chap5习题解答

2 f
2 σ2 σ2 + σ f = e f 直接I型
3 4
1 1 − 0.42
3 1 = [ × 2.1397 + ]q 2 = 1.704q 2 4 12 × 0.84
1 1 − 0.82 3 1 = [ × (2.1397) + ]q 2 = 1.8363q 2 4 12 × 0.36
1 B( z )
3 4
将网络次序改为H1 H3 H2，则噪声 e0 (n) 、e1 (n) 、e3 (n) 通过 H 0 ( z ) 网络，
H 0 ( z) =
噪声 e2 ( n) 通过 H 2 ( z ) 网络，
。
5-10 一个二阶IIR滤波器的传递函数为
H ( z) =
0.5 − 0.3 z −1 (1 − 0.4 z −1 )(1 − 0.8 z −1 )
现用b位字长定点制实现它，尾数作舍入处理。 （1）试计算直接II型结构的输出舍入噪声方差； （2）如果用一阶网络的级联结构来实现H （z） ， 则共有六种网络流图， 试画出有运算舍入噪声时的每种网络的流图并计算输出舍入噪 声方差； （3）用并联结构实现，计算输出舍入噪声方差； 几种结构相比较，哪种最高，哪种最低。 解：①直接型
令SNR=80，求得 b=(80-1.249)/6.02=13.08 (取整)=14 注：字长的理解有两种，一是指有效字长，去掉符号位后还有b位， 量化宽度（或量化阶）为q=2 ，书上的例题和上题题解均按此计算。 另一种为总字长，包括符号共b位，这时量化宽度变为q=2 今后统一用q=2 。
-b -(b-1) -b
Y1 ( z ) = X 2 ( z )
X 2 ( z ) = X 1 ( z ) − 0.2 z −1Y1 ( z ) = X 1 ( z ) − 0.2 z −1 X 2 ( z ) = 1 X1 ( z) 1 + 0.2 z −1
注意X2(z)有2个输入，所以不等于X1(z)
H 2 ( z) =
0.5 [e2(n)+e3(n)] -1 z 1.2 -0.3 -1 z -0.32
直接 I 型
直接 II 型
图
IIR 直接型的舍入噪声分析
图中 e0 (n) 、 e1 (n) 、 e2 (n) 、 e3 (n) 分别为系数 0.5、-0.3、1.2、-0.32 相乘后引入的舍入噪声。采用线性迭加的方法，从图上可看出， 对 于 直 接 I 型 ， 输 出 噪 声 e f (n) 是 这 4 个 舍 入 噪 声 通 过 网 络
=
1 2
q 12
2
= 6
q
2
= 6 ⋅ 2 2b
（2）因x(n)的峰值是 σ x 的 ± 3 倍，而乘以比例因子A后， A/D变换器 的输入信号峰值达到1时有最大的量化噪声信噪比，所以有
σx = ,
2 σx 2 σe
1 3
2 σx =
1 9
∴
=
1 9
q 12
2
= 4
3q
2
=
4 2b ⋅2 3
3
Baidu Nhomakorabea
2 σx 4 SNR = 10 lg 2 = 10 lg( ⋅ 2 2b ) = 6.02(b + 1) − 4.771 = 6.02b + 1.249 3 σe
2 f 2 e
z = 0.4
(0.5 − 0.3 z −1 )(0.5 − 0.3 z )( z − 0.8) + (1 − 0.4 z −1 )(1 − 0.8 z −1 )(1 − 0.4 z )(1 − 0.8 z ) z
] + 2σ e2
z = 0.8
2q 2 0.25 × 0.38 0.125 × 0.26 = [ − + 1] = 0.2386q 2 12 0.84 × 0.68 0.5 × 0.36 × 0.68
2 2 σ / σ x e ， 并问若要求得到80dB的信噪比， 字 换器的输出信噪比
长应该多少位。 解： （1）乘以比例因子A后，无论B为何值，输入到A/D变换器正弦信号最 大幅度始终为1，所以
2 σx = ∫−π
π
1 1 cos 2 (ω 0 n + θ )dθ = 2π 2
∴
2 σx 2 σe
e f (n) = [e0 (n) + e1 (n)]* h(n) + e2 (n) + e3 (n)
