学期中考试题

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2022-2023学年北京八十中高一(上)期中数学试题及答案

北京市第八十中学2022-2023学年度第一学期期中考试高一数学试卷 2022.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若集合{}21A x x =−<<，{}02Bx x =<<，则集合A B = （） A ．{}11x x −<< B ．{}21x x −<<C ．{}22x x −<<D ．{}01x x <<2．下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．3．“1x <”是“21x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．在下面四个等式运算中，正确的是（）A ．22133a a −=B ．2133a a ÷C ．342=D 8=−5．若函数()()2212f x x a x =+−+在区间(),4−∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤−B ．3a ≥−C ．5a ≤D ．3a ≥6．如图是函数()y f x =的图象，()6f 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数()2f x x x =−的单调递减区间是（） A ．[]1,2 B ．[]1,0−C ．[]0,2D ．[2,)+∞8．已知253()5a =，352()5b =，252()5c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨数为 A ．20B ．30C ．40D ．6010．已知函数(1)2,0,()0,0,(2)2,0.f x x f x x f x x −+> == ++<则(3)f −=（）A ．0B ．2C ．4D ．611．设区间[110,),[,1]22A B ==，函数1()23(1),x x Af x x x B+∈ = −∈ ，，若0x A ∈，且0(())f f x A ∈，则0x 的取值范围是（） A ．11(,)32B ．[10,)4C ．3[0,]8D ．11(,)4212．已知集合{}115M x x =∈≤≤N ，集合1A ，2A ，3A 满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M =∪∪．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（） A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．存在量词命题[]:2,2p x ∃∈−，24x x −≤的否定是__________． 14．设集合{}2,M a a =，{}1N =，若N M ⊆，则a 的值为_________． 15．函数()f x =的定义域是______． 16．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(8,4)，则a 的值为________．17．除函数y x =，[]1,2x ∈外，再写出一个定义域和值域均为[]1,2的函数：_________．18．设关于x 的不等式220ax x a −+≤的解集为S ．（1）若S 中有且只有一个元素，则实数a 的值为___________；（2）若0S ∈且1S −∉，则实数a 的取值范围是___________．19．用max{,}a b 表示,a b 两个实数中的最大值．设2()max{2,35}f x x x x =+−+，则函数()f x 的最小值是________．20．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调，且(1)2f =，(2)3f −=，给出下列四个结论： ①()f x 在(,0]−∞上单调递减； ②存在(1,1)x ∈−，使得()2f x ≥；③不等式2()3f x <<的解集为(2,1)(1,2)−− ；④关于x 的方程2[(1)]5(1)60f x f x −−−+=的解集中所有元素之和为4．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．21．已知集合{31}Ax x a =>+∣，集合{}2560B xx x =−+>∣（Ⅰ）当3a =−时，求A B ；（Ⅱ）若A B B =∪，求实数a 的取值范围．22．已知二次函数()f x 满足(1)()22f x f x x +−=−，且(1)=0f ：（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若[]1,4x ∈时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围．23．已知函数2()1x mf x nx −=+是定义在[1,1]−上的奇函数，且1(1)2f =．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若实数t 满足不等式()()210f t f t −+<，求t 的取值范围．24．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x −++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①(1)x y a a =>； ②3y x =．（Ⅱ）若函数()f x 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈− ，有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对[0,]x n ∀∈，均有()0≤f x ．若成立，给出证明；若不成立，给出反例．北京市第⼋⼗中学2022-2023学年度第⼀学期期中考试⾼⼀数学参考答案2022.11⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．1．D2．C3．B4．B5．A6．A7．A8．D9．B10．D11．A12．D⼆、填空题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．13．，．14．．15．16．17．答案不唯⼀．例如：，．18．（1）1；（2）19．3．20．①③④三、解答题：本⼤题共4⼩题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．21．解：（Ⅰ）当时，集合集合或；所以或．……………………7分（Ⅱ）因为，所以，所以，即．……………………13分22．解：（Ⅰ）设⼆次函数，，由题意知：，整理得：，即：，解得：，∴．……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的图象开⼝向上，时，，解得：或，∴当，，图象在轴下⽅，当，，图象在轴上⽅，对于，当时，，当时，图象在图象的上⽅，不合题意；当时，，开⼝向上，当时，图象在图象的上⽅，不合题意；当时，，开⼝向下，函数的图象恒在图象的上⽅，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，，即有：，即：．综上，的取值范围是：．……………………12分23．解：（Ⅰ）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），则，解得，，所以函数，经检验，函数为奇函数，所以，；……………………4分（Ⅱ）在，上单调递增．证明如下：，且，则，由，得，，，⼜，，所以，即，故函数在，上单调递增；……………………9分（Ⅲ）不等式可化为，⼜是奇函数，所以，⼜是增函数，且，所以，解得．所以的取值范围是．……………………13分24．（Ⅰ）证明：①函数具有性质．，因为，，即，此函数为具有性质．②函数不具有性质．例如，当时，，，所以，，此函数不具有性质．……………………4分（Ⅱ）假设为中第⼀个⼤于的值，则，因为函数具有性质，所以，对于任意，均有，所以，所以，与⽭盾，所以，对任意的有．……………………8分（Ⅲ）不成⽴．例如证明：当为有理数时，均为有理数，，当为⽆理数时，均为⽆理数，所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质．⽽当（）且当为⽆理数时，．所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成⽴．…………12分（其他反例仿此给分．如，，等．）。

北京市第八十中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市第八十中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}3,5,6,8A =，{}1,3,5B =，那么A B =I ( )A. {}1,3,5,6,8B. {}6,8C. {}3,5D. {}1,6,8【答案】C【解析】【分析】进行交集的运算即可．【详解】解：{}3,5,6,8A =Q ，{}1,3,5B ={}3,5A B ∴=I 故选：C ．【点睛】考查集合列举法表示，以及交集的运算．2.如果a b >，那么下列不等式一定成立的是（）A. 22a b ->-B. c a c b ->-C. a c b c +>+D. 22a b >【答案】C【解析】分析：根据题目中所给的条件，结合不等式的性质得到大小关系.详解：a b >，22a b -<-,故A 不正确；c a c b -<-,B 也不正确；a cbc +>+，C 正确；D 22a b >不一定正确，当a,b 为负数时，不等式不成立. 故答案为：C.点睛：这个题目考查了根据已知条件得到不等式的大小关系；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3.给出下列四个函数：①21y x =-+；②y x =；③1y x=-；④y x =.其中在区间()0,∞+上是减函数的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④ 【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的四个函数的单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①21y x =-+，为二次函数，在(0,)+∞上是减函数；对于②y x =，为幂函数，在(0,)+∞上是增函数；对于③1y x=-，为反比例函数，在(0,)+∞上是增函数；对于④||y x =，当0x >时，y x =，即其在(0,)+∞上是增函数；故选：A ．【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．4.如图，给出了奇函数()f x 的局部图象，那么f(1)等于A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的图象可得f （﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f （1）的值，即可得答案．【详解】根据题意，由函数的图象可得()12f -=，又由函数为奇函数，则()()112f f =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．5.如果幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则()f x 在定义域内( ) A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值【答案】C【解析】【分析】由幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，得到2()f x x =，由此能求出函数的单调性和最值．【详解】解：Q 幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，()224a f ∴==，解得2a =，2()f x x ∴=，()f x ∴在(],0x ∈-∞递减，在[)0,x ∈+∞递增，有最小值，无最大值。

