[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理

第二章 平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式
1.数轴上的基本公式
（1）数轴上的点与实数的对应关系
直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应
实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量
位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B
的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB
|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）
的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；
②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式
在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC
叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

注：
①在公式AC=AB+BC 中，对应向量的起点、终点在同一条数轴上（与数轴
平行的向量平移到数轴上），公式与点在数轴上的位置无关，仅与向量的起点、 终点有关。

②AB=x 2-x 1，即向量AB 的数量等于向量AB 的终点B 的坐标减去向量AB 的起点A
的坐标。

③代数式|x 2-x 1|的数学含义：表示实数x 2-x 1的绝对值；表示数轴上两点的距离。

2.平面直角坐标系中的基本公式
（1）两点的距离公式
若在平面直角坐标系中A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A 、B 两点间的距离公式：
d(A,B)=|AB|=求平面内两点间的距离的步骤：
①给两点的坐标赋值：x 1=？，y 1=？，x 2=?，y 2=？；
②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即2121,x x x y y y ∆=-∆=-；
必修二
③计算d =
④给出两点的距离d 。

特别的，当AB 平行于x 轴时，|AB|=|x 2-x 1|；当AB 平行于y 轴时，|AB|=|y 2-y 1|。

两点间距离公式的作用：一是正用，求两点间的距离；二是逆用，已知距离求坐标。

（2）中点公式
已知A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，设点M(x,y)是线段
AB 的中点（如图），过点A 、B 、M 分别向x 轴、y
轴作垂线AA 1、AA 2、BB 1、BB 2、MM 1、MM 2，垂足分
别为A 1(x 1,0)、A 2(0,y 1)、B 1(x 2,0)、B 2(0,y 2)、
M 1(x,0)、M 2(0,y)。

因为M 是线段AB 的中点，所以点M 1和M 2分
别是A 1B 1和A 2B 2的中点，则A 1M 1=M 1B 1，A 2M 2=M 2B 2。

所以x-x 1=x 2-x ，y-y 1=y 2-y 。

即1212,22
x x y y x y ++==。

这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式。

注意：
若点P 的坐标为（x ，y ），则点P 关于点M(x 0,y 0)对称的点的坐标为
(2x 0-x,2y 0-y)。

利用中点公式可求得以A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为123123(,)33
x x x y y y ++++。

2.2 直线的方程
1. 直线方程的概念与直线的斜率
（1）直线方程的概念
如果一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

在这个概念中，方程的解与直线上的点的坐标的关系含有两重意思：①以方程的解为坐标的点是否在直线上；②直线上的点的坐标是否为方程的解，即坐标代入方程是否成立。

这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程。

由于方程y=kx+b 的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y=kx+b 。

（2）直线的斜率
如图，设直线y=kx+b 上有两个点A （x 1，
y 1），B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2，由于直线被两点所确
定，因此可由A 、B 两点的坐标求出k 。

把A 、B 两
点的坐标代入y=kx+b ，得1122y kx b y kx b
=+⎧⎨=+⎩两式相减得
y 1-y 2=k(x 1-x 2)。

由于x 1≠x 2，所以1212y y k x x -=
-。

通常我们把直线y=kx+b 中的系数k 叫做这条直线的斜率。

如果知道直线l 上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2，则直线l 的斜率1212
y y k x x -=
-，令△y= y 1-y 2，△x=x 1-x 2，则y k x ∆=
∆，因此直线l 的斜率等于直线上点的纵坐标的改变量△y 除以横坐标的改变量△x 。

除去垂直于x 轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由121212
()y y k x x x x -=≠-就可以算出这条直线的斜率。

方程y=kx+b 的图像是通过点（0，b ）且斜率为k 的直线。

求斜率的步骤：
①给直线上两点的坐标赋值：x 1=？，y 1=？，x 2=?，y 2=？；
②计算2121,x x x y y y ∆=-∆=-；
③如果0x ∆=，则判定“斜率k 不存在”；
④如果0x ∆≠，计算y k x
∆=
∆； ④输出斜率k 。

必修二
（3）直线的倾斜角
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。

我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角。

则若直线l的倾斜角为α，则α∈[0，180°）。

斜率与倾斜角的关系：k=tanα（α≠90°）
由斜率k的定义可知：当k=0时，直线平行于x轴或与z轴重合；当k＞0时，直线的倾斜角为锐角，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k＜0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°。

（4）三点共线问题的斜率观点
①已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相同，那么这三点共线。

②斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，所以同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等，这就是利用斜率可证三点共线的原因。

