空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义
∴,所以,与平面所成角得余弦值为.
例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60º,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值.
解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AＰ⊥PBC
连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影
∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角
又∵∠ABP=∠AＣP=60º,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点,
∴ＰＤ=,PＡ=BC∴AＤ=
∴
∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为
巩固练习:
1选择题
(１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( )
ﻩ(A)(0º,9０º)(B)［0º,９0º] (Ｃ)[0º,1８0º］(D)[０º,１８0º)
(2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中,
可能成立得个数就是()
ﻩ(A)1个ﻩ(B)２个(C)3个(D)４个
(3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( )
ﻩ(A)０条或1条(Ｂ)０条或无数条ﻩ
(C)1条或2条(D)0条或1条或无数条
答案:(1)B (2)Ｃ(3)D
2.填空题
(1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是.
(2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就
是。

(3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面α所成得角就
是.
ﻩ答案:(１) (２) (３)
3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心.
分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、
例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。

解析:过作于,过作交于,连结,
则垂直于平面,为二面角得平面角,
∴,又平面,
∴,,∴平面,∴,,
又∵,,∴平面,∴,设,则,
在中,,∴,
同理,中,, ∴,
所以,二面角得正弦值为。

(2)O就是△AＢC得外心;
(３)Ｏ就是△AＢC得垂心。

例６、在正方体AＢCD-A1Ｂ１C１D1中,求证:
(1)A1C⊥平面C1DB于G;
(2)垂足Ｇ为正△C1DB得中心;
(3)Ａ1G＝2GC.
解析:(1)连AC,对平面AＢCD来说,A1A就是垂线,A１C就是斜线,ＡC就是A1C在平面ABCＤ上得射影,因为AＣ⊥DB(正方形得性质),所以 A1Ｃ⊥DＢ。

同理可证A1Ｃ⊥ＢC1、
因为Ａ１C⊥平面C1DＢ(直线与平面垂直得判定理)
(2)因为A1B=A１Ｃ1=A1D,所以BG＝GC1＝DG,故G就是正△Ｃ１DB得外心,正三角形四心合一,所以G就是正△C1DB 得中心。

(3)在正方体得对角面Ａ1ACC１内,由平面几何可知△A１GＣ１∽△OGC,且A１Ｃ１∶OＣ＝Ａ１G∶ＧＣ,所以A1G∶GC ＝2∶1,因此Ａ１G=2ＧC.
变式练习:
已知:Rt△AＢC在平面α内,PＣ⊥平面α于C,D为斜边ＡB得中点,CA=6,CB=８,PC＝1２、求:
(1)Ｐ,D两点间得距离;
(２)P点到斜边AB得距离.
解析:(１)
(2)作ＰE⊥AB于Ｅ,连CE则CE⊥ＡB.(三垂线定理得逆定理)PE就就是P点到AB边得距离.
可用等积式CE·ＡB=AC·CB,即斜边上得高与斜边得乘积等于两直角边得乘积.
因ＣＥ·AＢ就是Ｒt△ABC面积得二倍,而AC·CB也就是Ｒt△ABC面积得二倍,所以它们相等;也可用△BCE∽△AＢＣ,对应边成比例推出这个等积式.
注:在求直角三角形斜边上得高时会利用上述得等积式来求斜边上得高。

【课堂小练】
１、过正方形ABCD得顶点A作线段A A′⊥平面ABCD,若A A′=AB,则平面A′ＡB与平面A′CD所成得角度就是A。

30°Ｂ.4５°C、60°D、90°
2、在直二面角α-ｌ-β中,直线ｍα,直线nβ,且m、n均不与l垂直,则
A、m与ｎ不可能垂直,但可能平行Ｂ。

m与n可能垂直,但不可能平行
Ｃ。

m与n可能垂直,也可能平行 D.m与n不可能垂直,也不可能平行
3、设有不同得直线a、b与不同得平面α、β、γ,给出下列三个命题:
(1)若,,则.(２)若, ,则。

(3)若, ,则。

其中正确得个数就是
A。

0B。

１C、2 D、3
4、一直线与直二面角得两个面所成得角分别为α、β,则α+β得范围为:
A。

０＜α＋β<π/2 B。

α+β>π/2 Ｃ。

0≤α+β≤π/２D、0〈α+β≤π/2
5、若三棱锥得顶点在底面上得射影就是底面三角形得垂心,则
A。

各格侧棱长相等 B.各侧棱与底面成等角C、各侧面与底面线等角D、每组相对棱互相垂直
6、二面角α— l—β得大小为θ,直线aα,直线bβ,设a与ｂ所成得角为φ,则下面关系中正确得一个就是
A.φ＜θB、φ〉θC、φ＝θＤ、以上三种关系均有可能
7、如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上得高ＣＤ对折,使△ACD与△ＢCD所在得平面垂直,此时∠AＣB等于
A.45°Ｂ、60°C、90°D、１20°
8、正方形纸片ABCD,沿对角线AＣ对折,使Ｄ点在面ＡBC外,这时DＢ与面ABC所成得角一定不等于
A。

30°Ｂ.45°C。

6０°Ｄ、９0
9、a、b表示直线,α、β、γ表示平面,有下列四个命题:(1)若α∩β=a,bα,a⊥b,则α⊥β;(2)若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(３)若ａ不垂直于平面α,则a不可能垂直于α内得无数条直线;(4)若a⊥α,ｂ⊥β,a∥ｂ,则α∥β,其中不正确命题得个数为
A.1 Ｂ．2 C。

3 D、４
1０、α、β就是两个不同得平面,m、n就是平面α及β外得两条不同直线,给出四个论断:①ｍ⊥n;②α⊥β;③n⊥β;
④m⊥α,以其中三个结论作为条件,另一个论断作为结论,则所得命题正确得个数就是
＝=2(2) ABＣD。