2024年北京八十中高一(上)期中数学试题及答案

2024北京八十中高一（上）期中数学2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =−，{}13,N A x x x =−<<∈，则UA =（）A. {}1,3−B. {}1,2C. {}1,0,3−D. {}0,1,22. 下列函数中是偶函数的是（） A. 4(0)y x x =< B. 221y x =+ C. 31y x =−D. 1y x =+3. 已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（） A. ac bc >B. 22a b >C. 33a b >D.11a b< 4. 函数3x y =的大致图象是（）A. B.C. D.5. 若奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间[]7,3−−上是（） A. 增函数且有最大值5− B. 增函数且有最小值5− C. 减函数且有最大值5−D. 减函数且有最小值5−6. 随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（） A. 7000 1.067⨯⨯元B. 77000 1.06⨯元C. 7000 1.068⨯⨯元D. 87000 1.06⨯元7. 已知0a >，则41a a++的最小值为（） A. 1−B. 3C. 4D. 58. 如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =−−>，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A. {}0x x ≤B. {}1x x ≥−C. {}10x x −≤≤D. {}04x x x 或9. “01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax −+≥对R x ∀∈恒成立”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧−+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x −<−成立，则a 的取值范围是（） A. (]0,3B. [)2,+∞C. ()0,∞+D. []2,311. 函数()221,21,2x x f x x x ⎧−<−=⎨−≥−⎩的值域为（）A. 31,4⎛⎫−−⎪⎝⎭B. [)1,−+∞C. (),−∞+∞D. 31,4⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭12. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（）A.M 没有最大元素，N 有一个最小元素B. M 没有最大元素，N 也没有最小元素C. M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D. M 有一个最大元素，N 没有最小元素二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13. 函数()21x f x −=的定义域为______.14. 关于a 的不等式的220a −<解集是______. 15. 计算：()33log 927+−=______.16. 命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______． 17. 已知()21g x x =−，当[]2,6x ∈时，函数()g x 的最小值是______，最大值是______. 18. 如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD ）为P ，两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白.若2cm a =，2800cm P =，则当AB = ______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.19. 函数()2f x x x =−+的单调递增区间是______.20. 函数10.52x y =+的值域是______.21. 已知函数()243f x x x =−+，()32g x mx m =+−，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +−=成立，则实数m 的取值范围为______.22. 已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则()()()1122m m x y x y x y ++++⋅⋅⋅++的值是______.三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23. 记全集U =R ，集合{}221,A x a x a a =−≤≤+∈R ，{}37B x x x =≤≥或. （1）若2a =，求A B ⋂，UB ；（2）若A B ⋃=R ，求a 的取值范围；（3）若AB A =，求a 的取值范围.24. 已知函数()22f x x mx =−（1）当[]0,1x ∈，()f x 的最大值为3，求实数m 的值.（2）当11t −≤≤时，若不等式()22f t t >−恒成立，求实数m 的取值范围.25. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？ 26. 已知函数()21ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()f x 在[−1,0]的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域R 上的准确示意图. 27. 设集合A 为非空数集，定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A −==−∈．（1）若{}1,1A =−，写出集合A +、A −；（2）若{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A −=，求证：1423x x x x +=+；（3）若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈，且A A +−=∅，求集合A 元素个数的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 【答案】A【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =−<<∈=，{}1,0,1,2,3U =−，所以{}1,3UA =−.故选：A. 2. 【答案】B【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，因为函数4(0)y x x =<的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A 不符题意；对于B ，函数()221y f x x ==+的定义域为R ， ()()221f x f x x −==+，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数()31y f x x ==−的定义域为R ，()()31f x x f x −=−−≠，所以函数不是偶函数，故C 不符题意；对于D ，函数()1y f x x ==+的定义域为R ，因为()()1012f f −=≠=，所以函数不是偶函数，故D 不符题意. 故选：B. 3. 【答案】C【分析】根据特值法可排除A ，B ，D ，根据3y x =在R 上单调递增，可判断C 项. 【详解】当0c =时，ac bc =，故A 错误；当1a =−，2b =−时，22a b <，故B 错误；因为3y x =在R 上单调递增，且a b >，所以33a b >，故C 正确；当1a =，1b =−时，11a b>，故D 错误. 综上，正确的为C . 故选：C . 4. 【答案】B【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x ≥，所以31x≥，排除AC ，且3,033,0x xx x x −⎧≥=⎨<⎩，排除D.故选：B 5. 【答案】A【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f =，又()f x 为奇函数，所以函数()f x 在区间[7,3]−−上是增函数，且有最大值(3)(3)5f f −=−=−. 故选：A 6. 【答案】B【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，根据题意可得7000 1.06x y =⨯，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为77000 1.06⨯元．故选：B. 7. 【答案】D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a >，根据基本不等式可得441115a a a a ++=++≥=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立；所以41a a++的最小值为5，故选：D. 8. 【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合{|1A x x =<−或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{AB x x =<−或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}UA B x x =−≤≤.故选：C. 9.【答案】A【分析】首先求不等式恒成立时a 的取值范围，再根据集合的关系，即可判断. 【详解】不等式2210ax ax −+≥对R x ∀∈恒成立,当0a =时，10≥恒成立，当0a ≠时，2Δ440a a a >⎧⎨=−≤⎩，得01a <≤，所以01a ≤≤，所以“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax −+≥对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 10. 【答案】D【分析】由题意可知函数()f x 在R 上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x −<− 成立，不妨假设12x x <，则210x x −>，可得()()210f x f x −<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪−+≥⎪⎩，解得：23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3. 故选：D. 11. 【答案】C【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当2x −＜时，()21xf x =−因为函数2xy =在(),2−∞−上单调递增，所以函数21x y =+在(),2−∞−上单调递增，又20x >所以()31,4f x ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭；当2x ≥−时，()()[]21,1,f x x f x =−∈−+∞，所以，()f x 的值域为[)1,−+∞. 故选：B. 12. 【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A正确；若{,M x Q x =∈<，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确；若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13. 【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫−∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足{2x −1≠02−x >0，得2x <且12x ≠，所以函数的定义域为11,,222∞⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：11,,222∞⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14. 【答案】{a a <<【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】(2200a a a −<⇔+−<，得a <<所以不等式的解集为{a a <<.故答案为：{a a <<15. 【答案】19681−【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解. 【详解】()33log 92721968319681+−=−=−. 故答案为：19681−16.【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 17. 【答案】 ①.25##0.4 ②. 2 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】[]12,2,6x x ∀∈，且12x x <，()()()()()211212122221111x x g x g x x x x x −−=−=−−−−，因为[]2,6x ∈，12x x <，所以21120,10,10x x x x −>−>−>，所以()()120g x g x −>，即()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,6上为减函数，则()()()()min max 26,225g x g g x g ====，故答案为：25，2. 18. 【答案】 ①. 20cm ②. 21152cm【分析】首先设cm AB x =，再根据条件，用x 表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解. 【详解】设cm AB x =，纸的用量为S ，则800cm AD x=，所以()()8008002448S x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2320083288321152cm x x =++≥+=，当32008x x=时，即20cm x =，所以当20cm AB =时，最少的纸的用量为21152cm . 故答案为：20cm ；21152cm19.【答案】1,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+≥=⎨−−<⎩，当0x ≥时，221124y x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数的单调递增区间，当0x <时，221124y x x x ⎛⎫=−−=−++ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦20. 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用指数函数的值域可得0.522x +>，再利用不等式的性质即可求解. 【详解】因为函数10.52xy =+定义域为R ，又0.50x >，所以0.522x +>，所以1100.522x <<+，即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.21. 【答案】(][),44,−∞−⋃+∞【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于m 的不等式，求解即可. 【详解】因为对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +−=成立，即()()2112g x f x x =+成立，设()()()2222312h x f x x x x x −+=−+=+=，因为[]0,4x ∈，所以()[]2,11h x ∈，当0m =时，()3g x =，不符合题意；当0m >时，可得()[]32,23g x m m ∈−+，则3222311m m −≤⎧⎨+≥⎩，解得4≥m ；当0m <时，可得()[]23,32g x m m ∈+−，则2323211m m +≤⎧⎨−≥⎩，解得4m ≤−；综上所述，实数m 的取值范围为(][),44,−∞−⋃+∞. 故答案为：(][),44,−∞−⋃+∞. 22. 【答案】m【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2f x f x −=−得，()()2f x f x −+=，所以()y f x =关于点()0,1对称，111x y x x +==+关于点()0,1对称，所以函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点有2m 对关于点()0,1对称，所以123...0m x x x x ++++=，12 (22)m my y y m +++=⨯=，所以()()()1122m m x y x y x y m ++++⋅⋅⋅++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. 【答案】（1）{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<< （2）{}|35a a ≤≤（3）{|1a a ≤或}9a ≥【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a 的一个方程组，求解即可；（3）分A =∅和A ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】若2a =，则{}05A x x =≤≤，又{3B x x =≤或7}x ≥，则{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<；【小问2详解】集合{}221,A x a x a a =−≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，A B ⋃=R ，所以23217a a −≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}|35a a ≤≤；【小问3详解】因为A B A =，则A B ⊆，{}221,A x a x a a =−≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，当A =∅时，221a a −>+，解得3a <−；当A ≠∅时，221213a a a −≤+⎧⎨+≤⎩或22127a a a −≤+⎧⎨−≥⎩，解得31a −≤≤或9a ≥，综上,若A B A =，求a 的取值范围为{|1a a ≤或}9a ≥.24. 【答案】（1）1m =−（2）51|22m m ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()22220t m t −++>在[]1,1t ∈−上恒成立，令()()2222h t t m t =−++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222f x x mx x m m =−=−−，当0m ≤时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递增，所以()()max 1123f x f m ==−=，解得1m =−；当1m ≥时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递减，所以()()max 003f x f ==≠，矛盾；当01m <<时，函数()f x 在[)0,x m ∈上递减，在[],1m 上递增，所以()()max 003f x f ==≠或()()max 1123f x f m ==−=，解得1m =−，均不符合题意；综上1m =−；【小问2详解】当11t −≤≤时，若不等式()22f t t >−恒成立，即2222t mt t −>−在[]1,1t ∈−上恒成立，即()22220t m t −++>在[]1,1t ∈−上恒成立，令()()2222h t t m t =−++，该函数对称轴为1t m =+， ①当11m +≥，即0m ≥时，函数()h t 在[]1,1t ∈−上递减，只需让()()min 10h t h =>即可，则()()112220h m =−++>，解得12m <，即102m ≤<； ②当111m −<+<，即20m −<<时，此时()()()()()2min 1122120h t h m m m m =+=+−+++>，解得11m −<<−+，即20m −<<；③当11m +≤−，即2m ≤−时，函数()h t 在[]1,1t ∈−上递增，此时()()112220h m −=+++>，解得52m >−，即522m −<≤−；综上m 的取值范围为51|22m m ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭. 25.【答案】（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=−<⎨⎪−>⎩（2）153m【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯−=−，当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯−=−，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=−<⎨⎪−>⎩；【小问2详解】解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去，当1218x <时，63654y x =−=，解得15x =，当18x >时，99054y x =−=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .26. 【答案】（1）()21x f x x =−+，零点为0 （2）函数()21x f x x =−+在[]1,0x ∈−上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f ⎛⎫=−⎪⎝⎭可解得a ，b 的值，即可得函数的解析式；令()0f x =可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，解得0b =，又1225f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，即21225112a =−⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =−，所以()21x f x x =−+，令()0f x =得201x x −=+，解得0x =，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21x f x x =−+在[]1,0x ∈−上单调递减；证明：设1210x x −≤<≤，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x −−−=−+=++++，因为1210x x −≤<≤，所以120x x −<，1210x x −<，(x 12+1)(x 22+1)>0，所以f (x 1)−f (x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1)(x12+1)(x 22+1)>0，即()()12f x f x >，所以函数()21x f x x =−+在[]1,0x ∈−上单调递减；【小问3详解】函数()f x 的图像如下：27. 【答案】（1）{}2,0,2A +=−，{}0,2A = （2）证明见解析（3）1348【分析】（1）根据定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A −==−∈，直接求解即可，（2）由题意利用集合A 中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k 的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得{}2,0,2A +=−，{}0,2A =，【小问2详解】证明：因为{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A −=，所以集合A −也有四个元素，且都为非负数，因为12||0x x A −−=∈，又因为A A −=，所以0A ∈且10x =，所以集合A −中其他元素为220x x −=，330x x −=，440x x −=，即{}2131410,,,}A x x x x x x −=−−−，剩下的324321x x x x x x −=−=−，因为1324240x x x x x x =<−<−<，所以322x x x −=，423x x x −= 即4231x x x x −=−，即1423x x x x +=+，所以1423x x x x +=+【小问3详解】设{}123,,,,k A a a a a =，满足题意，其中123k a a a a <<<<，因为11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+<，所以21A k +≥−，因为1121311k a a a a a a a a −<−<−<<−，所以||A k −≥，因为AA +−=∅，所以31A A A A k +−+−⋃=+≥−， A A +−中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +−⋃≤+−≤+≤∈≤，实际当{}674,675,676,,2020A =，时满足题意，证明如下：设{},1,2,2021A m m m =++，N m ∈，则{}2,21,22,4040A m m m +=++，{}0,1,2,2020A m −=−，由题意得20202m m −<，即16733m >，故m 的最小值为674．即{}674,675,676,,2021A =时，满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数为202167411348−+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +−⋃≤+−≤+≤∈≤，进而证明{}674,675,676,,2021A =符合题意.。

