2019-2020学年黑龙江省东部地区四校联考高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年黑龙江省东部地区四校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合M={x|−3<x<1}，N={−3, −2, −1, 0, 1}，则M∩N等于（）
A.{−2, −1, 0, 1}
B.{−3, −2, −1, 0}
C.{−2, −1, 0}
D.{−3, −2, −1}
2. 已知f(x)={x−4(x≥6)
f(x+3)(x<6)，则f(2)为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）
A.y＝x+1
B.y＝−x3
C.y＝x|x|
D.y=1
x 4. tan600∘的值为（）
A.√3
B.−√3
C.√3
3D.−√3
3
5. 为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin(2x+π
3
)，x∈R的图象上所有点（）
A.向左平移π
3个单位长度 B.向右平移π
3
个单位长度
C.向左平移π
6个单位长度 D.向右平移π
6
个单位长度
6. 若tanα，tanβ是方程x2−2x−4＝0的两根，则tan(α+β)＝（）
A.2 5
B.−2
3
C.−2
5
D.2
3
7. 已知α为第二象限角，则α
2
在（）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第二、三象限
8. 函数y＝A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.y＝2sin(2x+π
3
) B.y＝2sin(x
2
−π
3
)
C.y＝2sin(2x−π
3
) D.y＝2sin(2x+2π
3
)
9. 设A、B、C为三角形的三个内角，sin A＝2sin B cos C，该三角形一定是（）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
10. 已知sin2α=cosα，α≠kπ
2
，k∈Z，则cos2α=( )
A.3
4
B.−3
4
C.1
2
D.−1
2
11. 将函数f(x)=2√3cos x+2sin x的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为（）
A.π
6
B.π
3
C.2π
3
D.5π
6
12. 已知函数f(x)=2sin(2x+π
6
)，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π
6
个单位，得到函数g(x)的图象．关于
函数g(x)，下列说法正确的是（）
A.函数g(x)是奇函数
B.函数g(x)图象关于直线x=−π
4
对称
C.其当x∈[0,π
3
]时，函数g(x)的值域是[−1, 2]
D.函数g(x)在[π
4
,π
2
]上是增函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
已知sin α+cos α=1
5，则sin αcos α＝________．
若tan (2α+β)＝2，tan (α+β)＝3，则tan α＝________．
若sin (π
6
−α)=1
3
，则cos (π
3
+α)＝________．
若函数f(x)＝|4x −x 2|−a 的零点个数为3，则a ＝________．
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知sin α=−
2√5
5
，且α是第四象限的角．． （1）求tan α； （2）2sin (π+α)+cos (2π+α)
cos (α−π2)+sin (π
2
+α)
．
已知函数f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x ． （1）求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
（2）求函数f(x)在区间[−π6,π
3]上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．
已知函数f(x)＝a sin (2ωx +π
6)+a
2+b(x ∈R, a >0, ω>0)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是7
4，最小值是3
4．
（1）求ω、a 、b 的值；
（2）求f(x)的单调递增区间．
已知函数f(x)＝cos 2(x +π
12)，g(x)＝1+1
2sin 2x ． (Ⅰ)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程；
(Ⅱ)求函数ℎ(x)＝f(x −π12
)+g(x)的最小正周期和值域．