③三点共线也可利用之前学过的向量共线解决。

2. 直线方程的几种形式
（1）直线的点斜式方程
已知直线l过点P0（x0，y0），且斜率为k，则直线l的方程为y-y0=k(x-x0)。

该方程是由直线上一点P0（x0，y0）和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程。

特别的，当k=0时，直线方程变为y=y0，这时直线平行于x轴。

注意：①当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。

②当k=0时，直线l与y轴垂直，这是方程可写为y=y0。

③经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线的方程为
y-y0=k(x-x0)；斜率不存在时，直线的方程为x=x0。

（2）直线的斜截式方程
如果一条直线通过点（0，b ），且斜率为k ，则直线的方程为y=kx+b 。

这个方程叫做直线的斜截式方程，其中k 为斜率，b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距，直线的截距。

这种形式的方程，当k 不等于零时，就是我们熟知的一次函数的解析式。

注意：
①直线的斜截式方程是由点斜式推导出来的。

直线与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”而恒为正。

同理，直线与x 轴的交点（a ，0）的横坐标a 成为此直线的横截距。

并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x=1没有纵截距，直线x=2没有横截距。

②直线的斜截式方程y=kx+b ，当k ≠0时就是一次函数的表示形式。

③由直线的斜截式方程反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y=2x-1的斜率为k=2，纵截距为-1。

（3）直线的两点式方程
已知两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1≠x 2，则直线AB 的方程为
112121y y x x y y x x --=--，这种形式的方程叫做直线的两点式方程。

注意：
①在两点式直线方程中，由于y 1≠y 2且x 1≠x 2，因此它不能表示与两坐标轴垂直的直线。

②两点式直线方程是由直线的点斜式方程推导出来的，尽管“112121y y x x y y x x --=--”比“211121()y y y y x x x x --=
--”所表示的直线范围要小，但它具有对称性，便于 必修二
记忆。

③在记忆和使用两点式直线方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是一个点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标。

（4）直线的截距式方程
若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则l 的方程为
1x y a b +=，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。

注意：
①当直线的斜率不存在或为0或直线通过原点时，直线不能用截距式表示。

②直线方程的截距式的特征是x 项对应的分母是横截距，y 项对应的分母是纵截距，中间以“+”号连接，等式右边为1，如123
x y -=-就不是截距式直线方程。

③由直线方程的截距式反过来可直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距。

同时，截距式方程在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便。

④直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，直线在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a ，b 可能为正，也可能为负，还可能为0。

⑤用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为零：
a.若a=0，b ≠0，直线方程为x=0；
b.若a ≠0，b=0，直线方程为y=0；
c.若a=0，b=0，直线方程为y=kx 。

若截距情况不能确定时，要考虑到截距为零的情况。

（5）直线方程的一般式
我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

①两个独立的条件可求直线方程
求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零。

若A ≠0，则方程化为0B C x y A A +
+=，只需确定B A 、C A 的值； 若B ≠0，则方程化为0A C x y B B ++=，只需确定A B 、C B 的值。

因此，只要给出两个条件就可以求出直线方程。

②直线方程的其他形式都可以化成一般形式。

解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式。

一般式也可以化为其他形式。

一般式化为斜截式的步骤：
①移项By=-Ax-C ；
②当B ≠0时，得A C y x B B
=--。

一般式化截距式的步骤：
①把常数项移到方程右边Ax+By=-C ；
②当C ≠0时，方程两边同时除以-C ，得1Ax By C C +=--，即1x y C C A B
+=--。

在一般式Ax+By+C=0（A 、B 不全为零）中：
①若A=0，则C y B =-
，它表示一条与y 轴垂直的直线； ②若B=0，则C x A =-，它表示一条与x 轴垂直的直线。

注意：
a. 在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程都可以写成关于x ，y 的一次方程，反过来任何一个关于x ，y 的一次方程都表示一条直线。

b. 在平面直角坐标系中，一个关于x ，y 的一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x ，y 的一次方程，如斜率为2，则y 轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x-y+1=0，也可以是11022
x y -+=，还可以是4x-2y+2=0等。

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3. 两条直线的位置关系
（1）两条直线相交、平行于重合的条件
已知两条直线的方程为l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2-A 2B 1≠0或1122
A B A B ≠；l 1与l 2平行的条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或111222A B C A B C =≠；l 1与l 2重合的条件是A 1=kA 2，B 1=kB 2，C 1=kC 2（k ≠0）或
111222A B C A B C ==。

若两条直线的方程为l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，则l 1与l 2相交的条件是k 1≠k 2；l 1与l 2平行的条件是k 1=k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是k 1=k 2且b 1=b 2。