北京市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

xC. y = x 2 - 4 x +5D. y = x -1 +27.已知函数 f ( x ) = ⎨ 2a是(－∞，＋∞)上的减函数，则 a 的取值范围是 ⎪⎩ x北京市 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 8 小题）1.方程-x 2-5x +6=0 的解集为（）.A. {-6,1}B. {2,3}C. {-1,6}D. {-2, -3}2.“ x > 2 ”是“ x 2 > 4 ”的（）A. 必要不充分条件C. 充分必要条件B. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）.A. y = -3x - 1B. y = 24.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x 2 ，则 f (-1 ) = 2A. -C. -14 94B.D.1 4 9 45.设函数 f （x ）=4x + A. 有最大值 36.若函数 f ( x ) = x + A. －2C. 11 xax-1（x ＜0），则 f （x ）（）.B. 有最小值 3C. 有最小值 -5D. 有最大值 -5(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则 a 的值可能是( )B. 0D. 3⎧(a - 3)x + 5, x ≤ 1 ⎪, x > 1A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]8.设函数 f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的 x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x-y|并且函数 f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数 g （x ）-f （x ）=x ，则不等式 g （2x-x 2）+g （x-2）＜0 的解集是（）.A. (-∞,1)⋃ (2, +∞)C. (-∞, -1] ⋃ (2 , +∞ )B. (1,2 )D. (-1,2 )14.已知函数f (x)=⎨x,x<a．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．110.已知方程ax2+bx+1=0两个根为-，3，则不等式ax2+bx+1>0的解集为______．411.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．的12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．⎧-x x+2x,x≥a⎩①若a=0，则函数f(x)的零点有______个；②若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．16.已知函数f(x)=ax-2 x．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．17.一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x1•x2的最值；（3）如果x-x＞5，求m的取值范围．1218.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f（x）=x2+b x+c，其中b，c∈R．（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．f -⎪=-f ⎪=- ⎪=-x(-4x)⋅参考答案1【答案】A【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．2【答案】B【详解】因为x2>4⇔x>2或x<-2，所以，“x>2”能推出“x2>4”，“x2>4”不能推出“x>2”，“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件，故选B.3【答案】D【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=2x在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D．4【答案】A【详解】由奇函数的性质结合题意可得：⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭本题选择A选项.5【答案】D 1 4.【详解】当x＜0时，f(x)=4x+11-1=-[(-4x)+]-1≤-2-x1-x-1=-5．当且仅当-4x=-11，即x=-时上式取“=”．x2∴f(x)有最大值为-5．21112∴0＜g(x)-g(y)故选：D．6【答案】A【详解】函数f (x)=x+a(a∈R)的图象在(1，)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2 x时，f(1)＝－2＜0，f(2)＝2－＝＞0，.故f(x)在区间(1，)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.7【答案】D【详解】因为函数f(x)为R上的减函数，所以当x≤1时，f(x)递减，即a-3<0，当x>1时，f(x)递减，即a>0，且(a-3)⨯1+5≥2a，解得a≤2，1综上可知实数a的取值范围是(0,2]，故选D.8【答案】A【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵g(x)-f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，∴g(x)-g(y)-(x-y)x-yg(x)-g(y)即|-1|＜1，x-yx-y＜2，＜1，由对任意实数x,y(x≠y)有g(x)-g(y)x-y>0得g(x)单调递增，∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，< x < 3⎬ ⎧ ⎧ b ⎧4 ⎪⎪ a⎪⎪⎩ ⎩⎪ 本题正确结果： ⎨ x -< x < 3⎬∴2x-x 2＜2-x ，整理可得，x 2-3x +2＞0，解可得，x ＞2 或 x ＜1，故选：A ．9【答案】0【详解】∵x 1，x 2 是方程 x 2+2x-5=0 的两根，则 x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5． ∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．故答案为：0．10【答案】 ⎨ x -⎩ 1 4⎫⎭- = - + 3 a =- 43【详解】由题意得： ⎨⇒⎨ ⎪ 1 = - 1 ⨯ 3 ⎪b = 11 ⎪ a 431则不等式可化为： 4 x 2 - 11x - 3 < 0⇒- < x < 34⎧ ⎩1 ⎫4 ⎭11【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x-3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为：∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．12【答案】2【详解】f (x )，g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，则 f (1)+g (1)=-1+1+2=2．故答案为：213【答案】{-3，3}【详解】因为函数 f (x )=x 2-2x +1=(x-1)2，⎨ （所以对称轴为 x =1，顶点坐标为(1，0)．令 x 2-2x +1=4 得：x 2-2x-3=0，解得：x =-1 或 3，所以 a +2=-1 或 a =3，即：a =-3 或 3．故答案为：{-3，3}14【答案】(1). 2(2). ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦【详解】 ① ⎧- x 2 + 2 x , x ≥ 0当 a=0， f ( x ) = ⎨⎩ x, x < 0当 x ≥ 0 ,时， -x 2 + 2x =0，解得 x=2 或 x=0，当 x < 0 ，x=0 无解故有两个零点② （1）当 a > 1 时，f （1）=1，此时 f (a) > 1 ，不成立，舍；（2）当 a=1，此时 f （x ）的最大值为 f （1），所以成立；（3）当 a < 1 ， f ( x ) = ⎧- x x + 2x, x ≥ a⎩x, x < a⎧ x 2 + 2 x , x < 0令 g ( x ) = - x x + 2x = ⎨⎩- x 2 + 2 x, x > 0f ( x ) ≤ f (1) = 1∴ g ( x ) ≤ 1当 x<0 时， x 2 + 2 x ≤ 1, x ∈ [-1 - 2,0)当 x ≥ 0 时， - x 2 + 2 x ≤ 1 ，恒成立；故 a ≥ -1 - 2 ，综上 -1 - 2 ≤ a ≤ 1故答案为 ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦15【答案】 1）{9}（2）x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时， A ∪B={-9，5，9，100}．（ =(x 1-x 2)(1+)， ∴(x 1-x 2)(1+ )＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)，（2）最小值为 - ，最大值为 1 （3） -1，- ⎪ （ 5 4【详解】(1)x =-3 时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A ∩B={9}；(2)∵A ∩B={9}，∴9∈A ，∴x 2=9，或 x-1=9，解得 x =±3 或 10，x =3 时，不满足集合 B 中元素的互异性，∴x =-3 或 10，由(1)知，x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A ∪B={-9，5，9，100}．16【答案】 1） {x|x ≠ 0} ，奇函数（2）单调递增，证明见详解，最大值【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为 {x|x ≠ 0}7 2，最小值-1；∵f (-x )=-ax + 2 x=-f (x )，∴f (x )奇函数；(2)由 f (1)+f (2)=a-2+2a-1=0，∴a =1，f (x )=x-设 0＜x 1＜x 2，2 x，则 f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2 +∵0＜x 1＜x 2，2 2 2- x x x x2 1 1 2∴x 1-x 2＜0，1+ 2 x x1 2＞0，2x x1 2∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数 f (x )在区间[1，4]上的最大值为 f (4)=72，最小值为 f (1)=-1．17【答案】 1） -2 ≤ m ≤ 2 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎝ 3 ⎭【详解】(1)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴ △=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0，2 从而，x 1•x 2 最小值为 - ，最大值为 1．()从而解得： -1＜m ＜ - ，∴ m ∈ -1，- ⎪ ．()（从而解得：-2 ≤ m ≤2．3(2)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．1∴由根与系数关系得： x ⋅ x = m 2 + m - 1 = (m + )2 - 125 4，又由(1)得：-2 ≤ m ≤ 2 3，5 1 5∴ - ≤ (m + )2 - ≤ 1 ，4 2 45 4(3)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴由根与系数关系得： x + x = m ，x ⋅ x = m 2 + m - 1 ，1 212∴ x - x = ( x - x )2 = ( x + x )2 - 4 x x = m 2 - 4 m 2+ m - 1 ＞ 5 ，1212121 21 32又由(1)得： -2 ≤ m ≤ ，3⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭18【答案】 1） S = 4000 x 2 +400000 x 2+ 38000, 0 < x < 10 2 ；（2）118000 元200 - x 2【详解】(1)由题意，有 AM = ，由 AM ＞0，有 0＜x ＜10 2 ；4x则 S=4200x 2+210(200-x 2)+80×2× (200 - x 2 4x)2 ；400000 - 4000x 2 + 10x 4400000 S=4200x 2+42000-210x 2+ =4000x 2+ +38000；x 2x 2∴S 关于 x 的函数关系式：S=4000x 2+400000 x 2+38000，(0＜x ＜102 )；(2)S=4000x 2+ 400000 400000+38000≥2 4000x 2 ⋅x 2 x 2+38000=118000；当且仅当 4000x 2=400000 x 2时，即 x = 10 时， 10 ∈(0，10 2 )，S 有最小值；2]2•[s+(1-s)2]2=1 -+c=c-∴当x=10米时，S m in=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．19【答案】（1）-2（2）证明见解析（3）（0，1 16）【详解】(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-由f(x)的图象关于直线x=1对称，b 2，可得-b2=1，解得b=-2，故答案为：-2．(2)证明：由f(x)在[-1，1]上不单调，可得-1＜-b2＜1，即-2＜b＜2，b b2b2b2对任意的x∈R，f(x)≥f(-)=，2424b2由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；4(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0＜rs(1-r)(1-s)＜[r+(1-r)16，则c2+(1+b)c∈(0，1 16)．1．已知集合 A = {-1，0,1,2}, B = x -2 < x ≤1 ，则 A ， } ，，北京市丰台区 2019-2020 学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90 分钟第 I 卷（共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