设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)＝f(x)+f(y)． （1）求f(0)；
（2）证明f(x)奇函数；
（3）解不等式12f(x 2)−f(x)>1
2f(3x)．
已知定义域为R 的函数f(x)=2x −n
2x+1+m 是奇函数． （1）求f(x)的解析式；
（2）试判断f(x)的单调性，并用定义法证明；
（3）若对任意的t ∈[1, 4]，不等式f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年黑龙江省东部地区四校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
由不等式和交集的定义，即可得到所求M∩N．
【解答】
解：M={x|−3<x<1}，N={−3, −2, −1, 0, 1}，
则M∩N={x|−3<x<1}∩{−3, −2, −1, 0, 1}={−2, −1, 0}．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
直接利用分段函数，逐步求解即可．
【解答】
f(x)={x−4(x≥6)
f(x+3)(x<6)，
则f(2)＝f(2+3)＝f(5+3)＝8−4＝4．
3.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
可利用函数的奇偶性的定义对A，B，C，D逐个判断即可．【解答】
对于A:y＝x+1不是奇函数，故A错误；
对于B:y＝−x3是减函数，故B错误；
对于C：令y＝f(x)＝x|x|，
∵f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)，
∴y＝f(x)＝x|x|为奇函数，又f(x)＝x|x|={
x2,x≥0
−x2,x<0
，其图象如下：
由图象可知，f(x)＝x|x|为R上的增函数．
∴C正确；
对于D:y=
1
x
在(−∞, 0)，(0, +∞)递减，故D错误；
4.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
把600∘变为540∘+60∘，然后利用诱导公式tan(k⋅180∘+α)＝tanα化简，再根据正切函数为奇函数变形，最后利用特殊角的三角函数值即可得到结果．
【解答】
tan600∘＝tan(540∘+60∘)
＝tan(3×180∘+60∘)
＝tan60∘
=√3．
5.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
【解答】
由于把函数y＝sin2x，x∈R的图象向左平移π
6
个单位，可得y＝sin2(x+π
6
)＝sin(2x+π
3
)的图象，
故为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin(2x+π
3
)，x∈R的图象上所有点向右平移π
6
个单位长度即可，
6.
【答案】 A
【考点】
两角和与差的三角函数 【解析】
利用根与系数之间的关系求出tan αtan β＝2，tan αtan β＝−4，利用两角和差的正切公式进行求解即可． 【解答】
∵ tan α，tan β是方程x 2−2x −4＝0的两根，则 ∴ tan αtan β＝2，tan αtan β＝−4， 则tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β
=
21−(−4)
=2
5
，
7.
【答案】 B
【考点】
象限角、轴线角 【解析】
根据角α的终边在第二象限，建立角α满足的不等式，两边除以2再讨论整数k 的奇偶性，可得 α
2的终边所在的
象限． 【解答】
∵ 角α的终边在第二象限， ∴ 2kπ+π
2<α<2kπ+π，k ∈Z
∴ kπ+π
4<
α2
<kπ+π
2，
①当k 为偶数时，2nπ+π
4<α
2<2nπ+π
2，n ∈Z ，得α
2是第一象限角； ②当k 为奇数时，(2n +1)π+π
4<α2
<(2n +1)π+π2，n ∈Z ，得α
2是第三象限角；
8.
【答案】 D
【考点】
正弦函数的图象 【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】
由函数的最小值为−2可得A ＝2，再根据T
2=π
ω=
5π
12
−(−π12)=π
2，求得ω＝2， 再根据五点法作图可得2×(−π
12)+φ=π2，求得φ=2π3
，故函数的解析式为y ＝2sin (2x +2π3
)，
9. 【答案】
A
【考点】
三角形的形状判断 【解析】
通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 【解答】
因为sin A ＝2sin B cos c ，
所以sin (B +C)＝2sin B cos C ，
所以sin B cos C −sin C cos B ＝0，即sin (B −C)＝0， 因为A ，B ，C 是三角形内角， 所以B ＝C ．
所以三角形是等腰三角形． 10.