（2）两条直线垂直的条件
若已知直线方程l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1⊥l 2的条件是A 1A 2+B 1B 2=0。

注意：
若直线以点斜式或斜截式方程形式给出，宜用k 1·k 2=-1来判断两直线是否垂直。

值得注意的是上述结论成立的前提条件仍然是k 1、k 2都必须存在。

如l 1：y=2，l 2：x=-1，l 2无斜率，不能用k 1·k 2=-1进行判定，但l 1⊥l 2。

（3）直线系方程及其应用
一般地说具有某种共同属性的一类直线
的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系
方程。

直线系方程中除含变量x ，y 以外，还
有可以根据具体条件取不同值的变量，称为
参变量，简称参数。

常见的直线系方程：
①经过定点的直线系方程
经过定点P(x 0,y 0)的直线y-y 0=k(x-x 0)（k
为参数）是一束直线（方程中不包括与y 轴平行的那一条），所以，y-y 0=k(x-x 0)
是经过点
必修二
P(x0,y0)的直线系方程（如图）。

直线方程y=kx+b（k为参数，b为常数）表示过定点（0，b）的直线系方程（不含直线x=0）。

②已知直线斜率的直线系方程y=kx+b（b为参数，k为常数）是一组平行直线。

③已知直线l：Ax+By+C=0，则和l平行的直线系方程为Ax+By+m=0（m为参数，m≠C）；与l垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0（n为参数）。

④经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：
A1x+B1y+C1+t(A2x+B2y+C2)=0。

由于确定一条直线需要两个独立的条件，因而我们在求直线方程的过程中：①先根据一个条件写出所求的直线系方程；②再根据另一个条件确定其中的参数。

（4）由平面上两直线的位置关系拓展为对称性问题
①求已知点关于点的对称点
P(x',y')关于点Q(x0,y0)的对称点为(2x0-x',2y0-y')。

②求直线关于点的对称直线
方法一：利用中点坐标公式可求得点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P'
(2a-x0,2b-y0)。

求一条直线关于点A(a,b)的对称直线方程时可在该直线上取某两个特殊点，再求它们关于点A的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程。

方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为(x,y)，再求它关于A(a,b)
的对称点的坐标，而它的对称点在已知直线上，将其带入已知直线方程，便可得到关于x、y的方程，即为所求的直线方程。

常见的对称结论有：设直线l：Ax+By+C=0，
a. l关于x轴对称的直线是Ax+B(-y)+C=0；
b. l关于y轴对称的直线是A(-x)+By+C=0；
c.l关于原点对称的直线是A(-x)+B(-y)+C=0；
d. l 关于y=x 对称的直线是Bx+Ay+C=0；
e. l 关于y=-x 对称的直线是B(-x)+A(-y)+C=0。

③求点关于直线的对称点
方法一：设P(x 0,y 0)，l ：Ax+By+C=0（A 2+B 2
≠0），设P 关于l 的对称点的
坐标Q(x,y)，则l 是PQ 的垂直平分线，即PQ ⊥l 且PQ 的中点在l 上，解方程组：0000()1022
y y A x x B x x y y A B C -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩，即可得Q 点坐标。

方法二：点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点A '的坐标为(-y-c,-x-c)，关于直线x-y+c=0的对称点A ''的坐标为(y-c,x+c)。

曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(y-c,x+c)=0。

这种方法用来解填空题、选择题时特别有效，应加以理解并记忆。

常见的结论有：
a. A(a,b)关于x 轴的对称点为A '(a,-b)；
b. B(a,b)关于y 轴的对称点为B '(-a,b)；
c. C(a,b)关于直线y=x 的对称点为C '(b,a)；
d. D(a,b)关于直线y=-x 的对称点为D '(-b,-a)；
e. E(a,b)关于直线x=m 的对称点为E '(2m-a,b)；
f. F(a,b)关于直线y=n 的对称点为F '(a,2n-b)。

④求直线关于直线的对称直线
求直线a 关于直线l 的对称直线b ，由平面几何知，若直线a ，b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：
a. 若a ，b 相交，则l 是a ，b 交角的平分线；
b. 若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时，AB
必修二⊥l且AB的中点D在l上；
c. a以l为轴旋转180°一定与b重合。

使用上述性质可求直线b的方程，解题的方法很多，总的来说归纳为两种：一是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程形式求出直线方程；二是直接由轨迹方程来求。