2019-2020学年北京八十中高一(上)期中数学试卷

2019-2020学年北京八十中高一（上）期中数学试卷一、选择题1. 已知集合A＝{3, 5, 6, 8}，B＝{1, 3, 5}，那么A∩B＝（）A.{1, 3, 5, 6, 8}B.{6, 8}C.{3, 5}D.{1, 6, 8}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{3, 5, 6, 8}，B＝{1, 3, 5}，∴A∩B＝{3, 5}．2. 如果a>b，那么下列不等式一定成立的是（）A.a+c>b+cB.c−a>c−bC.−2a>−2bD.a2>b2【答案】A【考点】不等式的概念【解析】由不等式的基本性质即可选出正确答案．【解答】∵a>b，∴a+c>b+c，∴A正确．3. 给出下列四个函数：①y＝−x2+1；②y=√x；③y=−1；④y＝|x|．其中在x区间(0, +∞)上是减函数的是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析所给的四个函数的单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝−x2+1，为二次函数，在(0, +∞)上是减函数；对于②y=√x，在(0, +∞)上是增函数；对于③y=−1，为反比例函数，在(0, +∞)上是增函数；x对于④y＝|x|，当x>0时，y＝x，即其在(0, +∞)上是增函数；4. 如图，给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f(1)等于（）A.−4B.−2C.2D.4【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的图象可得f(−1)的值，结合函数的奇偶性可得f(1)的值，即可得答案．【解答】根据题意，由函数的图象可得f(−1)＝2，又由函数为奇函数，则f(1)＝−f(−1)＝−2，故选：B．5. 如果幂函数f(x)＝x a的图象经过点(2, 4)，则f(x)在定义域内（）A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数f(x)＝x a，由幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2, 4)，得到f(x)＝x2，由此能求出函数的单调性和最值．【解答】设幂函数f(x)＝x a，∵幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2, 4)，∴f(2)＝2a＝4，解得a＝2，∴f(x)＝x2，∴f(x)在定义域先递减再递增，有最小值，6. 已知a>0，那么a−2+4a的最小值是（）A.1B.2C.4D.5【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】根据题意，将a−2+4a 变形为a+4a−2，由基本不等式的性质分析即可得答案．【解答】根据题意，a−2+4a =a+4a−2，又由a>0，则a−2+4a =a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；7. 下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是（）A.y=√x2B.y=x2x C.y=√x23 D.y=(√x)2【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据题意可知，本题是找哪个函数与y＝x(x≥0)表示同一个函数，选项A，C的解析式和y＝x不同，从而都不是同一个函数；选项B的定义域与y＝x(x≥0)的定义域不同，也不是同一个函数，从而只能选D．【解答】判断与y＝x(x≥0)是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x(x≥0)表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x(x≥0)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．8. 设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．【解答】a，b是实数，如果a＝−1，b＝2则“a+b>0”，则“ab>0”不成立．如果a＝−1，b＝−2，ab>0，但是a+b>0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【考点】函数的概念【解析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力．【解答】对于 A ，由图象可知当速度大于 40km/ℎ 时，乙车的燃油效率大于 5km/L ，∴ 当速度大于 40km/ℎ 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km ，故 A 错误；对于 B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴ 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；对于 C ，由图象可知当速度为 80km/ℎ 时，甲车的燃油效率为 10km/L ，即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km ，燃油为 8 升，故C 错误；对于 D ，由图象可知当速度小于 80km/ℎ 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴ 用丙车比用乙车更省油，故 D 正确；10. 函数f(x)={x 2,x ≥tx,0<x <t (t >0)是区间(0, +∞)上的增函数，则t 的取值范围是（）A.1B.(0, +∞)C.(1, +∞)D.[1, +∞)【答案】 D【考点】分段函数的应用【解析】分段函数的单调性不但每一段都满足单调性，还得看端点值，使之有连续性．【解答】∵ y ＝x 2和y ＝x 在(0, +∞)上都是增函数，要想函数f(x)={x 2,x ≥tx,0<x <t (t >0)是区间(0, +∞)上的增函数，只需在端点处y ＝x 2的图象在y ＝x 的上方即可， ∴ t 2≥t 解得t ≥1，11. 若函数f(x)同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f(x)+f(−x)＝0；（2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝−x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2,x ≥0x 2,x <0．其中是“理想函数”的序号是（） A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)＝0，即f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0，即（x1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴ x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数（1）f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”（2）f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”（3）f （x ）＝x −1x 在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”（4）f （x ）={−x 2,x ≥0x 2,x <0 ，在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数” 【考点】命题的真假判断与应用【解析】由“理想函数”的定义可知：若f(x)是“理想函数”，则f(x)为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．【解答】对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)＝0，即f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，即(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，∴ x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)，即函数f(x)是单调递减函数．故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数．（1）f(x)＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；（2）f(x)＝−x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”；（3）f(x)＝x −1x 在定义域所在区间(−∞, 0)，(0, +∞)上分别单调递增，所以不是“理想函数”；（4）f(x)={−x 2,x ≥0x 2,x <0 ，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．12. 对于集合M ＝{a|ax 2−y 2, x ∈Z, y ∈Z}，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（）①如果P ＝{b|b2n +1, n ∈Z}，那么P ⊆M ；②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据2n +1＝(n +1)2−n 2，得出2n +1∈M ，即P ⊆M ； ②根据c ＝4n +2，证明4n +2∉M ，即c ∉M ； ③根据a 1∈M ，a 2∈M ，证明a 1a 2∈M ．【解答】集合M ＝{a|ax 2−y 2, x ∈Z, y ∈Z}，对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ，则恒有2n +1＝(n +1)2−n 2，∴ 2n +1∈M ，即P ＝{b|b2n +1, n ∈Z}，则P ⊆M ，①正确；对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2−y 2＝4n +2， ∴ 4n +2＝(x +y)(x −y)，又x +y 和x −y 同奇或同偶，若x +y 和x −y 都是奇数，则(x +y)(x −y)为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x −y 都是偶数，则(x +y)(x −y)能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴ 4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确；对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12−y 12，a 2＝x 22−y 22，x i 、y i ∈Z ；则a 1a 2＝(x 12−y 12)(x 22−y 22)＝(x 1x 2)2+(y 1y 2)2−(x 1y 2)2−(x 2y 1)2 ＝(x 1x 2+y 1y 2)2−(x 1y 2+x 2y 1)2∈M 那么a 1a 2∈M ，③正确．综上，正确的命题是①②③．二、填空题已知函数f(x)={1,x ≥0−2x,x <0 ，如果f(m)＝4，那么实数m 的值为________．【答案】 −2【考点】分段函数的应用【解析】分段函数问题，分类讨论即可，注意端点值的处理．【解答】当m ≥0时，∵ 函数在x ≥0时，f(x)＝1， ∴ f(m)＝1≠4，不合题意舍去；当m ≤0时，∵ 函数x <0时，f(x)＝−2x ， ∴ f(m)＝−2m ＝4， ∴ m ＝−2．已知二次函数f(x)满足如表所给对应关系：则不等式的解集为．【答案】(1, 4)【考点】一元二次不等式的应用【解析】设函数f(x)＝ax2+bx+c，(a≠0)，由表中数据知f(2)＝−1<0，知道此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点(1, 0)、(4, 0)，从而求出不等式f(x)<0的解集．【解答】设函数f(x)＝ax2+bx+c，(a≠0)，由表中数据知1和4是方程f(x)＝0的两根，又f(2)＝−1<0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点(1, 0)和(4, 0)，∴不等式f(x)<0的解集为1<x<4．命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是________．【答案】“∃x0∈R，|x0|+1<1”【考点】命题的否定【解析】直接由全称命题的否定是特称命题得答案．【解答】命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1<1”．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0, +∞)时，函数y＝f(x)单调递增．若f(1)＝0，则f(−1)＝________；不等式f(x)<0的解集为________．【答案】0,(−∞, −1)∪(0, 1)【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f(−1)＝−f(1)＝0，变形即可得f(1)＝0；结合函数的单调性分析可得在区间(0, 1)上，f(x)<0，在区间(1, +∞)上，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得在区间(−1, 0)上，f(x)>0，在区间(−∞, −1)上，f(x)<0，综合即可得答案．【解答】当x∈(0, +∞)时，函数y＝f(x)单调递增，且f(1)＝0，则在区间(0, 1)上，f(x)<0，在区间(1, +∞)上，f(x)>0，又由f(x)为奇函数，则在区间(−1, 0)上，f(x)>0，在区间(−∞, −1)上，f(x)<0，综合可得：不等式f(x)<0的解集为(−∞, −1)∪(0, 1)(1)故答案为：(−∞, −1)∪(0, 1)．若“x 2−2x −3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．【答案】 −1【考点】集合关系中的参数取值问题充分条件、必要条件、充要条件【解析】因x 2−2x −3>0得x <−1或x >3，又“x 2−2x −3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，知“x <a ”可以推出“x 2−2x −3>0”，反之不成立，由此可求出a 的最大值．【解答】因x 2−2x −3>0得x <−1或x >3，又“x 2−2x −3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，知“x <a ”可以推出“x 2−2x −3>0”，反之不成立．则a 的最大值为−1．已知函数f(x)=√mx 2−2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】 [0, 1) 【考点】函数的定义域及其求法【解析】据题意可知，不等式mx 2−2mx +1>0的解集为R ，从而讨论m:m ＝0时，显然满足题意；m ≠0时，{m >0△=4m 2−4m <0 ，解出m 的范围即可．【解答】∵ f(x)的定义域为R ，∴ 不等式mx 2−2mx +1>0的解集为R ， ①m ＝0时，1>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m >0△=4m 2−4m <0，解得0<m <1，∴ 实数m 的取值范围是[0, 1)．设函数f(x)＝x −[x](x ≥0)，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】(14, 13) 【考点】函数与方程的综合运用【解析】画出f(x)的图象，数形结合，可以判断出k 的范围．【解答】画出f(x)的示意图如下：当y ＝kx 过(3, 1)时，k =13，当y ＝kx 过(4, 1)时，k =14，所以k ∈(14, 13)，已知函数f(x)={x +4x ,0<x <4−x 2+10x −20,x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值为________，若存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．【答案】11或12,(96, 100) 【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据解析式画出图象，数形结合找到当y ＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，对应求出x 1，x 2，x 3，即可求出他们的和；而当y ∈(4, 5)时，存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，根据解析式可以求出x 1x 2＝4，x 3+x 4＝10，所以x 1x 2x 3x 4可化成−4(x 3−5)2+100，再结合x 3范围即可求出取值范围．【解答】不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列：如下图：当y ＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，则当y ＝4时，x 1＝2，x 2＝4，x 3＝6，此时x 1+x 2+x 3＝12；当y ＝5时，x 1＝1，x 2＝4，x 3＝5，此时x 1+x 2+x 3＝11．如图，，结合上问可知，当y ∈(4, 5)时，存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，不妨令此时y ＝a ，则对于x 1、x 2满足方程x +4x =a ，即x 2−ax +4＝0，所以x 1x 2＝4；对于x 3、x 4满足方程−x 2+10x −20＝a ，即−x 2+10x −20−a ＝0，所以x 3+x 4＝10，则有x 4＝10−x 3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3(10−x 3)＝−4(x 3−5)2+100，其中x 3∈(4, 5)，则−4(x 3−5)2+100∈(96, 100)，三、解答题已知集合A ＝{x|x 2−4x +3≤0}，B ={x|1x−1>0}．（1）求(∁R B)∪A ；（2）若集合C ＝{x|(x −a)(x −a −1)<0}(a ∈R)，且C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【答案】A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x >1}，∴ ∁R B ＝{x|x ≤1}，(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}； C ＝{x|a <x <a +1}，且C ⊆A ， ∴ {a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2，∴ 实数a 的取值范围为[1, 2]．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）可以求出A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x >1}，然后进行并集和补集的运算即可；（2）可以求出C ＝{x|a <x <a +1}，根据C ⊆A 即可得出{a ≥1a +1≤3 ，解出a 的范围即可．【解答】A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x >1}，∴ ∁R B ＝{x|x ≤1}，(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}；C ＝{x|a <x <a +1}，且C ⊆A ，∴ {a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴ 实数a 的取值范围为[1, 2]．函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25． (1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(−1, 1)上是增函数；(3)解不等式f(t −1)+f(t)<0．【答案】(1)解：由题意得{f(0)=0,f(12)=25.由此可解得{a =1,b =0.∴ f(x)=x 1+x 2．(2)证明：设−1<x 1<x 2<1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1+x 12>0，1+x 22>0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，∴ f(x)在(−1, 1)上是增函数．(3)解：f(t −1)+f(t)<0，∴ f(t −1)<−f(t)，即f(t −1)<f(−t)，∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ −1<t −1<−t <1，解之得0<t <12．【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的性质函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据函数的奇偶性得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性，得到关于t 的不等式，解出即可．【解答】(1)解：由题意得{f(0)=0,f(12)=25.由此可解得{a =1,b =0.∴ f(x)=x 1+x 2．(2)证明：设−1<x 1<x 2<1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1+x 12>0，1+x 22>0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，∴ f(x)在(−1, 1)上是增函数．(3)解：f(t −1)+f(t)<0，∴ f(t −1)<−f(t)，即f(t −1)<f(−t)，∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ −1<t −1<−t <1，解之得0<t <12．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)={30,0<x ≤30,2x +1800x −90,30<x <100,（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．【答案】解：(1)由题意知，当30<x <100时，f(x)=2x +1800x −90>40，即x 2−65x +900>0，解得x <20或x >45，∴ x ∈(45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0<x ≤30时，g(x)=30⋅x%+40(1−x%)=40−x 10；当30<x <100时，g(x)=(2x +1800x −90)⋅x%+40(1−x%)=x 250−1310x +58；∴ g(x)={40−x 10,0<x ≤30,x 250−1310x +58,30<x <100, 当0<x <32.5时，g(x)单调递减；当32.5<x <100时，g(x)单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【考点】分段函数的应用【解析】（1）由题意知求出f(x)>40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，再说明其实际意义．【解答】解：(1)由题意知，当30<x <100时，f(x)=2x +1800x −90>40，即x 2−65x +900>0，解得x <20或x >45，∴ x ∈(45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0<x ≤30时，g(x)=30⋅x%+40(1−x%)=40−x 10；当30<x <100时，g(x)=(2x +1800x −90)⋅x%+40(1−x%)=x 250−1310x +58； ∴ g(x)={40−x 10,0<x ≤30,x 250−1310x +58,30<x <100, 当0<x <32.5时，g(x)单调递减；当32.5<x <100时，g(x)单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．设函数y ＝f(x)与函数y ＝f （f(x)）的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f(x)）＝x ”的函数f(x)组成的集合．（1）判断函数f(x)＝2x −1和g(x)=1x 是不是集合M 中的元素？并说明理由．（2）设函数f(x)∈M ，且f(x)＝kx +b(k ≠0)，试求函数f(x)的解析式．（3）已知f(x)=ax x+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．【答案】对任意x ∈R ，f （f(x)）＝2(2x −1)−1＝4x −3≠x ，所以f(x)不是集合M 中的元素； g 对任意x ≠0，（g(x)）=11x =x ，所以g(x)是集合M 中的函数；因为函数f(x)∈M ，所以f （f(x)）＝k(kx +b)+b ＝k 2x +(k +1)b ＝x ，所以k 2＝1，(k +1)b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝−1，b 取任何实数，则f(x)＝x 或f(x)＝−x +b ；因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f(x)）=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即(a +b)x 2−(a 2−b 2)x ＝0恒成立，故a+b＝0．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）只须验证对任意x∈R，f（f(x)）＝x，任意x≠0，g（g(x)）＝x是否成立；（2）表示出f（f(x)）＝x，对应求出k，b即可；（3）根据定义，问题可转换为f(x)＝f（f(x)）＝x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：(a+b)x2−(a2−b2)x＝0恒成立，即a+b＝0．【解答】对任意x∈R，f（f(x)）＝2(2x−1)−1＝4x−3≠x，所以f(x)不是集合M中的元素；g对任意x≠0，（g(x)）=11x=x，所以g(x)是集合M中的函数；因为函数f(x)∈M，所以f（f(x)）＝k(kx+b)+b＝k2x+(k+1)b＝x，所以k2＝1，(k+1)b＝0，解得k＝1，b＝0，或k＝−1，b取任何实数，则f(x)＝x或f(x)＝−x+b；因为f(x)=axx+b ∈M，所以f（f(x)）=a⋅axx+baxx+b+b=x，即(a+b)x2−(a2−b2)x＝0恒成立，故a+b＝0．。