【答案】 C
【考点】
二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式
【解析】
由已知利用二倍角的正弦函数公式可求sin α，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】
解：∵ sin 2α=cos α，α≠
kπ2
，k ∈Z ，
∴ 2sin αcos α=cos α，cos α≠0，
∴ sin α=1
2，
∴ cos 2α=1−2sin 2α=1−2×(1
2
)2=1
2
．
故选C . 11. 【答案】 B
【考点】
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
直接利用三角函数关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果． 【解答】
把函数f(x)=2√3cos x +2sin x =4sin (x +π
3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，
所得图象对应的解析式为y ＝4sin (x −φ+π
3)， 由于y ＝4sin (x −φ+π
3)为奇函数， 则−φ+π
3=kπ，
解得φ=π
3
−kπ(k∈Z)，
由于φ>0，所以当k＝0时，φ取得最小值π
3
．
12.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据图象平移写出函数g(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．【解答】
函数f(x)=2sin(2x+π
6)的图象沿x轴向左平移π
6
个单位，
得函数g(x)＝f(x+π
6)＝2sin[2(x+π
6
)+π
6
]＝2cos2x的图象；
所以函数g(x)是定义域R上的偶函数，A错误；
令2x＝kπ，解得x=kπ
2，k∈Z；所以g(x)的对称轴为x=kπ
2
，k∈Z，
所以x=−π
4
不是函数g(x)的对称轴，B错误；
x∈[0, π
3]时，2x∈[0, 2π
3
]，cos2x∈[−1
2
, 1]，
g(x)的值域是[−1, 2]，C正确；
x∈[π
4, π
2
]时，2x∈[π
2
, π]，g(x)＝2cos2x是单调减函数，D错误．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】
−12 25
【考点】
二倍角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】
∵sinα+cosα=1
5
，
∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=1
25
，
∴1+2sinαcosα=1
25，则sinαcosα=−12
25
．
【答案】
−1
7
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由题意利用两角差的正切公式，求得tanα＝tan[(2α+β)−(α+β)]的值．
【解答】
tan(2α+β)＝2，tan(α+β)＝3，则tanα＝tan[(2α+β)−(α+β)]=tan(2α+β)−tan(α+β)
1+tan(2α+β)tan(α+β)
=2−3
1+2×3
=−1
7
，
【答案】
1
3
【考点】
运用诱导公式化简求值
两角和与差的三角函数
【解析】
由两角的关系使用诱导公式得出答案．
【解答】
∵π
6
−α+α
3
+α=π
2
，
∴cos(π
3
+α)＝sin(π
6
−α)=1
3
，
【答案】
4
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
令f(x)＝0，判断得到a>0，利用绝对值的代数意义化简，得到两个一元二次方程，由f(x)的零点个数为3，
得到两方程共有3个解，即一个方程△>0，一个方程△＝0，即可求出a的值．
【解答】
令f(x)＝0，得到|4x−x2|−a＝0，即|4x−x2|＝a，
可得4x−x2＝a或4x−x2＝−a，
即x2−4x+a＝0或x2−4x−a＝0，
若a＝0，解得：x＝0或x＝4，只有两个解，舍去，
∴a>0，
由f(x)的零点个数为3，得到两方程共有3个解，即一个方程△>0，一个方程△＝0，
若x2−4x+a＝0中的△＝16−4a>0，即a<4；x2−4x−a＝0的△＝16+4a＝0，即a＝−4，不合题意，
舍去；
若x2−4x+a＝0中的△＝16−4a＝0，即a＝4；x2−4x−a＝0的△＝16+4a>0，即a>−4，满足题意，
则a＝4，
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
由已知sinα=−2√5
5
，且α是第四象限的角，
所以，cosα=√1−sin2α=√5
5，∴tanα=sinα
cosα
=−2．
2sin(π+α)+cos(2π+α)
cos(α−π
2)+sin(π
2
+α)
=−2sinα+cosα
sinα+cosα
=−2tanα+1
tanα+1
=−5．
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求出要求式子的值．
【解答】
由已知sinα=−2√5
5
，且α是第四象限的角，
