函数有限和有界的关系

可测函数有界和有限的关系

设()f x 是可测集n

E ⊂¡

上的可测函数.

1. 称()f x 在E 上有界, 如果存在某个0M ≥, 使得

|()|f x M ≤, (x E ∀∈);

2. 称()f x 在E 上几乎处处有界, 如果存在某个

0M ≥, 存在零测集0E E ⊂, 使得

|()|f x M ≤,

(0\x E E ∀∈);

3. 称()f x 在E 上(处处)有限, 如果

|()|f x <+∞, (x E ∀∈);

4. 称()f x 在E 上几乎处处有限, 如果存在零测集

0E E ⊂, 使得

|()|f x ≤+∞,

(0\x E E ∀∈).

5. 称()f x 在E 上几乎有界, 如果对于任意的

0δ>，存在可测集E E δ⊂，使得mE δδ<且()

f x 在\E E δ上有界，即存在0M M δ=≥，使得

|()|f x M ≤，

(\x E E δ∀∈).

思考题 可不可以定义：“几乎有限”, “几乎处处几乎有界”，“几乎几乎处处有界”，……？

有限和有界的关系如下 (i) ()f x 在E 上有界, 则()f x 在E 上一定(处处)有限;

例 设(,)E =-∞+∞, 1

,0,()0,

0.x

e x

f x x -⎧⎪

≠=⎨⎪=⎩

(ii) ()f x 在E 上几乎处处有界, 则()f x 在E 上一定几乎处处有限;

例 设(,)E =-∞+∞, 21,\,(),

.x

e x

f x x -⎧⎪∈=⎨⎪+∞∈⎩·¤

(iii) ()f x 在E 上(处处)有限, ()f x 未必在E 上有

界;

例 (有限但无界) 设(0,1]E =, 1

()f x x

=

. 则()f x 在E 上每一点都有限, 但()f x 在E 上无界.

(iv) ()f x 在E 上几乎处处有限, ()f x 未必在E 上几乎处处有界;

命题 设mE <∞并且()f x 在E 上几乎处处有限,

则()f x 在E 上几乎有界，即对于任意的0δ>，存

在可测集E E δ⊂，使得mE δδ<且()f x 在\E E δ

上有界，即存在0M M δ=≥，使得

|()|f x M ≤，

(\x E E δ∀∈).

【证】 因为函数f 在E 上是几乎处处有限的，则

{||()|}E x f x =+∞是零测集，而

1

{||()|}{||()|}k E x f x E x f x k ∞

==+∞=>I .

又E 是测度有限界集而{}1{||()|}k E x f x k ∞

=>是单调减少(渐缩)集列，因此

0{||()|}mE x f x ==+∞

lim {||()|}k mE x f x k →∞

=>.

故对于任意正数δ存在0k ，使得

0{||()|}mE x f x k δ><.

记0{|()}E E x f x k δ=>，则E δ是可测集，且在

0\{||()|}E E E x f x k δ=≤上，()f x 是有界函数：

0|()|:f x M k ≤=， x ∈\E E δ.

例 (有限但未必几乎有界) 设[1,)E =+∞,

()ln f x x =. 则()f x 在E 上每一点都有限, 但()f x 在E 上无界并且不是几乎有界的.