【20套试卷合集】北京市八一中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案2011－11－02班级_________ 姓名___________ 学号____________ 成绩____________一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)．1．已知集合A ＝｛2，5，6｝，B ＝｛3，5｝，则集合A ∪B ＝________． 2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是________． 3．用“＜”将2.02.0-、3.23.2-、3.2log 2.0从小到大排列是________．4．函数)13lg(1132++-+=x xx y 的定义域为________．5．计算33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)++=________．6．函数221xx y =+的值域为________．7．函数052log (1)xy x =-+在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为________．8．若函数f (x )＝x 2·lga －6x ＋2与轴有且只有一个公共点，那么实数a 的取值范围是________． 9．若f (x )表示－2x ＋2与－2x 2＋4x ＋2中的较小者，则函数f (x )的最大值为________． 10．函数2log log (2)x y x x =+的值域是________． 11．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________ 12．二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是________．13．若函数22()log ||4f x x x =+-的零点(,1)m a a ∈+，a Z ∈，则所有满足条件的a 的和为________．14．已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(．给出如下结论：①对任意Z ∈m ，有0)2(=mf ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在Z ∈n ，使得9)12(=+n f ； ④“若Z ∈k ，)2,2(),(1+⊆k kb a ”，则“函数)(x f 在区间),(b a 上单调递减”其中所有正确结论的序号是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知集合{A x y ==，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．(1)求AB ；(2)若A C A = ，求实数m 的取值范围．16．(本题满分14分)已知函数(),(0,1)xf x a b a a =+>≠．(1)若()f x 的图像如图(1)所示，求,a b 的值； (2)若()f x 的图像如图(2)所示，求,a b 的取值范围．(3)在(1)中，若|()|f x m =有且仅有一个实数解，求出m 的范围．(1) (2)17．(本小题满分14分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M 万元和N 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：M ＝4x ，N ＝x ≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少?共能获得多大利润?18．(本题满分16分)已知函数xxa x f +-=1lg)(， (Ⅰ)若)(x f 为奇函数，求a 的值；(Ⅱ)若)(x f 在(－1，5］内有意义，求a 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若)(x f 在(m ，n )上的值域为(1,)-+∞，求(m ，n )．19．函数y ＝f (x )对于任意正实数x 、y ，都有f (xy )＝f (x )·f (y )，当x ＞1时，0＜f (x )＜1，且f (2)＝19． (1)求证：()11=⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f ()0>x ；(2)判断f (x )在(0，＋∞)的单调性；并证明； (3)若f (m )＝3，求正实数m 的值．20．(本小题满分16分)已知R a ∈，函数a x x x f -=)(，(Ⅰ)当a ＝2时，作出图形并写出函数)(x f y =的单调递增区间；(Ⅱ)当a ＝－2时，求函数)(x f y =在区间(1,2]的值域；(Ⅲ)设0≠a ，函数)(x f 在),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m 、的取值范围(用a 表示)．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：DDCAC DBADD 二、填空题 11．{x |－2＜x ＜1} 12．)(x f ＝－x 2－2x －3 13．[2,3] 14．(2)(3)(4)三、解答题：本小题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题12分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |(m －1)x －1＝0}，且A ∩B ＝B ，求由实数m 为元素所构成的集合M ．解：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ……(2分)又A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}……(4分)∴①当m －1＝0，即m ＝1时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；……(6分)当m －1≠0时，②若B ＝{2}时，有11-m ＝2，得m ＝23……(8分) ③若B ＝{3}时，有11-m ＝3，得m ＝34……(10分)∴M ＝{1，23，34} ……(12分)16．(本题满分12分)(1)已知5log 3＝2a ，b3 ＝7，用a ，b 表示9log 35． (2)计算：25lg ＋328lg ＋5lg ×20lg ＋2)2(lg ．解：(1)由于b3＝7可化成7log 3＝b ，………………(2分) 所以9log 35＝35log 9log 33＝5log 7log 233+＝ab 22+ ……(6分)(2)原式＝25lg ＋22lg ＋5lg ×(22lg ＋5lg )＋2)2(lg＝2＋2)5(lg ＋2lg 25lg ＋2)2(lg …………(12分) ＝2＋2)2lg 5(lg +＝2＋1＝317．(本题满分14分)已知)(x f ＝1212+-x x(1)判断)(x f 的奇偶性； (2)求)(x f 的值域；(3)判断并用定义证明)(x f 在(－∞，＋∞)上的单调性．解：(1))(x f 的定义域为(－∞，＋∞)，且)(x f -＝1212+---x x ＝x x 2121+-＝1212+-x x ＝－)(x f所以，)(x f 为R 上的奇函数，……………………………………………(4分)(2)由y ＝1212+-x x 得x 2＝y y-+11………………………………(6分)∵x2＞0 ∴yy-+11＞0 ∴－1＜y ＜1………………………………(8分) 所以，)(x f 的值域为{y |－1＜y ＜1}.…………………………(9分) (3))(x f 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．……………………(10分) 证明：设任意的1x ，2x ∈R ，且1x ﹤2x ，则 )(1x f －)(2x f ＝121211+-x x －121222+-x x ＝)12)(12()12)(12(2121+++-x x x x －)12)(12()12)(12(2112+++-x x x x ＝)12)(12()22(22121++-x x x x 又∵1x ﹤2x ∴12x＜22x，所以)(1x f ＜)(2x f ，故)(x f 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数18．(本小题14分)某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元∕件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)，可近似看做一次函数b kx y +=的关系(图象如下图所示)．(1)根据图象，求一次函数b kx y +=的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s 元．①求s 关于x 的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．解：(1)由图象可知，⎩⎨⎧+⨯=+⨯=b k b k 700300600400，解得，⎩⎨⎧=-=10001b k所以y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (4))(2)①由(1)，s ＝xy －500y ＝(－x ＋1000)(x －500)＝－x 2＋1500x －(500≤x ≤800)……………………………………………………(9分)②由①可知，s ＝－2)750(-x ＋62500，其图像开口向下，对称轴为x ＝750，所以当x ＝750时，m ax s ＝62500即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件…………(14分)19．(本小题满分14分)已知函数y ＝x a (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记)(x f ＝2+xxa a ． (1)求a 的值；(2)证明)(x f ＋)1(x f -＝1； (3)求)20111(f ＋)20112(f ＋)20113(f ＋…＋)20112010(f 的值. 解：(1)函数y ＝xa (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴a ＋2a ＝20，得a ＝4，或a ＝－5(舍去)………………(4分)(2)证明：由(1))(x f ＝244+x x∴)(x f ＋)1(x f -＝244+x x ＋24411+--x x ＝244+x x ＋24444+xx ＝244+x x ＋4424+⨯x ＝244+x x ＋242+x ＝1…………………………………………(9分) (3)由(2)知)20111(f ＋)20112010(f ＝1，)20112(f ＋)20112009(f ＝1，…，)20111005(f ＋)20111006(f ＝1 ∴)20111(f ＋)20112(f ＋)20113(f ＋…＋)20112010(f＝)20111(f ＋)20112010(f ＋)20112(f ＋)20112009(f ＋…＋)20111005(f ＋)20111006(f＝1＋1…＋1＝1005…………………………………………(14分)20．(本小题满分14分)定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意x ∈D ，存在常熟M ＞0，都有|)(x f |≤M成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．(1)判断函数)(x f ＝222+-x x ，x ∈[0,2]是否是有界函数，请写出详细判断过程； (2)试证明：设M ＞0，N ＞0，若)(x f ，)(x g 在D 上分别以M ，N 上界，求证：函数)(x f ＋)(x g 在D 上以M ＋N 为上界；(3)若函数)(x f ＝1＋⋅a x )21(＋x⎪⎭⎫⎝⎛41在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解：(1))(x f ＝222+-x x ＝1)1(2+-x ，当x ∈[0,2]时，1≤)(x f ≤2则|)(x f |≤2，由有界函数定义可知)(x f ＝222+-x x ，x ∈[0,2]是有界函数…………(4分) (2)由题意知对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|)(x f |≤M 成立即M -≤)(x f ≤M ……………………………………………………(5分) 同理N -≤)(x g ≤N (常数N ＞0)……………………………………(6分) 则)(N M +-≤)(x f ＋)(x g ≤M ＋N ……………………………………(7分)即|)(x f ＋)(x g |≤M ＋N ∴)(x f ＋)(x g 在D 上以M ＋N 为上界………………(8分) (3)由题意知，|)(x f |≤3在[1，＋∞)上恒成立．－3≤)(x f ≤3，－4－x ⎪⎭⎫ ⎝⎛41≤a ·x )21(≤2－x⎪⎭⎫⎝⎛41……∴－4·x 2－x)21(≤a ≤2·x 2－x)21(在[0，＋∞)上恒成立∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-x x)21(24≤a ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅x x)21(22……设x2＝t ，)(t h ＝t t 14--，)(t p ＝tt 12-，由x ∈[0,＋∞)得t ≥1，设1≤1t ＜2t ,)(1t h －)(2t h ＝212112)14)((t t t t t t --＞0)(1t p －)(2t p ＝212121)12)((t t t t t t +-＜0所以)(t h 在[1，＋∞)上递减，)(t p 在[1，＋∞)上递增，…………………(12分) (单调性不证，不扣分).)(t h 在[1，＋∞)上的最大值为)1(h ＝－5，)(t p 在[1，＋∞)上的最小值为)1(p ＝1所以实数a 的取值范围为[－5,1]．…………………………………………(14分)2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1、下列关系式中，正确的关系式有几个（）1）∈Q 2）0N 3）{1，2} 4) φ={0}A．0 B．1 C．2 D．32. 设集合A=R，集合B={y|y>0}，下列对应关系中是从集合A到集合B的映射的是( )A．B．C. D.3.集合U={x︱x是小于6的正整数}，A={1,2},={4},则 =( )A．{3,5} B.{3, 4} C.{2,3} D.{2,4}4.函数的定义域为（）A． B． C.(-1,1) D．(-1,0)(0,1)5.已知函数，若，则实数（）A． 0 B.2 C. D.0或26.若实数x，y满足|x－1|－ln＝0，则y关于x的函数图象的大致形状是( )7.已知函数f(x)=，若f(2011)=10,则f(-2011)的值为（）A．10 B．-10 C．-14 D.无法确定8. 已知函数，若且，则的取值范围是（）A． B. C. D. w_w w. gkstk.c9. 设均为正数，且，，，则（）A．m＞p＞q B. p＞m＞q C. m＞q＞p D. p＞q＞m10．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A． B.C. D.11.已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12．设函数，对于给定的正数，定义函数，若对于函数定义域内的任意，恒有，则( )A．的最小值为1B．的最大值为1C．的最小值为D．的最大值为二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13.若函数的最小值为2，则函数的最小值为____________.14.已知函数是偶函数，定义域，则函数的值域是_________.15.已知，，若，则实数的取值范围是____________.16．已知集合M={f(x) }，有下列命题①若f(x)=，则f(x)M；②若f(x)=2x，则f(x)M；③f(x)M，则y=f(x)的图像关于原点对称；④f(x)M，则对于任意实数x1,x2(x1x2)，总有﹤0成立；其中所有正确命题的序号是_______.(写出所有正确命题的序号)三.解答题（共6题，共70分）17.（本小题10分）(1)（2）18．( 本小题满分12分)已知，.（1）求和；（2）定义且，求和.19.( 本小题满分12分)已知是定义在（-∞，+∞）上的函数，且满足（1）求实数，并确定函数的解析式；（2）用定义证明在（-1，1）上是增函数.20.( 本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格（元）与时间（天）组成有序数对，点落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示。