所以，cosα=√1−sin2α=√5
5，∴tanα=sinα
cosα
=−2．
2sin(π+α)+cos(2π+α)
cos(α−π
2)+sin(π
2
+α)
=−2sinα+cosα
sinα+cosα
=−2tanα+1
tanα+1
=−5．
【答案】
函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为T
2=π
2
；
∵x∈[−π
6,π
3
]，∴2x+π
6
∈[−π
6
, 5π
6
]，
∴当2x+π
6=π
2
，即x=π
6
时，f(x)取得最大值为3；
当2x+π
6=−π
6
，即x=−π
6
时，f(x)取得最小值为0．
【考点】
三角函数的最值
两角和与差的三角函数
【解析】
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．
（1）求出函数的半周期得答案；
（2）由x的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的x值．【解答】
函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为T
2=π
2
；
∵x∈[−π
6,π
3
]，∴2x+π
6
∈[−π
6
, 5π
6
]，
∴当2x+π
6=π
2
，即x=π
6
时，f(x)取得最大值为3；
当2x+π
6=−π
6
，即x=−π
6
时，f(x)取得最小值为0．
【答案】
由函数f(x)＝a sin(2ωx+π
6)+a
2
+b的最小正周期为π，
得2π
2ω
=π，∴ω＝1，
又f(x)的最大值是7
4
，最小值是3
4
，
则{
a+a
2
+b=7
4
−a+a
2
+b=3
4
，
解得{
a=1
2
b=1
；
由（1）知，f(x)=1
2
sin(2x+π
6
)+5
4
，
当2kπ−π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2
(k∈Z)，
即kπ−π
3
≤x≤kπ+π
6
(k∈Z)时，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π
3
, kπ+π
6
](k∈Z)．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
【解析】
（1）由函数f(x)的最小正周期求出ω的值，再由f(x)的最值求出a、b的值；
（2）根据正弦函数的图象与性质，令2kπ−π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2
(k∈Z)，即可求出f(x)的单调增区间．
【解答】
由函数f(x)＝a sin(2ωx+π
6
)+a
2
+b的最小正周期为π，
得2π
2ω
=π，∴ω＝1，
又f(x)的最大值是7
4
，最小值是3
4
，
则{
a+a
2
+b=7
4
−a+a
2
+b=3
4
，
解得{
a=1
2
b=1
；
由（1）知，f(x)=1
2
sin(2x+π
6
)+5
4
，
当2kπ−π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2
(k∈Z)，
即kπ−π
3
≤x≤kπ+π
6
(k∈Z)时，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π
3
, kπ+π
6
](k∈Z)．
【答案】
（I ）因为，f(x)＝cos 2(x +
π12
)=12
cos (2x +π6
)+1
2
，
所以，由2x +π
6=kπ，可得x =1
2kπ−π
12，k ∈Z ， 得对称轴方程为：x =
kπ2
−π
12，k ∈Z ．
(II)因为，f(x)＝cos 2(x +π
12)，g(x)＝1+1
2sin 2x ， 所以，ℎ(x)=
√2
2
sin (2x +π4
)+3
2
，
所以周期为π， 值域为[
3−√22
, 
3+√22
]．
【考点】
二倍角的三角函数 【解析】
（I ）由三角函数恒等变换的应用可求f(x)=1
2
cos (2x +π
6
)+1
2
，根据余弦函数的性质可求其对称轴方程．
(II)由三角函数恒等变换的应用可求ℎ(x)=√2
2
sin (2x +π4)+3
2，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】
（I ）因为，f(x)＝cos 2(x +π12)=12cos (2x +π6)+1
2， 所以，由2x +π
6=kπ，可得x =1
2kπ−π
12，k ∈Z ， 得对称轴方程为：x =
kπ2
−
π
12
，k ∈Z ．
(II)因为，f(x)＝cos 2(x +π12
)，g(x)＝1+12
sin 2x ，
所以，ℎ(x)=
√2
2
sin (2x +π
4)+3
2，
所以周期为π， 值域为[
3−√22
, 3+√2
2]． 【答案】
由题设，令x ＝y ＝0，
恒等式可变为f(0+0)＝f(0)+f(0)，解得f(0)＝0， 令y ＝−x ，则由f(x +y)＝f(x)+f(y)得
f(0)＝0＝f(x)+f(−x)，即得f(−x)＝−f(x)， 故f(x)是奇函数
由1
2f(x 2
)−f(x)>1
2f(3x)， f(x 2)−f(3x)>2f(x)， 即f(x 2)+f(−3x)>2f(x)，