5
h (n) 是 H(z)的单位脉冲响应。
输出噪声的方差为：
2 σ2 f = 2σ e ⋅
1 −1 dz 2 ( ) ( ) + 2σ e H z H z ∫ c 2πj z
(0.5 − 0.3 z −1 )(0.5 − 0.3 z )( z − 0.4) σ = 2σ [ (1 − 0.4 z −1 )(1 − 0.8 z −1 )(1 − 0.4 z )(1 − 0.8 z ) z
h0 (n) 和 h3 (n) 分别是H0(z)和H3(z)的单位脉中响应。
因此
3σ e2 σ e2 −1 dz −1 dz + σ = H ( z ) H ( z ) H ( z ) H ( z ) ∫ 0 ∫ 3 3 0 2πj c z 2πj c z
2 f
2 σ2 σ2 f = f 直接I型 + σ e
0.5 − 0.3z −1 0.5 − 0.3z −1 = H ( z) = 1 − 1.2 z −1 + 0.32 z −2 B( z )
直接型结构流图如图
4
0.5 [e0(n)+e1(n)+e2(n)+e3(n)] -1 z z -0.3 1.2 -1 z -0.32
-1
[e0(n)+e1(n)]
第5章 数字滤波器结构及实现 5-1 写出题图5.1结构的传递函数及差分方程。 解： （a） y(n)=0.25 y(n-1)-0.3 y(n-2)+2 x(n)+0.25 x(n-1)
2 + 0.25 z −1 H ( z) = 1 − 0.25 z −1 + 0.3z − 2
（b）
X 1 ( z ) 1 + 0 . 5 z −1 + 2 z −2 H1 ( z ) = = X ( z ) 1 − 1.5 z −1 − 0.5 z − 2
H ( 2 ) = 0 . 5 + 0 .5 j
H(3)～H(13)都为0
H (14) = 0.5 − 0.5 j H (15) = 1 + j 3
设修正半径r=1(不修正极值点位置)，求滤波器的频率采样型结构。 解： 参考书上134页公式（5.30） 、 （5.31） ，有
H ( z) =
其中
1 H c ( z )[ H 0 ( z ) + H1 ( z ) + H 2 ( z )] N
H ( z) = X 1 ( z ) ⋅ Y ( z ) X 1 ( z ) Y2 ( z ) + Y3 ( z ) = • = H1 ( z )[ H 2 ( z ) + H 3 ( z )] X ( z) ⋅ X1 ( z) X ( z) X1 ( z)
1 + 0.5 z −1 + 2 z −2 2 4 + z −1 + 2 z − 2 1 = + ⋅ [ ] 1 − 1.5 z −1 − 0.5 z −2 1 + 0.2 z −1 1 − 0.2 z −1 + 0.8 z −2 1 + 0.2 z −1 1 + 0.5 z −1 + 2 z −2 6 + 0.6 z −1 + 3.6 z −2 = ⋅ 1 − 1.5 z −1 − 0.5 z −2 1 + 0.76 z −2 + 0.16 z −3 6 + 3.6 z −1 + 15.9 z −2 + 3 z −3 + 7.2 z −4 = 1 − 1.5 z −1 + 0.26 z −2 − 0.98 z −3 − 0.62 z −4 − 0.08 z −5
H 0 ( z) =
1 形成的，因此 B( z )
e f (n) = [e0 (n) + e1 (n) + e2 (n) + e3 (n)]* h0 (n)
h0 (n) 是H0(z)的单位脉冲响应。
输出噪声的方差为：
2 σ2 f = 4σ e ⋅
2
1 1 dz ∫ 2πj c B( z ) B( z −1 ) z
-1
图
级联型的舍入噪声分析
由图中可见，噪声 e0 (n) 、 e1 (n) 、 e2 (n) 通过 H 0 ( z ) 网络，
H 0 ( z) =
1 B( z )
噪声 e3 (n) 通过 H 3 ( z ) 网络，
H 3 ( z) =