【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中+答案

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0；（2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝；不等式f （x ）＜0的解集为． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是．三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}．（1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由．（2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式．（3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数．故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ，则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确；对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ），又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确；对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ；则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”，反之不成立．则a 的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14，所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列：如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25，由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2．（2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10；当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ，所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。

2022-2023学年北京市第八十中学高一上学期期中考试数学试卷(带讲解)

【详解】，即，所以，
，，，即，
所以，即，解得：
又由，所以 .
故选：A.
12.已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；② ．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（）
A.56B.72C.87D.96
【答案】D
【答案】， ## ，
【分析】利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“ ， ”.
故答案为：， .
14.设集合，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】由集合元素的特性确定a的取值范围，再利用包含关系列式计算作答.
【详解】由集合M知，，则且，因，，
均有，
所以，
所以，
与矛盾，
所以，对任意的有．
（3）不成立．
例如，
证明：当x为有理数时，，均为有理数，
，
当x为无理数时，，均为无理数，
所以，函数对任意的，
均有，
即函数具有性质．
而当且当x为无理数时，．
所以，在（2）的条件下，
“对任意均有 ”不成立．
如，，
等．
【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．
∴当，，图象在轴下方，当，，图象在轴上方，
对于，当时，，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向上，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，即恒成立，
即：恒成立，即：恒成立，，

北京八十中2019-2020学年高一(下)期中数学模拟试题(wd无答案)

北京八十中2019-2020学年高一（下）期中数学模拟试题一、单选题(★) 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．或(★★) 2. 给出下列四个命题：①若，则；②若，，，是不共线的四点，则“ ”是“四边形为平行四边形”的充要条件；③若，，则；④ 的充要条件是且.其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②C．③④D．②④(★★) 3. ＝（）A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i(★) 4. 下列说法正确的是A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行(★) 5. 已知向量不共线，且，，则一定共线的三点是（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A．B．C．D．(★★) 7. 若在中，满足，则三角形的形状是（）A．等腰或直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不能判定(★★) 8. 已知向量，，且，则（）A．6B．C．D．(★) 9. 设非零向量满足，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知向量，.若向量与垂直，则（）A．6B．3C．7D．﹣14(★★) 11. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 12. 一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（）A．6B．2C．8D．(★) 13. 在△ABC中AB＝3，AC=2，BC= ，则等于（）A．－B．－C．D．(★) 14. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝（）A．－8B．－4C．4D．2二、填空题(★★) 15. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__.(★★) 16. 在如图所示的几何体中，是棱柱的为__.（填写所有正确的序号）(★★) 17. 在复数范围内，方程的根为________.(★) 18. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.(★★) 19. 在中，，，，则的面积等于__.(★★) 20. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .三、解答题(★★) 21. 如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.(★★★) 22. 如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求的值．(★★★) 23. 如图，在中，点，分别是，边的中点，，分别与分别交于点，两点，你能发现，，之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论.。

2020-2021北京第八十中学高中必修一数学上期中模拟试卷及答案

2020-2021北京第八十中学高中必修一数学上期中模拟试卷及答案一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 4．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-8．已知函数21(1)()2(1)ax x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．函数的定义域是 .14．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 15．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 16．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．17．关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.18．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________. 三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 22．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）. 23．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围；（2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 24．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 26．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a =--++的值域．（用a 表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．B解析：B 【解析】【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2，故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.5．C解析：C 【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．6．B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．D解析：D 【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.15．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.16．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（）【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③．【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x 1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误；故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．18．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围解析：[1,0)-【解析】【分析】根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴=解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),∴3a b +=,∵反函数()1f x -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2),∴12b +=.∴2, 1.a b ==∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =．【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．22．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈，此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．23．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4. 【解析】【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a a f f -=-==，解得32a =， ()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=，解得4x =或12x =-. 【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）[1,0]- ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101x x+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-，因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0- （2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩ 所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩ （2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.26．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-，因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a -=-+；2o 当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．。

北京市八十中学2020学年高一数学上学期期中(缺答案) 新人教版

北京市第八十中学2020学年度第一学期期中练习高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集{1,2,3,4,5}=U ，集合{1,5}S =，则C U S =A ．{5}B ．{1,2,5}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}2．138()27-的值是 A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是A ．2()||,()f x x g x x =B ．22(),()()f x x g x x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．2()11,()1f x x x g x x =+-=-4．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()1f x x =-+ D ．()||f x x =- 5．已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 3用含a ，b 的代数式表示为A ．b a -B ．b aC ．abD ．a b + 6．在同坐标系中，函数x y e =与x y e -=的图象之间的关系是A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称7．如果1,1a b ><-，那么函数()xf x a b =+的图象在A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限8．世界人口已超过56亿,若千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个A ．新加坡（270万）B ．香港（560万）C ．瑞士（700万）D ．上海（1200万）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）9．函数2 ()1xf xx-=+的定义域为_________________。

北京市朝阳区第八十中学2019_2020学年高一语文上学期期中试题含解析

北京市第八十中学2019-2020学年度第一学期期中考试高一语文一、本大题共12小题,共36分。

1.下列各组词语中,加点字的读音不正确的一项是（）A. 饥馑．（jǐn）捍．卫（hàn）稻菽．（shū）来龙去脉．（mài）B. 茎．秆（jīng）山麓．(lù) 籼．稻(shàn) 戛．然而止(gá)C. 分蘖．（niè）璀．璨（cuǐ）载荷．（hè）雷厉风行．（xíng）D. 穗．子（suì）田埂．（gěng）缅．怀（miǎn）跌宕．起伏（dàng）【答案】B【解析】【详解】本题主要考查识记并辨析现代汉语中常见汉字的读音的能力。

解答本题时，要结合平时所积累字音知识及相关技巧进行辨析，尤其是对多音字的辨析，要结合词义、词性进行。

B项，戛然而止jiá，釉稻xiān。

故选B2.下列各组词语中,没有错别字的一项是（）A. 极致赋与不懈追求不谋而合B. 鼓励雕琢离群索居强筋健骨C. 雍容疆域炉火纯青出类拔萃D. 竭力浮燥废寝忘食格物致知【答案】B【解析】【详解】本题考查识记并辨析现代汉语中常见汉字字形能力。

解答本题时，要结合平时所积累的有关汉字字形的知识及相关技巧进行辨析，尤其是对形近字的辨析，要结合词义进行。

A项，赋予，不谋而合；C项，雍容，出类拔萃D项，浮躁，废寝忘食故选B3.下列句子中,加点的词语使用最恰当的一项是（）A. 反腐倡廉的活动一开展,全市上下激浊扬清．．．．,形成了弘扬正气的政治局面。

