极限经点答疑(一)

【学法旨要】

1．本章学习的目标是什么?

(1)从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，并了解数列极限的ε-N 定义；掌握数列极限的四则运算法则，会用它求一些数列的极限．

(2)从函数的变化趋势理解函数的极限概念，知道基本初等函数在其定义域内每一点的极限值等于该点的函数值；掌握极限的四则运算法则；了解两个重要极限．

(3)了解函数在某一点处连续的意义和初等函数在定义域内每点处都连续；会从几何直观理解闭区间上连续函数有最大值与最小值．

2．学好本章知识的关键在哪里?

学好本章的关键就在于理解数列极限和函数极限的概念．只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关极限的问题．

【经点答疑】

1．什么是数列的极限?

在引入数列极限的精确定义之前，我们先看一句中国古语：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是说：“有一根一尺长的木棒，每天截下前一天留下的一半，永远也截不完．”

我们来考察每天所剩余的木棒长度如何随着天数的改变而变化．因为日取其半，所以第1天剩余的木棒长度为)(a 尺2

11=

，第2天截下

2

1尺的一半，所以剩余的木棒长度为

()尺4

121212=⨯=

a ，依此类推，第n 天剩余的木棒长度为).(a n

n n

尺2

12

12

11

=

⨯

=

-

这个式子反映了每天所剩余的木棒长度随着天数改变而变化的规律．它具有这样的变化趋势：当天数n 无限增大时，剩余木棒长度

n

2

1以0为极限，并记为02

1lim

=∞

→n

n ．

我们又以另一方面考察，截下的木棒总长度如何随着天数的改变而变化．第1天截下的木棒总长度为()尺2

11=

b ，到第2天截下的木棒总长度为()尺4

34

12

12

=

+

=

b ，依此类推，

到第n 天截下的木棒总长度为()尺n

n

n b 2

112

14121-

=+

++=

．这个式子就反映了截下的

木棒长度如何随着天数而改变的变化规律．它具有这样的变化趋势：当天数n 无限增大时，截下的木棒总长度⎪⎭

⎫

⎝⎛

-

n 211无限接近于常数1，这时我们就说，当天数n 趋向于无穷大时，截下的木棒总长度⎪⎭⎫ ⎝⎛-

n 211以1为极限，并记为.1211lim =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-∞→n n 如果我们把每天所剩余的木棒长度数值与截下的木棒总长度数值分别依次排列起来，那么可以得到两个数列：

)

2(.,2

1

1,,87,43,21)

1(.,21

,,81,41,21 n n -

这时(1)式和(2)式就分别是n

n a 2

1=

和n

n b 2

11-

=的数列展开式．这两个数列中的项具

有这样的变化趋势：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项n

2

1无限接近于常数0，而数列(2)

中的项n

2

11-

无限接近于常数1，这时我们就说数列(1)以0为极限，而数列(2)以1为极限．

从上面两个具体数列极限的例子的共同特点，可以抽象出数列极限的描述性定义： 如果数列 ,a ,,a ,a n 21中的项具有这样的变化趋势：当n 无限增大时，项n a 无限接近某一个常数A ，那么我们就说，数列{}n a 以常数A 为极限，且记为.lim A a n n =∞

→

关于数列极限概念的这种描述，只能算直观的描述，虽然有直观易懂的特点，但在运用极限进行推理时将会碰到困难，且利用“n 无限增大”和“n a 无限接近于某一个常数A ”这些未加说明的直观描述来判断，在逻辑上是有毛病的，也容易发生错误，所以还必须对数列

极限作确切的刻画，把直观描述上升为精确的定义．

数列极限的精确定义：

上面关于数列极限的直观描述中，有一个涉及到极限本质的问题，这就是：“n a 无限接近于常数A ”的真正含义是什么?弄清这点是掌握数列极限概念的关键，用句俗话来说，“n a 无限接近于常数A ”的意思是：“n a 可以任意地靠近A ，希望有多近就能有多近，只要n 充分大时，就能达到我们希望的那样近．”换句话来说，就是指：“距离|A a |n -可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n 充分大时，就能达到我们希望的那样小．”现拿数列n

n 2

1a =

来说明，若取

10

1作标准,那么只要n>3，就有1012

1|1211||1a |n

n n <=-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-

=-；如果认为101

还不够小，要选100

1作标准，那么只要n>6,就有100

121|1a |n

n <=

-；如果嫌

100

1仍不够小，

要选更小的

1000

1作标准，那么只要n>9，就有1000

1

2

1|1a |n

n <

=

-；(如果想选再小的

10000

1作标准，那么只要n>13，就有10000

12

1|1a |n

n <

=

-.)总之，任意给出一个无论多么小的正

数ε作标准，只要这个ε一经给定，那么对数列n

n 2

1a =

来说，总可以确定一项(或者说总

存在一项，设为第N 项)．使得随后的所有项(即满足n>N 的一切n a )，都有

ε<=

-n

n 1|1a |．上述过程可以概括在如下的表格中：