（5）平面上的点与直线上的点有关距离的最值问题
①A、B是平面上位于直线l外的两个不同的点在直线l上求一点P使|PA|+|PB|最小。

若A、B在l的两侧，则连接AB，AB与直线l的交点即为点P。

若A、B在l的同侧，将A、B之中任一点对称过去，如将B关于l的对称点B'求出，连接AB'，则AB'与l的交点为P点。

②有一类代数问题：如求y=
y=x轴上求一点（x，0）到点（-1，-2）和点（-2，2）的距离之和最小。

而这类问题往往利用平面几何知识，把折线段之和转化为直线段，转化的办法就是利用对称性。

③把代数问题抽象出来，然后再与直观图形结合起来，是数与形的一个有机结合，可以丰富解题思路。

4. 点到直线的距离
（1）点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离
①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|；
②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|；
③P(x 0,y 0)到直线y=a 的距离d=|y 0-a|；
④P(x 0,y 0)到直线x=a 的距离d=|x 0-a|。

（2）两条平行线间的距离
两条平行线l 1：Ax+By+C 1=0与l 2：Ax+By+C 2=0的距离为
d =
在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意的是：两条直线方程均为一般式，且x 、y 的系数分别相同，而不是对应成比例。

因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形。

（3）点到直线的距离公式的应用
①求平行线间的距离
设l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0，（C 1≠C 2）。

由平行线之间的距离的定义知，在其中一条直线l 1上任取一点P(x 0,y 0)，作另一条直线l 2的垂线，垂足为Q ，则|PQ|就是平行线的距离，即
||PQ ===。

应用此公式要注意两点：
a. 把直线方程化为一般形式且使x ，y 项系数分别相等。

如求两条平行线3x-2y-1=0
和6x-4y+2=0间的距离，错解：
13
d ==。

错因分析：没有把3x-2y-1=0和6x-4y+2=0化成x ，y 项系数分别相等的一般式；正确解答：将6x-4y+2=0化成
3x-2y+1=0，
d ==。

b. 两平行线间的距离与在其中一条直线上的点的选择无关。

②求两条直线所成角的角平分线所在直线的方程
由角平分线定义知，角平分线上任意一点到角两边的距离相等，但可能会出现两解，因此应结合图形进行取舍。

必修二
2.3 圆的方程
1. 圆的标准方程
（1）圆的标准方程
以A(a,b)为圆心，半径为r的圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。

……①
①式我们称之为圆的标准方程。

说明：①如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的方程就是x2+y2=r2。

②圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为C(a,b)，半径为r，它体现了圆的几何性质。

③圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就确定了。

因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

（2）根据条件求圆的标准方程
要求出圆的标准方程必须求出圆心和半径。

确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，一般步骤为：
①根据题意，设所求的圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2；
②根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
③解方程组，求出a、b、r的值，并把它们带入所设的圆的方程中，就得到所求圆的标准方程。

另外，在求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量。

一般的，圆心的三个重要几何性质为：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上。

②圆心在某一条弦的中垂线上。

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

（3）判断点与圆的位置关系的方法
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2
，圆心为A(a,b)，半径为r
①若点M(x 0,y 0)在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2；
②若点M(x 0,y 0)在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2；
③若点M(x 0,y 0)在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2；反之也成立。

2. 圆的一般方程
（1）圆的一般方程
方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）叫做圆的一般方程。

其基本特征是：①x 2和y 2的系数相等且不为零；②没有xy 这样的二次项。

注意：①当D 2+E 2-4F ＞0时，方程表示以(,)22D E -
-径的圆；
②当D 2+E 2-4F=0时，方程只表示一个点(,)22D E -
-； ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形。

（2）如何选用圆的方程
圆的方程有标准方程和一般方程两种，求哪一种都需要三个独立条件，都要用到待定系数法，但要灵活选用圆的方程的形式，以便简化计算。

一般来说：
①如果已知条件容易求出圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程。

②如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程。

3. 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系
直线与圆的三种位置关系：①直线与圆相交，有两个公共点；②直线与圆相切，只有一个公共点；③直线与圆相离，没有公共点。

直线与圆位置关系的判定有两种方法：
①代数法：通过直线方程与圆方程做组成的方程组，根据解的个数来判断。

若有两组不同的实数解，即∆＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即∆=0，则相切；若无实解，即∆＜0，则相离。

②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断。

当d ＜r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d ＞r 时，直线与圆相离。

在实际应用中，一般采用“几何法”，因为“几何法”较为简便。

（2）圆的切线问题
求圆的切线的方法：
①求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为1k
-，由点斜式方程可求直线方程。

如果k=0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y=b 或x=a 。

②求过圆外一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：
a. 几何方法：设切线方程为y-y 0=k(x-x 0)，即kx-y-kx 0+y 0=0。