B. 王阿姨一生默默地耕耘在幼儿园,为祖国培养了无数个风华正茂．．．．的少年儿童。

C. 他虽然在监狱里度过了三年的峥嵘岁月．．．．,但出狱后仍然恶习不改,继续作恶乡里。

D. 这位名演员穿上唐装后,立即成了追星族们心中的风云人物．．．．,人们纷纷效仿起来。

【答案】A【解析】【详解】本题考查正确使用成语的能力。

2019-2020学年北京八十中高一(下)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京八十中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1) 2. 如果a ⃗ ，b ⃗ 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ ⋅b ⃗ =1C. a ⃗ 2≠b⃗ 2D. |a ⃗ |2=|b ⃗ |23. 下列命题正确的是( ) A. 三点确定一个平面B. 圆心和圆上两个点确定一个平面C. 如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D. 如果两条直线没有交点，则这两条直线平行4. 已知平面向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(1,x).若a ⃗ //b ⃗ ，则x =( )A. −12B. −2C. 12D. 25. 已知复数z 满足(3+4i)z =−4+3i ，则z =( )A. z =−24+25i7B. z =257iC. z =iD. z =−i6. 在△ABC 中，已知a =2，sin(A +B)=13，sinA =14，则c =( )A. 4B. 3C. 83D. 437. 在四边形ABCD 中，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则( ) A. 四边形ABCD 是矩形 B. 四边形ABCD 是菱形 C. 四边形ABCD 是正方形 D. 四边形ABCD 是平行四边形8. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )．A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直9. 下列命题中，正确命题的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l//α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③AF 与平面BDM 平行；④平面CAN 与平面BEM 平行．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④11. 如图，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( )A. √32B. 2√33C. 12D. 212. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13. 一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是( )A. 满足条件的截面不存在B. 截面是一个梯形C. 截面是一个菱形D. 截面是一个三角形14. 如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ二、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 15. 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数|z|=______；z ⋅i =______．16. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=______．17. 设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =______．18. 能说明“在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，则A =B ”为假命题的一组A ，B 的值是______．19. 已知点P 在以原点为圆心的单位圆上，点A 的坐标为(−2,0)，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．20. 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______． 21. 甲、乙两楼相距20√3m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是______m.22. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =3，AA 1=4，M为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为______；PC 的长为______．三、解答题（本大题共3小题，共40.0分） 23. 在△ABC 中，a =3，c =5，cosB =−12．(Ⅰ)求b 的值；(Ⅱ)求sin(B +C)的值．24. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(Ⅰ)求证：E ，F ，B ，D 四点共面； (Ⅱ)求证：平面AMN//平面EFDB ；(Ⅲ)画出平面BNF 与正方体侧面的交线(需要有必要的作图说明、保留作图痕迹)．25. 在△ABC 中，已知cosC +(cosA −√3sinA)cosB =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a+c=1，求b的取值范围；(Ⅲ)求sinA⋅sinC的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：根据a⃗，b⃗ 是两个单位向量知，a⃗=b⃗ 不一定成立，A错误；a⃗⋅b⃗ =1不一定成立，所以B错误；a⃗2=b⃗ 2=1，所以C错误；|a⃗|2=|b⃗ |2=1，所以D正确．故选：D．根据单位向量的定义与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．本题考查了单位向量的定义与性质的应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：对于选项A：当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误．对于选项B：当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误．对于选项C：如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确．对于选项D：如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线．故错误．故选：C．直接利用平面的定义和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：平面的定义和性质的应用，主要考查学生的理解能力，属于基础题型．4.【答案】A【解析】解：∵a⃗//b⃗ ，∴2⋅x−(−1)⋅1=0，解得x=−12．故选：A．根据a⃗//b⃗ 即可得出2x+1=0，解出x即可．本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由(3+4i)z=−4+3i，得z=−4+3i3+4i =(−4+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25i25=i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵a =2，sin(A +B)=13，sinA =14， ∴sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)=13，∴由正弦定理asinA =csinC ，可得：c =a⋅sinC sinA=2×1314=83．故选：C ．由三角形的内角和定理，诱导公式可求sin C 的值，根据正弦定理即可解得c 的值．本题主要考查了三角形的内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7.【答案】B【解析】解：四边形ABCD 中，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 是平行四边形；又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，平行四边形ABCD 是菱形．故选：B ．根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得出四边形ABCD 是平行四边形，再根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得出AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，平行四边形ABCD 是菱形．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题． 8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．直线A 1B 与D 1C 确定平面A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，又两直线不垂直，故两直线相交，可得结论．【解答】解：在正方体AC 1中：∵A 1B//D 1C∴A 1B 与D 1C 可以确定平面A 1BCD 1，又∵EF ⊂平面A 1BCD 1，且直线EF 与直线A 1B 不平行， ∵E ，F 分别为BC ，CD 1的中点，∴EF//BD 1∴A 1B 与EF 的夹角即为A 1B 与BD 1的夹角，即∠A 1BD 1，不妨设正方体棱长为1，则A 1B =√2，BD =√2，BD 1=√3，显然A 1B 2+BD 12≠A 1D 12， ∴A 1B 与BD 1不垂直， ∴A 1B 与EF 不垂直，∴直线A 1B 与直线EF 的位置关系是相交，故选A ． 9.【答案】B【解析】解：①若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故①错误；②若直线l 平行平面α，则l 与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故②错误；③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α没有公共点，故l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故③正确．故选：B ．通过直线与平面相交，判断点与平面的位置关系判断①正误；直线l 平行平面α，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点，判断②③；本题考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：正方体的平面展开图．复原的正方体如图，①BM 与ED 是异面直线；不正确，②CN 与BE 是平行线；所以②不正确；③因为AF//DM ，DM ⊂平面DBM ，AF ⊄平面DBM ，所以 AF//平面BDM ；所以③正确；④EM//AC ，BE//CN ，EM ∩EB =E ，AC ∩CN =C ，所以平面CAN//平面BEM.所以④正确；故选：C ．画出正方体的图形，结合几何体判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断，考查空间几何体中的直线与直线的位置关系以及直线与平面，平面与平面的位置关系的判断，是基本知识的考查，中档题． 11.【答案】D【解析】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向进行分解，则由题意可得OD =λ，CD =μ，∠COD =30°，∠OCD =90°，∠Rt △OCD 中，sin∠COD =sin30°=12=CDOD=μλ， ∴λμ=2，故选：D ．将向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为钝角，满足m⃗⃗⃗ ·n⃗<0，但m⃗⃗⃗ =λn⃗不成立．则答案可得．【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n⃗为非零向量，存在负数λ，使得m⃗⃗⃗ =λn⃗，则向量m⃗⃗⃗ ，n⃗共线且方向相反，可得m⃗⃗⃗ ·n⃗<0．反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为钝角，满足m⃗⃗⃗ ·n⃗<0，而m⃗⃗⃗ =λn⃗不成立．∴m⃗⃗⃗ ，n⃗为非零向量，则“存在负数λ，使得m⃗⃗⃗ =λn⃗”是m⃗⃗⃗ ·n⃗<0”的充分不必要条件．故选A．13.【答案】C【解析】解：取AB中点D，BC中点E，VC中点F，连结PD、DE、EF、FP，∵点P是棱VA的中点，∴PD//VB，PD=12VB，EF//VB，EF=12VB，DE//AC，DE=12AC，PF//AC，PF=12AC，∵过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，∴PD−//12VB，EF−//12VB，DE−//12AC，PF−//12AC，∴PF−//DE，PD−//EF，∴四边形PDEF是平行四边形，∵VB=AC，∴PD=DE，∴截面是菱形PDEF．故选：C．取AB中点D，BC中点E，VC中点F，连结PD、DE、EF、FP，推导出截面是菱形PDEF．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】B【解析】解：由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO=2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB=2⋅2sinβ=4sinβ，扇形AOB的面积为12⋅2β⋅4=4β，△ABQ的面积为12(2+2cosβ)⋅4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ=4sinβ+2sin2β−12⋅2⋅2sin2β=4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．15.【答案】√51+2i【解析】解：由已知图形可得，z =2−i ，则|z|=|2−i|=√22+(−1)2=√5； z ⋅i =(2−i)i =1+2i ．故答案为：√5；1+2i ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 16.【答案】7【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =4+2×3×12=7．故答案为：7．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查，基础题．17.【答案】−12【解析】解：如图，∵E 为△ABC 的边AC 的中点，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m +n =−1+12=−12．故答案为：−12．可画出图形，根据E 为AC 边的中点及向量减法的几何意义，向量的数乘运算即可得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据平面向量基本定理即可求出m ，n 的值，从而得出m +n 的值．本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】A =60°，B =30°【解析】解：当A =60°，B =30°时，sin2A =sin120°=√32，sin2B =sin60°=√32，此时sin2A =sin2B/故答案为：A =60°，B =30°．取A =60°，B =30°代入检验可得．本题考查了命题的真假判断与应用，属基础题． 19.【答案】6【解析】解：设P(cosα,sinα)； AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+2,sinα)．则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2(cosα+2)≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．设P(cosα,sinα)，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+2,sinα)，利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由πl =2πr 得l =2r ，而S =πr 2+πr ⋅2r =3πr 2=3π 故r 2=1解得r =1，所以直径为：2．故答案为：2．设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 21.【答案】40【解析】解：如图，甲楼位于点A ，乙楼位于点B ，其楼顶分别为D 、C ，则AB =20√3m ，∠ABD =60°，∠EDC =30°，∴∠CDB =30°,∠CBD =30°,BD =40√3m.∴在△CBD 中，由正弦定理得，BD sin∠BCD=BC sin∠CDB,即40√3sin120°=BC sin30∘，∴BC =40m ，即乙楼的高是40m ．故答案为：40．根据题意画出平面图，可以求出边长和角度，从而利用正弦定理即可求解．本题考查了正弦定理，考查了学生的数学建模思想和转化能力，属于基础题． 22.【答案】√97 2【解析】解：因为正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长√92+42=√97；如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3+x)2+22=29求得x=2∴PC=P1C=2；故答案为：√97，2．由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度．本小题主要考查平面的侧面展开图、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．23.【答案】解：(Ⅰ)b2=a2+c2−2accosB=9+25−2×3×5×(−12)=49，∴b=7．(Ⅱ)∵cosB=−12，B∈(0,π)．∴B=2π3，由正弦定理 asinA =bsinB，∴sinA=3×√3 27=3√314，∴sin(B+C)=sinA=3√314．【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出；(Ⅱ)根据正弦定理即可求出．本题考查了余弦定理和正弦定理，考查了运算求解能力，属于基础题．24.【答案】解：(Ⅰ)证明：连结B1D1，BD，∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点．∴EF//B1D1，∵B1D1//BD，∴EF//BD，∴E，F，B，D四点共面；(Ⅱ)证明：由已知，MN是△A1B1D1的中位线，EF是△C1B1D1的中位线，∴MN//B1D1，EF//B1D1，∴MN//EF，∵MN⊄平面EFDB，EF⊂平面EFDB，∴MN//平面EFDB，第11页，共13页第12页，共13页 ∵MF−//AD ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM//DF ，∵AM ∩MN =M ，DF ∩EF =F ，∴平面AMN//平面EFDB ．(Ⅲ)解：过B 作NF 的平行线交DA 、DC 分别为G 、H ，连结NG ，FH ，分别交A 1A ，C 1C 于I ，J ，连结IB ，JB ，如图，即得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF 、FJ 、BJ 、BI 、IN ．理由如下：∵NF//A 1C 1//AC ，∴NF//平面ABCD ，NF ⊂平面BNF ，设平面ABCD ∩平面BNF =l ，由线面平行的性质定理得NF//l ，∴过B 作NF 的平行线交DA ，DC 分虽于G ，H ，连结NG ，FH ，分别交A 1A ，C 1C 于I ，J ，连结IB ，JB ，即可得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF 、FJ 、BJ 、BI 、IN ．【解析】(Ⅰ)连结B 1D 1，BD ，推导出EF//B 1D 1，B 1D 1//BD ，从而EF//BD ，由此能证明E ，F ，B ，D 四点共面；(Ⅱ)推导出MN//EF ，AM//DF ，由此能证明平面AMN//平面EFDB ．(Ⅲ)过B 作NF 的平行线交DA 、DC 分别为G 、H ，连结NG ，FH ，分别交A 1A ，C 1C 于I ，J ，连结IB ，JB ，即得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF 、FJ 、BJ 、BI 、IN ．本题考查四点共面、面面平行的证明，考查平面与正方体侧面交线的画法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25.【答案】解：(Ⅰ)由cos C +(cos A −√3sin A)cos B =0，得cos C +(cos A −√3sin A)cos B =−cos(A +B)+(cos A −√3sin A)cos B =−cosA cosB +sinA sinB +cosA cosB −√3sinA cos B=sinA sinB −√3sinA cosB =0．由sin A >0，则有 tanB =√3．∵B ∈(0,π)，∴B =π3；(Ⅱ)由(Ⅰ)得B =π3，又a +c =1，∴由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac=(a +c)2−3ac =1−3a(1−a)=3(a −12)2+14． ∵0<a <1，∴14≤b 2<1，又b >0，解得12≤b <1．∴b 的取值范围是[12,1)；(Ⅲ)由正弦定理可得，a sinA =c sinC =b sinB =√3，∴sinA =√3a 2b，sinC =√3c 2b ，则sinAsinC =3ac 4b 2．由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac ≥2ac −ac =ac ．当且仅当a =c 等号成立．∴sinAsinC =3ac 4b 2≤34．即sinA⋅sinC的最大值为34．【解析】(1)利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小；(Ⅱ)由(Ⅰ)得B=π3，又a+c=1，利用余弦定理及配方法求b2的范围，从而得到b的取值范围；(Ⅲ)由正弦定理可得，asinA =csinC=bsinB=√3，得到sinA=√3a2b，sinC=√3c2b，则则sinAsinC=3ac4b2，再由余弦定理及基本不等式的性质求得sin A sin C的最大值．本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．第13页，共13页。

【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中数学+答案

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数；（ii ）女学生人数多于教师人数；（iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为． ②该小组人数的最小值为．三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}．（1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}．故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中，令{x −1≥0x −2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}．故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定．因此只有C 确定．故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误；由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确；故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}．故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5；故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134，当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17，所以函数的值域为[−134，17]．故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2，因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0），所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4．故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}．故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确．故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14，当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号，则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2，即实数a 的取值范围是[0，√2]，故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96．故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2．当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0；当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1．综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增，则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0．且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0．于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]，由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立，综上：c ∈[0，163）．。