1 1 − 0.8 z −1
6
即
ef (n) = {e0 (n) + e1 (n) + e2 (n)} * h0 (n) + e3 (n) * h3 (n)
y(n)=1.5y(n-1)-0.26y(n-2)+0.98y(n-3)+0.62y(n-4)+0.08y(n-5) +6x(n)+3.6x(n-1)+15.9x(n-2)+3x(n-3)+7.2x(n-4)
1
5-7 已知FIR滤波器的16个频率采样值为 H(0)=1
H (1) = 1 − j 3
H c ( z) = 1 − z − N
H 0 ( z) = 1 1 − z −1
α 01 + α11 z −1 H1 ( z ) = 1 − z −1 2 cos(π / 8) + z − 2
1 2 Re[ H (1)] − 2 Re[ H (1)WN ]z −1 2 − 4 Re[e − jπ / 3e − jπ / 8 ]z −1 = = 1 − z −1 2 cos(2π / N ) + z − 2 1 − z −1 2 cos(π / 8) + z − 2
z = 0.4
+
]
z = 0.8
4q 2 1 1 = [ + ] = 2.1397 q 2 12 −1 × 0.84 × 0.68 0.5 × 0.36 × 0.68 对于直接 II 型，输出噪声 e f ( n ) 是 2 个舍入噪声通过整个网络 H ( z )
与 2 个舍入噪声直接相加形成的，因此
2 − 4 z −1 cos(11π / 24) = 1 − z −1 2 cos(π / 8) + z − 2
2 Re[ H (2)] − 2 Re[ H (2)WN2 ]z −1 1 − 2 z −1 H 2 ( z) = = 1 − z −1 2 cos(4π / N ) + z −2 1 − 2 z −1 + z −2
H 2 ( z) =
即 因此
1 1 − 0.4 z −1
ef ( n) = {e0 ( n) + e1 ( n) + e3 ( n)} * h0 ( n) + e2 ( n) * h2 ( n)
3σ e2 σ e2 −1 dz −1 dz σ = ∫c H 0 ( z ) H 0 ( z ) + ∫c H 2 ( z ) H 2 ( z ) 2πj z 2πj z
2
5-9
A/D变换器的字长为b，采用舍入处理，输出信号必须乘以比例
因子A，以使其最大绝对值不超过1， （1） 当输入为正弦随机相位序列 a
x ( nT ) = B cos(ω 0 n + θ )
，θ 在
[0,2π ] 上均匀等概率分布时，试求A/D变换器的输出信噪比
2 2 σx /σe 。
（2） 当输入为一随机信号，且x(n)的峰值是 σ x 的 ± 3 倍，求 A/D变
Y2 ( z ) 2Y1 ( z ) 2 X 2 ( z ) 2 = = = X1 ( z) X1 ( z) X 1 ( z ) 1 + 0.2 z −1
Y3 ( z ) Y3 ( z ) X 2 ( z ) 4 + z −1 + 2 z −2 1 H3 ( z) = = ⋅ = ⋅ X 1 ( z ) X 2 ( z ) X 1 ( z ) 1 − 0.2 z −1 + 0.8 z −2 1 + 0.2 z −1
②级联型 将 H(z)分解
H ( z ) = [0.5 − 0.3z −1 ] ⋅ = H1 ( z ) H 2 ( z ) H 3 ( z )
结构流图为
0.5 e0(n)+e1(n) -1 z -0.3
1 1 ⋅ 1 − 0.4 z −1 1 − 0.8 z −1
e2(n) z 0.4
-1
e3(n) z 0.8
将 σ e2 = q 12 和 B(z)代入，利用留数定理得：
2 σ2 f = 4σ e [
z − 0.4 (1 − 0.4 z −1 )(1 − 0.8 z −1 )(1 − 0.4 z )(1 − 0.8 z ) z z − 0.8 (1 − 0.4 z −1 )(1 − 0.8 z −1 )(1 − 0.4 z )(1 − 0.8 z ) z