九年级数学图形的相似和比例线段(学生版)知识点+典型例题

图形的相似和比例线段
【学习目标】
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比
是a:b=m:n，或写成a m
b n ．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【典型例题】
类型一、比例线段
1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )
A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm
C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm
2. 求证：如果，那么.
举一反三：
1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
(1)a=4，b=6，c=5，d=10；
(2)a=2，b=，c=，d=．
2、已知线段a、b、c、d，满足a c
b d
=，求证：
a c a
b d b
+
=
+
.
类型二、相似图形
3. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：
(1)两个腰长不等的等腰三角形
(2)两个半径不等的圆
(3)两个面积不等的矩形
(4)两个边长不等的正方形
举一反三：
如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？
类型三、相似多边形
4. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
举一反三：
1、已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.
2、如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.
3、某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
4、
5、等腰梯形与等腰梯形相似，，
求出的长及梯形各角的度数.
【巩固练习一】
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）
A.3 km
B.30 km
C.300 km
D.3 000 km
2. 下列四条线段中，不能成比例的是（）
A.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
B.a＝，b＝，c＝1，d＝
C.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5
D.a＝，b＝2，c＝，d＝2
3. 下列命题正确的是( )
A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似
4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )
A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)
5.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）
A．19 B．17 C．24 D．21
6. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC 与△A2B2C2的相似比为 ( )
A．B．C．或D．
二. 填空题
7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.
8. 若，则________
9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.
10.已知
2
=,
3
x
y
则_____,_____,______.
x y x x y
y x y x y
+-
===
++
11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最
大角为______,最小角为____________.
12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AE BE
=
三 综合题
13. 已知
357a b c ==，求23a b c a c +-+的值.
14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.
15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？
【巩固练习二】
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( )
A ．3 km
B ．30 km
C ．300 km
D ．3 000 km
2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足=ab cd 把它改写成比例式，其中错误的是（ ）
A.::b c d a =
B.::a b c d =
C.::c b a d =
D.::a c d b =
3. 已知△ABC 的三边长分别为6cm 、7.5cm 、9cm ，△DEF 的一边长为4cm ，当△DEF 的另
两边的长是
下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A ．2cm ，3cm
B ．4cm ，5cm
C ．5cm ，6cm
D ．6cm ，7cm
4.△ABC 与△A 1B 1C 1相似且相似比为
，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似且相似比为，则△ABC
与△A 2B 2C 2的相似比为 ( )
A ．
B ．
C ．或
D ． 5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有（ ）
A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，50cm ，60cm ，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm ，50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（ ）
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
二. 填空题
7. 小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm ，则新地图长为_________cm.
8. △ABC 的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________
9． 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AE BE
=
10.已知若
-3
=,=____;
4
x y x
y y
则若5-4=0,
x y则x:y=___.
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________ .
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结
论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
三．综合题
13.如果
a b c d
k
b c d a c d a b d a b c
====
++++++++
，一次函数y kx m
=+经过点
（-1,2），
求此一次函数解析式.
14.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一
边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
15. 从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，
求原矩形的长与宽的比.。