2019北京八十中高一(上)期中数学

2019北京八十中高一（上）期中数学一.选择题1.已知集合A={3，5，6，8}，B={1，3，5}，那么A∩B=（）A. {1，3，5，6，8}B. {6，8}C. {3，5}D. {1，6，8}2.如果a>b，那么下列不等式一定成立的是（）A. a+c>b+cB. c−a>c−bC. −2a>−2bD. a2>b23.给出下列四个函数：①y=−x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y=|x|.其中在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④4.如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，那么f(1)等于（）A. −4B. −2C. 2D. 45.如果幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值6.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是（）A. 1B. 2C. 4D. 57.下列函数中，与函数y=x(x≥0)有相同图象的一个是（）A. y=√x2B. y=x2x C. y=√x33 D. y=(√x)28.设x，y∈R，则“x+y>0”是“xy>0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙比用乙车更省油10.函数f(x)={x2，x≥tx，0<x<t(t>0)时区间(0，+∞)上的增函数，则t的取值范围是（）A. 1B. (0，+∞)C. (1，+∞)D. [1，+∞)11.若函数f(x)同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f(x)+f(−x)=0；（2）对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数；①f(x)=x2；②f(x)=−x2；③f(x)=x−1x ；④f(x)={−x2，x≥0x2，x<0.其中是“理想函数”的序号是（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④12.对于集合M={a a⁄=x2−y2，x∈Z，y∈Z}，给出如下三个结论：①如果P={b b⁄=2n+1，n∈Z}，那么P⊆M；②如果c=4n+2，n∈Z，那么c∉M；③如果a1∈M，a2∈M，那么a1a2∈M.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空题13.已知函数f (x )={1，x ≥0−2x ，x <0，如果f (m )=4，那么实数m 的值为 .14.已知二次函数f (x )满足下表所给对应关系：的解集为 .15.命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 .16.函数y =f(x)(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，+∞)时，函数y =f(x)单调递增，若f (1)=0，则f (−1)= ；不等式f (x )<0的解集为 .17.若“x 2−2x −3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为 .18.已知函数f (x )=2的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .19.已知函数f (x )=x −[x ](x ≥0)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]=2.若函数y =kx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 .20.已知函数f (x )={x +4x ，0<x <4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)=f (x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值为；若存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f(x 4)，则 x 1x 2x 3x 4的取值范围是 .三.解答题21.已知集合A ={x x 2⁄−4x +3≤0}，B ={x 1x−1⁄>0}. （1）求(C R B )∪A ；（2）若集合C ={x (x −a )(x −a −1)⁄<0}(a ∈R)，且C ⊆A ，求实数a 的取值范围.22.已知函数f (x )=ax+b x 2+1是定义在(−1，1)上的奇函数，且f (12)=25.（1）确定函数f(x)的解析式；（2）用定义证明函数f(x)在区间(−1，1)上是增函数；（3）解不等式f(t−1)+f(t)<023.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：f(x)={30，0<x≤302x+1800x−90，30<x<100（单位：分钟）.而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.24.设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D,都有f(f(x))=x”的函数f(x)组成的集合.（1）判断函数f(x)=2x−1和g(x)=1x是不是集合M中的元素？并说明理由.（2）设函数f(x)∈M，且f(x)=kx+b(k≠0)，试求函数f(x)的解析式.（3）已知f(x)=axx+b∈M，试求实数a，b应满足的关系.word下载地址。

2019-2020学年北京北京高一上数学期中试卷

2019-2020学年北京北京高一上数学期中试卷一、解答题1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=11，S 15=15，则a 2=________．2. 等比数列{a n }中，a 1=1，a 2a 4=16，则a 2=________．3. 数列的前4项为−1，1，−95，277，则此数列的通项公式可以是________．4. 等差数列{a n }中，a 1=2019，a 2019=a 2015−16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n 的值为________.5. 已知集合M ={−1,0,1}，N ={0,a 2}，则使M ∩N =N 成立的a 的值是________．6. 奇函数f (x )在(0,+∞)单调递减，f (1)=0，不等式f (x )>0的解集为________.7. 设U =R ，A ={x|2x >1}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩∁U B =________．8. 命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是假命题，则a 的取值范围是________．9. 某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元．设这辆汽车使用n(n ∈N ∗)年的年平均费用为f(n).(年平均费用=买车费用+每年用车产生的费用使用年数)，则f(n)与n 的函数关系式f(n)=________；这辆汽车报废的最佳年限约为________年．10. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n −12n ，其前n 项和S n =32164，则项数n 的值等于________．11. 设f (x )=4x 4+2，若0<a <1，则f (a )+f (1−a )=________，f (12015)+f (22015)+f (32015)+⋯+f (20142015)=________．12. 数列{a n}中，a n=1+2+3+⋯+nn ，则b n=1a n a n+1的前n项和为________．13. 在用数学归纳法证明不等式：1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>56,(n≥2,n∈N∗)时，由n=k,(k≥2)推证n=k+1时，左边应增添的项是________.14. 将数列{a n}中的项排成下表：a1a2，a3a4，a5，a6，a7a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15⋯已知各行的第一个数a1，a2，a4，a8，⋯构成数列{b n}，b2=3，且{b n}的前n项和S n 满足S n+1+S n−1=2S n+2(n∈N∗，且n≥2).从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若a130=19，则第5行的所有项的和为________.15. 已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2(n∈N∗)，且a1=2．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．16. 已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+a 是奇函数，f(1)=−13．（1）求a，b的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．17. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，递增的等比数列{b n}中，前3项和为39，且b2=a4．（1）求数列{a n}, {b n}的通项公式：（2）求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．18. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=√n+1−√n−1，n∈N∗．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n }的通项公式并证明．19. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后，从2016年开始到2035年，第n 年的人口总数a n 的表达式；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1−001)10≈0.9）．20. 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和时，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．公元13世纪意大利著名数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着一个兔子繁殖问题，从中发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21，34……其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即a 1=1，a 2=1，a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗,n ≥1)，人们把这个数列{a n }称为斐波那契数列．（1）已知a 20=6765，a 22=17711，则a 21的值是多少？（2）若a 2021=a ，则数列的前2019项和S 2019 如何用a 表示？（3）判断a 12+a 22+a 32+⋯+a 20192a 2019是否为数列{a n }中的项．若是，判断是第几项；若不是，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期中试卷一、解答题1.【答案】【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】由递推关系式求通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】(−∞, 0)∪[3, +∞)【考点】全称命题与特称命题【解析】将条件转化为“∃x∈R，ax2−2ax+3≤0成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0时，必须a<0或{a>04a2−12a≥0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题“ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2−2ax+3≤0成立”是真命题①．当a=0时，①不成立，当a≠0时，要使①成立，必须a<0或{a>04a2−12a≥0，∴a<0或a≥3.故答案为：(−∞, 0)∪[3, +∞)．9.【答案】n 10+10n+2,10【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】根据条件可以看出年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可求出n年的维修保养费用，而n年的险费、高速公路费、汽油费等为2n万元，从而可以得出这辆汽车使用n年的总费用，从而可以得出f(n)=n10+10n+2，n∈N∗，而根据基本不等式即可求出n=10时，f(n)取最小值，即得出这辆汽车报废的最佳年限约为10年．【解答】解：根据题意，年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列；∴n年的维修保养费用为0.1n+n(n+1)2⋅0.2；∴f(n)=10+2n+0.1n+n(n−1)2⋅0.2n =n2+10010n+2=n10+10n+2；即f(n)=n10+10n+2，n∈N∗；n 10+10n≥2；∴f(n)≥4，当n10=10n，即n=10时取“=”；∴这辆汽车报废的最佳年限约为10年．故答案为：n10+10n+2，10．10.【答案】6【考点】数列的求和【解析】由a n＝1−12，根据等比数列前n项和公式，即可求得S n，列方程，即可求得n的值．【解答】由数列{a n}的通项公式是a n=2n−12n =1−12n，前n项和S n＝n−12−12n+11−12=n−1+12n，由S n=32164，则n−1+12n=32164，解得：n＝6，∴项数n的值为6，11.【答案】【考点】函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】【考点】数列的求和【解答】此题暂无解答13.【答案】【考点】数学归纳法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】384【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S n+1+S n−1=2S n+2(n∈N∗，且n≥2)，∴b n+1−b n=2(n≥2)，b n=b2+(n−2)×2=2n−1(n≥2). ∵a130位于第8行第3列，∴a130=a128+2d=b8+2d=15+2d=19，∴d=2.∵第5行共有16个元素，∴第5行所有项的和为9×16+16×15×2=384.2故答案为：384.15.【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析17.【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴a n=45.5+0.5×(n−1)=45+0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以公比为0.99的等比数列，又a10=50，∴a n=50×0.99n−10.因此，新政策实施后第n年的人口总数a n（单位：万元）的表达式为：a n={45+0.5n,1≤n≤1050×0.99n−10，11≤n≤20 .(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S20=S10+(a11+a12+⋯+a20)=477.5+4950×(1−0.9910)≈972.5万，（说明：0.9910=(1−0.01)10≈0.9）∴新政策实施到2035年年人口均值为S2020≈48.62万.由S2020<49，故到2035年不需要调整政策.【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列【解析】(1)根据从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%，可得分段函数；(2)从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，可求S20，从而可得新政策实施到2035年年人口均值，即可得出结论．【解答】解：(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴a n=45.5+0.5×(n−1)=45+0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以公比为0.99的等比数列，又a10=50，∴a n=50×0.99n−10.因此，新政策实施后第n年的人口总数a n（单位：万元）的表达式为：a n={45+0.5n,1≤n≤1050×0.99n−10，11≤n≤20 .(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S20=S10+(a11+a12+⋯+a20)=477.5+4950×(1−0.9910)≈972.5万，（说明：0.9910=(1−0.01)10≈0.9）∴新政策实施到2035年年人口均值为S2020≈48.62万.由S2020<49，故到2035年不需要调整政策.20.【答案】【考点】数列的求和数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020北京八一学校高一(上)期中数学(教师版)

（2）根据二次函数的性质，求出在区间的值域，进而可得出结果；
（3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】（1）因为二次函数满足，，
所以，即，
所以，解得，因此；
（2）由（1）知，是对称轴为开口向上的二次函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，因此，
（2）若甲答对9道题，对错1道题；
因为甲乙只有一道题填法不同，所以乙最多有一题不答；若乙有一题不答，则乙的得分可能是9分或7分；若乙全答，则乙的得分可能是10分或6分，
综上，乙的所有可能的得分为6，7，9，10.
故选：B.
二、填空题
11.【答案】
【解析】
【分析】
根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.
（2）当时，满足，但此时，故（2）错；
（3）当时，满足，但此时，故（3）错；
（4）因为恒成立，所以 .故（4）正确；
故选：A
9.【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果.
【详解】由题意，
当时，显然单调递增，则；
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域为____．
12.已知函数，则 ____．
13.请写出一个使“函数的最小值为2”为假命题的的值____．
14.已知定义域为，其图像关于点对称．当时，，则，，的大小关系为____．（按从小到大的顺序书写）
15.农业技术员进行某种作物种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

北京八十中2021-2022学年第一学期期中高一数学试题

上）
12、关于 a的不等式的 a2－4＜0解集是
．
13、设集合
，则集合 A的真子集有
个．
14、函数
的零点有
个．
15、函数
的定义域为
．
16、设方程 17、写出函数
的解的个数为 m，则 m 可能的值有
．
的单调递增区间
．
18、函数
的值域是
．
19、若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数 a的和 T．
②试判断 m 和 n的大小关系，并证明你的结论．
的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，
则车厢的最大容积是
，此时高是
．
21、己知
，若对
，使得
，则实数 m 的取值范围是
．
22、已知函数
，若
，使得
成立，
则实数 a的取值范围是
．
三、解答题：本大题有 5小题，共 62分．解答应写出文字说明，证明过程或演第
步骤．
23、（本小题满分 12分）
北京市第八十中学 2021~2022学年度第一学期期中考试
高一数学
一、选择题（本大题共 11小题，每小题 4分，共 44分）
1、设集合
，则
（）
A.
B.｛2｝
C.{0，2}
2、下列函数中是偶函数的是（）
D.{－2}
A.
B.
C.
D.
3、下面命题正确的是（）
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
，则
4、x2－4x＋3＝0是 x＝1的（）
超过 18 的部分
9元/

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