由圆心到直线的距离等与半径，可求得k ，切线方程即可得出。

b. 代数方法：设切线方程为y-y 0=k(x-x 0)，即y=kx-kx 0+y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由∆=0求得k ，切线方程即可得出。

关于圆的切线方程有以下结论：
①经过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2。

②经过圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2。

③经过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上一点P(x 0,y 0)的切线方程为0000()()022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=。

④已知圆x 2+y 2=r 2的切线的斜率为k
，则圆的切线方程为y kx =
⑤已知切线过圆外一点(x 0,y 0)，可设切线方程为y-y 0=k(x-x 0)，利用相切条件确定斜
必修二
率k ，此时必有两条切线，无论是用几何法还是代数法，当求得k 值是一个时，则另一条的切线斜率一定不存在，可由数形结合求出。

切线段长公式：
①从圆外一点P(x 0,y 0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r 2
的切线，则P 到切点的切线段长为
d =
②从圆外一点P(x 0,y 0)引圆x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0的切线，则P 到切点的切线段长为
d =。

（3）弦长问题
直线与圆相交被圆截得的弦长有两种计算方法：一是几何法，即利用弦心距、弦长一半以及半径构成的直角三角形求解；二是代数法，将直线方程与圆的方程联立，运用韦达
定理，弦长公式是||AB =
当直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则222()2l
d r +=，在半径
r 为定值的条件下，要使直线截圆的弦长最大，则圆心到直线的距离为最小。

4. 圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系可以利用两圆圆心距d 与两圆的半径r 、R 的关系进行 判断：
①外离⇔d ＞r+R ；②外切⇔d=r+R ；③相交⇔|R-r|＜d ＜R+r ；④内切⇔d=|R-r|；⑤内含⇔0≤d ＜|R-r|。

这种方法习惯上称为“几何法”。

两圆的位置关系也可以用两圆方程所构成的方程组的解来判断：当方程组无解时，两圆外离或者内含；当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；当方程组有两解时，两圆相交，这种方法习惯上称为“代数法”。

由于“代数法”计算量大，运用不方便，所以一般情况下利用“几何法”来判断两圆的位置关系。

两圆相切时，两圆圆心与切点在同一直线上；两圆相交时，两圆公共弦的垂直平分线
必修二
过两圆的圆心。

对于两个相交的圆，如果把它们的方程相减，得到一个二元一次方程，则该方程是它们公共弦所在直线的方程。

对于两个半径相等的圆，如果把它们的方程相减，得到一个二元一次方程，则这两个圆会关于这个二元一次方程所对应的直线对称。

两个圆没有公共点不一定是外离，也可能是内含；两个圆只有一个公共点时，不一定是外切，也可能是内切。

（2）公共弦与公切线问题
设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R、r，则：
①当d＞R+r时，两圆外离，此时有四条公切线；
②当d=R+r时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
③当|R-r|＜d＜R+r时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
④当d=|R-r|时，两圆内切，连心线过切点，只有一条公切线；
⑤当d＜|R-r|时，两圆内含。

当两圆相交时，必有两个交点，过这两个交点的弦称为两圆的公共弦。

设圆C1：
x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0就是两圆的公共弦方程。

在求两圆的公切线时，要先判断两圆的位置，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法。

由两圆外公切线外分圆心距成两圆半径之比，内公切线内分圆心距成两圆半径之比，故两圆公切线与连心线的交点可求，从而公切线可求。

（3）圆系方程
①同心圆系：(x-x0)2+(y-y0)2=r2，x0，y0为常数，r为参数。

②圆心共线且半径相等的圆系：(x-x0)2+(y-y0)2=r2，r为常数，圆心(x0,y0)在直线
ax+by+c=0上移动。

③过两已知圆f i (x,y)=x 2+y 2
+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)的交点的圆系方程为
x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0，即f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0(λ≠-1)。

当λ=-1时方程表示过两圆交点的直线，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。

④过直线与圆交点的圆系方程：设直线l ：Ax+By+C=0与圆x 2+y 2
+Dx+Fy+E=0相交，则方程x 2+y 2+Dx+Fy+E+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程。

2.4 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
如图，1111ABCD A B C D -是单位正方体。

以A 为原点，分别
以AB ，AD ，AA 1的方向为正方向，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z
轴。

这时我们说建立了一个空间直角坐标系Axyz 。

在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向
通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合。

令右手大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正向，如果中指指向z 轴正向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。

一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系。

在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。

任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）
xOy 平面（通过x 轴和y 轴的平面）是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意实数；。