又由已知f(x +y)＝f(x)+f(y)． 得：f[2(x)]＝2f(x)
∴ f(x 2−3x)>f(2x)，
由函数f(x)是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ．即x 2−5x >0， ∴ 不等式的解集{x|x <0或x >5}． 【考点】
函数奇偶性的性质与判断 抽象函数及其应用 其他不等式的解法 函数单调性的性质与判断
【解析】
（1）利用已知条件通过x ＝y ＝0，直接求f(0)；
（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f(x)是奇函数；
（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式1
2f(x 2)−f(x)>1
2f(3x)的解集即可．
【解答】
由题设，令x ＝y ＝0，
恒等式可变为f(0+0)＝f(0)+f(0)，解得f(0)＝0， 令y ＝−x ，则由f(x +y)＝f(x)+f(y)得
f(0)＝0＝f(x)+f(−x)，即得f(−x)＝−f(x)， 故f(x)是奇函数
由1
2
f(x 2)−f(x)>1
2
f(3x)，
f(x 2)−f(3x)>2f(x)，
即f(x 2)+f(−3x)>2f(x)，
又由已知f(x +y)＝f(x)+f(y)． 得：f[2(x)]＝2f(x)
∴ f(x 2−3x)>f(2x)，
由函数f(x)是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ．即x 2−5x >0， ∴ 不等式的解集{x|x <0或x >5}． 【答案】
由题意可得{f(0)=0f(−1)=−f(1) ⇒{20−n
21+m
=02−1−n 20+m
=−
21−n 22+m
，解得{m =2n =1 ， 故f(x)=2x −1
2+2−−−−−−−−−−−−−−−−
∵ f(x)=2x −1
2x+1+2=1
2−1
2x +1，可得f(x)在R 上单调递增---------------- 任取x 1，x 2∈R ，满足x 1<x 2
∴ f(x 1)−f(x 2)=1
2−1
2x 1+1−1
2+1
2x 2+1=1
2x 2+1−1
2x 1+1=2x 1−2x 2
(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵ x 1<x 2∴ 2x 1<2x 2 即2x 1−2x 2<0，
又2x 1+1>0,2x 2+1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)，
故f(x)在R 上单调递增----------------
由f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0⇒f(log 2t −2t)<−f(2t 2−k)， 因为f(x)是奇函数，所以f(log 2t −2t)<f(k −2t 2)， 由（2）可知f(x)在R 上单调递增，
所以对任意的t ∈[1, 4]，log 2t −2t <k −2t 2恒成立，
故k >(log 2t +2t 2−2t)max =log 24+2×42−2×4=26， 所以k 的取值范围为(26, +∞)−−−−−−−−−−−−−−−− 【考点】
奇偶性与单调性的综合 【解析】
（1）由奇函数的性质可知，f(0)＝0，f(−1)＝−f(1)，代入可求； （2）利用函数的单调性的定义即可判断；
（3）结合函数的单调性及奇函数的性质即可求解． 【解答】
由题意可得{f(0)=0f(−1)=−f(1) ⇒{20−n
21+m
=02−1−n 2+m
=−
21−n 2+m
，解得{m =2n =1 ， 故f(x)=2x −1
2x+1+2−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ f(x)=
2x −12x+1+2
=12
−
1
2x +1
，可得f(x)在R 上单调递增----------------
任取x 1，x 2∈R ，满足x 1<x 2
∴ f(x 1)−f(x 2)=1
2−1
2x 1+1−1
2+1
2x 2+1=1
2x 2+1−1
2x 1+1=2x 1−2x 2
(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵ x 1<x 2∴ 2x 1<2x 2 即2x 1−2x 2<0，
又2x 1+1>0,2x 2+1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)， 故f(x)在R 上单调递增----------------
由f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0⇒f(log 2t −2t)<−f(2t 2−k)， 因为f(x)是奇函数，所以f(log 2t −2t)<f(k −2t 2)， 由（2）可知f(x)在R 上单调递增，
所以对任意的t ∈[1, 4]，log 2t −2t <k −2t 2恒成立，
故k >(log 2t +2t 2−2t)max =log 24+2×42−2×4=26， 所以k 的取值范围为(26, +∞)−−−−−−−−−−−−−−−−。